START Anleitung English Tutorium : Gleichseitiges Dreieck-Raster

Die Tutorien erläutern die Funktion von IN DUBIO PRO GEO anhand von Praxisbeispielen. Die Lösungen zu den Aufgaben sind mittels vorausgefüllter Formulare nachvollziehbar. In den Auswahlfeldern stehen nicht alle Optionen zur Verfügung. Die Formulare lassen sich mit der Schaltfläche absenden und so die Ergebnisse betrachten. Um das zu ersparen, sind die Ergebnisse im Tutorium auszugsweise dargestellt. Die wesentlichen Zwischen- und Endergebnisse sind durch goldfarbene Boxen hervorgehoben. Die Lösungen sind in weiteren goldfarbenen Boxen kommentiert.

Gleichseitiges Dreieck-Raster
Gleichseitiges
Dreieck-Raster

START Anleitung English Aufgabe

Das abgebildete regelmäßige Raster aus 24 gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge 100 soll erzeugt werden. Dazu soll eine Koordinatenliste der 20 Eckpunkte in einem linkshändigen kartesischen System erstellt werden. Der Punkt links unten soll die Koordinaten 100;100 und der Punkt rechts unten die Koordinaten 100;400 erhalten.

START Anleitung English Quadrat-Raster erzeugen

IN DUBIO PRO GEO Koordinatenlisten : Rasterpunkte erzeugen

Gleichabständige Punkte auf einer Linie (1D), einem Rechteck-Raster (2D) oder Quader-Raster (3D) werden erzeugt und können mit anderen Rechenwerkzeugen weiter verarbeitet (z.B. gedreht) werden.

Einheit Breite/Länge    Notiz

Zunächst erzeugen wir ein Quadrat-Raster mit 5*6 Punkten und Rasterweite 100. Der linke untere Eckpunkt A bekommt die Koordinaten 100;-100

Rasterpunktsystem


Systemtyp:


GrößeWert für erste Koord.Wert für zweite Koord.Wert für dritte Koord.

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Koordinatenlisten : Rasterpunkte erzeugen

START Anleitung English 30 Punkte: Quadrat-Raster, kartesisches Linkssystem

Quadrat-Raster mit 5*6 Punkten
Quadrat-Raster mit 5*6 Punkten

Die erzeugten 30 Punkte bilden das gewünschte Quadrat-Raster. Nun müssen die Quadrate zu Rauten (Rhomben) deformiert werden. Die Innenwinkel der Rauten müssen 60° und 120° betragen. Das ist mit einer Affintransformation einfach zu realisieren. Dazu gibt es zwei Varianten: Man realisiert diese Transformation über identische Punkte oder über Parameter.

Raster XY
Minimum 100.00000000 -100.00000000
Maximum 500.00000000 400.00000000
Rasterweite 100.00000000 100.00000000
Punktanzahl 5.00000000 6.00000000
Kantenlänge 400.00000000 500.00000000
PNameXY
1 100.0000000000 -100.0000000000
2 100.0000000000 0
3 100.0000000000 100.0000000000
4 100.0000000000 200.0000000000
5 100.0000000000 300.0000000000
6 100.0000000000 400.0000000000
7 200.0000000000 -100.0000000000
8 200.0000000000 0
23 400.0000000000 300.0000000000
24 400.0000000000 400.0000000000
25 500.0000000000 -100.0000000000
26 500.0000000000 0
27 500.0000000000 100.0000000000
28 500.0000000000 200.0000000000
29 500.0000000000 300.0000000000
30 500.0000000000 400.0000000000

START Anleitung English Variante 1: Rauten-Raster über identische Punkte erzeugen

IN DUBIO PRO GEO Koordinatentransformationen : über identische Punkte

Identische Punkte werden verwendet, um zwischen zwei Koordinatensystemen Transformationsparameter zu berechnen. Alle ebenen oder räumlichen Transformationen werden berechnet, die mit diesen Punkten berechenbar sind. In beiden Systemen können nicht identische Punkte gegeben sein, diese werden mit den berechneten Parametern transformiert.

