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Tutorium : Kreisbogenabsteckung

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Aufgabe Lösung Rechenprobe In der Bibliothek

Die Tutorien erläutern die Funktion von IN DUBIO PRO GEO anhand von Praxisbeispielen. Die Lösungen zu den Aufgaben sind mittels vorausgefüllter Formulare nachvollziehbar. In den Auswahlfeldern stehen nicht alle Optionen zur Verfügung. Die Formulare lassen sich mit der Schaltfläche absenden und so die Ergebnisse betrachten. Um das zu ersparen, sind die Ergebnisse im Tutorium auszugsweise dargestellt. Die wesentlichen Zwischen- und Endergebnisse sind durch goldfarbene Boxen hervorgehoben. Die Lösungen sind in weiteren goldfarbenen Boxen kommentiert.

Aufgabe

Kreisbogenabsteckung
Kreisbogenabsteckung

Ein Kreisbogen AP1P2E mit dem Radius r=100m soll von A aus abgesteckt werden. Dazu sollen die orthogonalen Absteckmaße der drei Punkte P1, P2 und E mit den Bogenlängen AP1=20m, P1P2=15m und P2E=25m bestimmt werden. Diese Absteckmaße sollen sowohl von der Tangente in A aus in Form von x1, y1, x2, y2, xE, yE , als auch zur Kontrolle von der Sehne AE aus in Form von s1, h1, s2, h2 bestimmt werden.

Lösung

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Kreisbögen

Aus zwei oder drei (fast) beliebigen gegebenen Größen eines Kreisbogens werden alle übrigen Größen berechnet, wahlweise einschließlich einer Fehlerfortpflanzung. Bei nur zwei gegebenen Größen wird versucht, so viel wie möglich zu berechnen. Wenn zwei Lösungen existieren, werden beide berechnet.

Winkeleinheit    Notiz

Größe Wert

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Kreisbögen

Im ersten Schritt berechnet man P1 durch eine Kreisbogenberechnung mit b1=20m, b=60m und r=100m. P1 entspricht jetzt P, so dass AQ und h in der linken Tabelle den Werten s1 und h1 der Aufgabe entsprechen. Die Tangentenabschnitte xP, xE und Tangentenoffsets yP, yE entsprechen den gesuchten Absteckmaßen von P1 und E von der Tangente aus.

Kreisbogen und seine Stücke

Berechnung von P1

Berechnung lightbulbWert
b1=START 20.000000
b=START 60.000000
r=START 100.00000
b2=b-b1 40.000000
α=b/r 38.197186
β=π-α/2 180.90141
γ=π-α 161.80281
δ=b1/r 12.732395
s=2·r·sin(α/2) 59.104041
AP=2·r·sin(δ/2) 19.966683
PE=2·r·sin((α-δ)/2) 39.733866
AQ=AP·cos((α-δ)/2) 19.568679
QE=s-AQ 39.535362
h=PE·sin(δ/2) 3.9667676
... ...
xP=AP·cos(δ/2) 19.866933
xE=s·cos(α/2) 56.464247
yP=AP·sin(δ/2) 1.9933422
yE=s·sin(α/2) 17.466439
... ...

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Kreisbögen

Aus zwei oder drei (fast) beliebigen gegebenen Größen eines Kreisbogens werden alle übrigen Größen berechnet, wahlweise einschließlich einer Fehlerfortpflanzung. Bei nur zwei gegebenen Größen wird versucht, so viel wie möglich zu berechnen. Wenn zwei Lösungen existieren, werden beide berechnet.

Winkeleinheit    Notiz

Größe Wert

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Kreisbögen

Im zweiten Schritt berechnet man P2 durch eine Kreisbogenberechnung mit b1=35m, b=60m und r=100m. P2 entspricht jetzt P, so dass AQ und h in der linken Tabelle den Werten s2 und h2 der Aufgabe entsprechen. Die Tangentenabschnitte xP, xE und Tangentenoffsets yP, yE entsprechen den gesuchten Absteckmaßen von P2 und E von der Tangente aus.

Größen, die unabhängig vom Punkt P sind, haben identische Werte, wie in der ersten Berechnung.

Man liest also folgende Lösung ab:
x1=19.87, x2=34.29, xE=56.46, s1=19.57, s2=34.55
y1= 1.99, y2= 6.06, yE=17.47, h1= 3.97, h2= 4.34

Tipp: Sie können Zahlen nicht nur mit Dezimalkomma eingeben, sondern erhalten sie auf Wunsch auch so. (Ausgabe­dezimal­trenn­zeichen in Einstellungen auf Komma setzen)

Berechnung von P2

Berechnung lightbulbWert
b1=START 35.000000
b=START 60.000000
r=START 100.00000
b2=b-b1 25.000000
α=b/r 38.197186
β=π-α/2 180.90141
γ=π-α 161.80281
δ=b1/r 22.281692
s=2·r·sin(α/2) 59.104041
AP=2·r·sin(δ/2) 34.821628
PE=2·r·sin((α-δ)/2) 24.934947
AQ=AP·cos((α-δ)/2) 34.549938
QE=s-AQ 24.554104
h=PE·sin(δ/2) 4.3413771
... ...
xP=AP·cos(δ/2) 34.289781
xE=s·cos(α/2) 56.464247
yP=AP·sin(δ/2) 6.0627287
yE=s·sin(α/2) 17.466439
... ...

Rechenprobe

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Kreisbögen

Aus zwei oder drei (fast) beliebigen gegebenen Größen eines Kreisbogens werden alle übrigen Größen berechnet, wahlweise einschließlich einer Fehlerfortpflanzung. Bei nur zwei gegebenen Größen wird versucht, so viel wie möglich zu berechnen. Wenn zwei Lösungen existieren, werden beide berechnet.

Winkeleinheit    Notiz

Größe Wert

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Kreisbögen

Wir berechnen den Kreisbogen AP1E mit den berechneten Absteckkoordinaten als Eingaben und überprüfen Radius und Bogenlänge. Tatsächlich hat der Kreisbogen den gewünschten Radius und die gewünschte Länge. Auch die Absteckmaße von P1 von der Sehne aus stimmen. Das bestätigt die Richtigkeit der Rechnung für P1.

Berechnen Sie genauso den Kreisbogen AP2E, indem Sie rechts den Wert 19.866933 für xP durch 34.289781 ersetzen. Ein Vergleich bestätigt die Richtigkeit der Rechnung für P2.

Rechenprobe von P1

Berechnung lightbulbWert
xP=START 19.866933
xE=START 56.464247
yE=START 17.466439
s=sqrt(xE²+yE²) 59.104041
α=2·arcsin(yE/s) 38.197188
β=π-α/2 180.90141
γ=π-α 161.80281
r=s/2/sin(α/2) 99.999997
b=r·α 60.000000
... ...
yP=r±sqrt(r²-xP²) 1.9933423
AP=sqrt(xP²+yP²) 19.966683
δ=2·arcsin(yP/AP) 12.732396
b1=r·δ 20.000000
b2=b-b1 40.000000
PE=2·r·sin((α-δ)/2) 39.733866
AQ=AP·cos((α-δ)/2) 19.568679
QE=s-AQ 39.535362
h=PE·sin(δ/2) 3.9667677
... ...
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PDF: offener ZugriffLehmann RGeodätische Berechnungen2014Lehr94
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©Rüdiger Lehmann    Impressum
28.07.2017 02:51 (Zeitzone Berlin)
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