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Anleitung : Fehlerfortpflanzung

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  Einführung Genauigkeitsmaße Anwendung von Fortpflanzungsgesetzen Beispiel: Kreisbogenradius Trick: Fehlerfortpflanzung mit dem Universalrechner Beispiel: Bogenschnitt Was möchten Sie jetzt tun? In der Bibliothek

Einführung

In der Geodäsie werden nicht nur unbekannte Größen berechnet, sondern es wird auch abgeschätzt, wie genau oder ungenau diese Größen erhalten werden. Berechnete Größen erben ihre Abweichungen, die sogenannten Fehler, von den Größen, aus denen sie berechnet werden. Diese Größen können gemessen sein und Messabweichungen besitzen oder aus anderen Größen berechnet sein und so ihre Abweichungen wiederum geerbt haben. Man sagt, die Fehler pflanzen sich fort. Sowohl Verstärkung, als auch Abschwächung von Fehlern sind möglich.

Es ist wichtig, diese Fehlerfortplanzung rechnerisch zu vollziehen, um

  1. die Genauigkeiten berechneter Größen anzugeben,
  2. die den Vorgaben entsprechende erforderliche Genauigkeit von Messwerten zu bestimmen und
  3. Messungsanordnungen zu optimieren.

Diese drei Ziele werden durch Anwendung von Fortpflanzungsgesetzen erreicht.

Genauigkeitsmaße

Genauigkeiten können auf verschiedene Art durch Maßzahlen ausgedrückt werden. IN DUBIO PRO GEO arbeitet mit den folgenden drei Genauigkeitsmaße:

StandardabweichungStd früher auch mittlerer Fehler genannt
maximale absolute AbweichungMax größtmöglicher Fehler
GewichtGew ein relatives Genauigkeitsmaß

In der Geodäsie ist die Standardabweichung verbreitet, weil die maximale absolute Abweichung schwer abschätzbar ist oder oft Werte ergibt, die zwar theoretisch möglich sind, aber nur durch Verkettung extrem ungünstiger Umstände.

Ein einfacher Test, ob Abweichungen ausreichend klein sind, besteht darin, die Berechnung mit den halben Startwerten zu wiederholen und zu überprüfen, ob sich auch alle berechneten Maße etwa halbieren.

STARTSeitenanfang Anwendung von Fortpflanzungsgesetzen

Für jedes Genauigkeitsmaß gibt es ein eigenes Fortpflanzungsgesetz. Finden Sie die theoretischen Grundlagen hier erläutert: BuchFehlerfortpflanzung

Hat man zu jeder ungenauen Startgröße eine zugehöriges Genauigkeitsmaß, dann können bei einigen Rechenwerkzeugen diese Maße angegeben und die entsprechenden Genauigkeitsmaße aller berechneten Größen erhalten werden. IN DUBIO PRO GEO wendet hierzu ein Fortpflanzungsgesetz an. Voraussetzung dafür ist, dass die Startgrößen statistisch unkorreliert sind. Das bedeutet praktisch, dass diese Genauigkeitsmaße letztlich aus zufälligen Messabweichungen resultieren, wobei jede dieser Messabweichungen aber nur höchstens eine Startgröße beeinflusst.

Kreisbogenradius aus Sehnen-
abschnitten und Pfeilhöhe
Kreisbogenradius aus Sehnenabschnitten und Pfeilhöhe

STARTSeitenanfang Beispiel: Kreisbogenradius

Wie genau lässt sich durch Messband-Messung der Sehnenabschnitte AQ und QE und der Pfeilhöhe PQ der Radius des Kreisbogens in der Abbildung bestimmen? Aus Erfahrung erhalten wir für alle drei Messwerte eine Standardabweichung von je 0.03 . Das Ergebnis ist ein Radius von 12.57 mit einer Standardabweichung von 0.18.

und Rechnen

Wenn wir statt dessen oder zusätzlich eine maximale absolute Abweichung der Messbandmessungen von je 0.1 annehmen, so erhalten wir eine maximale absolute Abweichung für den Radius von 0.86.

und Rechnen

In beiden Fällen werden die Abweichungen deutlich verstärkt. Dieser Effekt ist bei noch flacheren Bögen, wie sie praktisch z.B. im Verkehrswegebau vorkommen, noch stärker.