Winkeleinheit   Notiz

Startsystem Punktnamen und Koordinaten


Systemtyp:

Spaltenformat:


Zielsystem Punktnamen und Koordinaten


Systemtyp:

Spaltenformat:


Die Punkte 1 und 2 lässt man z.B. unverändert und zwingt den Punkt 7, mit 1 und 2 ein gleichseitiges Dreieck zu bilden.
für erste, zweite (und dritte) Koordinate Glühbirne
Startsystem Glühbirne
Zielsystem

Gewichte würden ggf. ignoriert, weil für 3 identische Punkte die Affintransformation eindeutig bestimmt ist.

Transformationstypen

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Koordinatentransformationen : über identische Punkte

Quadrate zu Rauten (Rhomben) deformieren

Quadrat-Raster, kartesisches Linkssystem ⇒ Rauten-Raster, kartesisches Linkssystem

Start: 30 Punkte. Ziel: 3 Punkte. 3 identische Punkte

PnamexyXY
1 100.0000000 -100.0000000 100.0000000 -100.0000000
2 100.0000000 0 100.0000000 0
3 100.0000000 100.0000000
4 100.0000000 200.0000000
5 100.0000000 300.0000000
6 100.0000000 400.0000000
7 200.0000000 -100.0000000 186.6025404 -50.0000000
8 200.0000000 0
Rauten-Raster mit 5*6 Punkten
Ergebnis: Rauten-Raster mit 5*6 Punkten
23 400.0000000 300.0000000
24 400.0000000 400.0000000
25 500.0000000 -100.0000000
26 500.0000000 0
27 500.0000000 100.0000000
28 500.0000000 200.0000000
29 500.0000000 300.0000000
30 500.0000000 400.0000000

Affintransformation

X
Y
=
13.3974600
-50.0000000
+
0.86602540 0
0.50000000 1.00000000
.
x
y
berechn.Quadrat-RasterRauten-Raster
Punktexy XY
1 100.0000000 -100.0000000 100.0000000 -100.0000000
2 100.0000000 0 100.0000000 0
3 100.0000000 100.0000000 100.0000000 100.0000000
4 100.0000000 200.0000000 100.0000000 200.0000000
5 100.0000000 300.0000000 100.0000000 300.0000000
6 100.0000000 400.0000000 100.0000000 400.0000000
7 200.0000000 -100.0000000 186.6025400 -50.0000000
8 200.0000000 0 186.6025400 50.0000000
⁞0
23 400.0000000 300.0000000 359.8076200 450.0000000
24 400.0000000 400.0000000 359.8076200 550.0000000
25 500.0000000 -100.0000000 446.4101600 100.0000000
26 500.0000000 0 446.4101600 200.0000000
27 500.0000000 100.0000000 446.4101600 300.0000000
28 500.0000000 200.0000000 446.4101600 400.0000000
29 500.0000000 300.0000000 446.4101600 500.0000000
30 500.0000000 400.0000000 446.4101600 600.0000000

exakte Lösung ⇒ keine Restklaffungen

beide Listen berechneter Punkte

Das gewünschte Raster ist erzeugt. Allerdings enthält es noch überflüssige Punkte. Zum Zuschneiden zunächst beide Listen speichern. Das Zielsystem wird in Liste 2 gespeichert.

START Anleitung English Variante 2: Rauten-Raster über Scherung erzeugen

IN DUBIO PRO GEO Koordinatentransformationen : über Parameter

Punkte in der Ebene und im 3D-Raum werden mittels gegebener Parameter transformiert. Eine Folge von bis zu 13 Transformationsschritten kann abgearbeitet werden. Auf diese Weise können alle denkbaren Transformationen konfiguriert werden.

Rauten-Raster mit 5*6 Punkten
Scherung der x-Achse
gegen die y-Achse

Die Erzeugung von Rauten aus Quadraten lässt sich auch über eine Scherung realisieren. Dazu wird zunächst durch Skalierung der x-Achse mit Maßstabsfaktor (3/4)½=0.8660254038 ein Rechteck-Raster erzeugt und dann die x-Achse gegen die y-Achse mit dem Scherwinkel τyx=30° geschert, so dass Rauten entstehen. Hätte man sofort mit ein Rechteck-Raster erzeugt, wäre die Skalierung jetzt überflüssig.

Winkeleinheit   Notiz

Startsystem Punktnamen und Koordinaten


Systemtyp:

Spaltenformat:


ZielsystemTransformationsschritt, Art des Parameters, Wert Glühbirne


Systemtyp:

Falls verlangt, skaliere, drehe und schere bzgl. Glühbirne
01
02
03
04
05
06

13

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Koordinatentransformationen : über Parameter

Quadrate zu Rauten (Rhomben) deformieren

START Anleitung English Start: 30 Punkte, Quadrat-Raster, kartesisches Linkssystem

PNamexy
1 100.0000000000 -100.0000000000
2 100.0000000000 0
3 100.0000000000 100.0000000000
4 100.0000000000 200.0000000000
5 100.0000000000 300.0000000000
6 100.0000000000 400.0000000000
7 200.0000000000 -100.0000000000
8 200.0000000000 0
23 400.0000000000 300.0000000000
24 400.0000000000 400.0000000000
25 500.0000000000 -100.0000000000
26 500.0000000000 0
27 500.0000000000 100.0000000000
28 500.0000000000 200.0000000000
29 500.0000000000 300.0000000000
30 500.0000000000 400.0000000000

2 Transformationsschritte und Parameterwerte

1 Maßstabsfaktor der x-Achse mx = 0.8660254038
2 Scherwinkel für x- gegen y-Achse τyx = 30 Grad

Zusammengesetzte Transformationsgleichung

Die Transformationsgleichung ist dieselbe wie bei Variante 1.

X
Y
=
13.3974596
-50.0000000
+
0.86602540 0
0.50000000 1.00000000
.
x
y

Der Punkt 1 blieb bei Rotationen, Maßstabsänderungen und Scherungen fest.

Ziel: 30 Punkte: Rauten-Raster, kartesisches Linkssystem

Diese Liste in "Liste 2 …" laden (Knopf unten).

Rauten-Raster mit 5*6 Punkten
Ergebnis: Rauten-Raster mit 5*6 Punkten
PNameXY
1 100.0000000000 -100.0000000000
2 100.0000000000 0
3 100.0000000000 100.0000000000
4 100.0000000000 200.0000000000
5 100.0000000000 300.0000000000
6 100.0000000000 400.0000000000
7 186.6025403800 -49.9999999991
8 186.6025403800 50.0000000009
23 359.8076211400 450.0000000027
24 359.8076211400 550.0000000027
25 446.4101615200 100.0000000036
26 446.4101615200 200.0000000036
27 446.4101615200 300.0000000036
28 446.4101615200 400.0000000036
29 446.4101615200 500.0000000036
30 446.4101615200 600.0000000036
Diese Liste in Glühbirne

START Anleitung English Dreieck-Raster zuschneiden

Durch Einzeichnen der kurzen Diagonalen gewinnt man das gleichseitige Dreieck-Raster. Nun müssen noch 10 überflüssige Punkte aus der Koordinatenliste entfernt werden. Dazu filtern wir die Liste bzgl. der zweiten Koordinate Y. Punkte mit Y<100 und Y>450 werden entfernt. Um die Rechenprobe zu erleichtern, ändern wir noch die Reihenfolge der Punkte innerhalb der Liste. Dazu spezifizieren wir eine Liste von Punktnamen, so dass geometrisch benachbarte Punkte in der Liste aufeinander folgen.
Hinweis: Die Liste von Punktnamen hätte zum Filtern allein schon ausgereicht, denn nicht in der Liste vorhandene Punkte werden ohnehin entfernt.

IN DUBIO PRO GEO Koordinatenlisten : Liste 2

Bearbeiten, filtern, sortieren und speichern Sie Koordinatenlisten für die spätere Verwendung in den Berechnungen.

Koordinatenliste 2 Punktnamen und Koordinaten


Systemtyp:

Spaltenformat:
Filtern für Punktname Glühbirne , erste und zweite Koordinate Glühbirne
größer gleich
kleiner gleich
Liste von Punktnamen
Glühbirne nur diese Punkte
speichern
Sortieren

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

START Anleitung English Ergebnis und Rechenprobe

IN DUBIO PRO GEO Koordinatenlisten : Liste 2

20 Punkte: Dreieck-Raster, kartesisches Linkssystem

Als Rechenprobe laden wir die Koordinatenliste in (Knopf unten) und berechnen sie als offenes Polygon.

Quadrat-Raster mit 5*6 Punkten
Ergebnisliste berechnet als ebenes offenes Polygon
PNameXY
25 446.41016000 100.00000000
20 359.80762000 150.00000000
14 273.20508000 100.00000000
15 273.20508000 200.00000000
21 359.80762000 250.00000000
26 446.41016000 200.00000000
27 446.41016000 300.00000000
22 359.80762000 350.00000000
28 446.41016000 400.00000000
23 359.80762000 450.00000000
17 273.20508000 400.00000000
12 186.60254000 450.00000000
6 100.00000000 400.00000000
11 186.60254000 350.00000000
16 273.20508000 300.00000000
10 186.60254000 250.00000000
5 100.00000000 300.00000000
4 100.00000000 200.00000000
9 186.60254000 150.00000000
3 100.00000000 100.00000000
Probieren Sie es aus: Diese Liste in

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Polygone

Dreieck-Raster, kartesisches Linkssystem

PNameXYPolygonwinkelGlühbirne
25 446.41016000 100.00000000
20 359.80762000 150.00000000 119.99999978
14 273.20508000 100.00000000 300.00000011
15 273.20508000 200.00000000 239.99999989
21 359.80762000 250.00000000 240.00000022
26 446.41016000 200.00000000 59.99999989
27 446.41016000 300.00000000 120.00000011
22 359.80762000 350.00000000 299.99999978
28 446.41016000 400.00000000 60.00000022
23 359.80762000 450.00000000 119.99999978
17 273.20508000 400.00000000 240.00000022
12 186.60254000 450.00000000 119.99999978
6 100.00000000 400.00000000 60.00000022
11 186.60254000 350.00000000 180.00000000
16 273.20508000 300.00000000 299.99999978
10 186.60254000 250.00000000 240.00000022
5 100.00000000 300.00000000 59.99999989
4 100.00000000 200.00000000 120.00000011
9 186.60254000 150.00000000 299.99999978
3 100.00000000 100.00000000

Seitenlängen und Richtungswinkel

Die Seitenlängen betragen alle genau 100 und die Richtungswinkel genau 30°; 90°; 150°; 210°; 270° und 330°. Wir haben ein gleichseitiges Dreieckraster erhalten.

vonnachSeitenlängeRichtungswinkelGlühbirne
25 20 99.99999967 149.99999989
20 14 99.99999967 210.00000011
14 15 100.00000000 90.00000000
15 21 99.99999967 30.00000011
21 26 99.99999967 329.99999989
26 27 100.00000000 90.00000000
27 22 99.99999967 149.99999989
22 28 99.99999967 30.00000011
28 23 99.99999967 149.99999989
23 17 99.99999967 210.00000011
17 12 99.99999967 149.99999989
12 6 99.99999967 210.00000011
6 11 99.99999967 329.99999989
11 16 99.99999967 329.99999989
16 10 99.99999967 210.00000011
10 5 99.99999967 149.99999989
5 4 100.00000000 270.00000000
4 9 99.99999967 329.99999989
9 3 99.99999967 210.00000011

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©Rüdiger Lehmann   
25.11.2017 04:51 (Zeitzone Berlin)
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