Wenn wir hingegen nicht sicher wüssten, welche Standardabweichungen den Messband-Messungen zugeordnet werden können, sondern nur, in welchem Verhältnis diese zueinander stehen, können wir mit Gewichten arbeiten. Sind diese Standardabweichungen alle gleich, wählen wir für alle Messwerte das Gewicht 1 und berechnen eine Gewichtsfortpflanzung. Als Ergebnis erhalten wir für den Radius das vergleichsweise geringe Gewicht 0.028, welches zumindest auf eine ungünstige Fehlerfortpflanzung hinweist.

und Rechnen

Würden wir versuchen, den Radius durch Messung der langen Sehne AE und der beiden kurzen Sehnen AP und PE (⇑ Abbildung) mit derselben Genauigkeit, also demselben Gewicht 1 zu bestimmen, erhielten wir durch Gewichtsfortpflanzung für den Radius das noch viel geringere Gewicht 0.0034. Diese Messungsanordnung ist also noch weniger empfehlenswert.

und Rechnen

STARTSeitenanfang Trick: Fehlerfortpflanzung mit dem Universalrechner

Obwohl der RechenwerkzeugUniversalrechner keine direkte Funktion zur Fehlerfortpflanzung anbietet, ist es möglich, auch hier auf geschickte Weise eine Fehlerfortpflanzung zu berechnen: Nehmen wir an, wir haben n ungenaue Startgrößen (Koordinaten und/oder Messwerte). Man lässt die Rechnung n+1-mal ausführen, einmal mit unveränderten Startwerten und n-mal mit je einem um seine Standardabweichung bzw. maximale absolute Abweichung veränderten Startwert, einem nach dem anderen. Dann zieht man die Differenzen Δi der interessierenden Ergebnisse in Bezug zur ersten Rechnung nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz zusammen:

für Standardabweichungen: σ²= Δ1² +…+ Δn²
für maximale absolute Abweichungen: Δ=|Δ1|+…+|Δn|

Wenn man die Punkte mit veränderten Koordinaten anders benennt und an die Koordinatenliste anhängt und wenn man auch den n+1 Ergebnissen für die Neupunkte jeweils andere Punktnamen zuweist, kann man die n+1 Rechnungen im RechenwerkzeugUniversalrechner in einem einzigen Rechengang ausführen lassen.

STARTSeitenanfang Beispiel: Bogenschnitt

Bogenschnitt
Bogenschnitt

Betrachten wir z.B. einen Bogenschnitt mit zwei Festpunkten A und B und einem Neupunkt N sowie zwei gemessenen Horizontaldistanzen eAN = 11.436; eBN = 6.576. Alle vier Lagekoordinaten haben Standardabweichungen von 0.03 und beide Distanzen haben Standardabweichungen von 0.01. Damit haben wir 6 ungenaue Startgrößen XA,YA, XB,YB,eAN,eBN. Die Liste der bekannten Punkte kann also lauten:

      Y     X
A   16.10 17.11 // unveränderter Punkt
B   23.06 14.02 // unveränderter Punkt
AY  16.13 17.11 // Y-veränderter Punkt A
BY  23.09 14.02 // Y-veränderter Punkt B
AX  16.10 17.14 // X-veränderter Punkt A
BX  23.06 14.05 // X-veränderter Punkt B

Nun berechnet man die 7 Bogenschnitte in einem einzigen Rechengang mit dem RechenwerkzeugUniversalrechner und gibt den 7 Ergebnissen für den Neupunkt jeweils die Punktnamen N,N1,N2,…,N6 . Jeder Bogenschnitt hat zwei Lösungen. Diese kombinieren sich zu insgesamt 27=128 Lösungen. Es reicht aber, nur die erste zu betrachten. Alle anderen Lösungen ergeben dieselben Genauigkeiten.

und Rechnen

Man kann sich leicht ein Bild von der räumlichen Verteilung der 7 berechneten Punkte machen, wenn man diese in einer Koordinatenliste speichert und auf der Leinwand betrachtet. Die größten Einflüsse stammen von den X-Koordinaten der Anschlusspunkte A (→N1), B (→N3):

Darstellung der 7 berechneten Punkte
auf der Leinwand der Koordinatenliste
Darstellung der 7 berechneten Punkte auf der Leinwand der Koordinatenliste

Nun müssen die Differenzen Δi berechnet werden. Unterstützen kann man dies durch Laden der Punkte in RechenwerkzeugTransf. über Parameter und Berechnung einer Translation, so dass N in den Nullpunkt des Koordinatensystems verschoben wird. Die transformierten Koordinaten der anderen 6 Punkte sind unmittelbar die gesuchten Differenzen. Schließlich erhalten wir für den Neupunkt N durch Anwendung des Fehlerfortpflanzungsgesetzes für Standardabweichungen:

σY=(0.039²+0.025²+0.039²+0.005²+0.016²+0.013²)½=0.065
σX=(0.005²+0.003²+0.025²+0.003²+0.002²+0.008²)½=0.028

Wären die gegebenen Abweichungen absolute Abweichungen gewesen, würde sich statt dessen durch Anwendung des entsprechenden Fehlerfortpflanzungsgesetzes ergeben:

ΔY=0.138; ΔX=0.047

In beiden Fällen verstärken sich die Abweichungen vor allem in der Y-Koordinate von N.

STARTSeitenanfang Was möchten Sie jetzt tun?

EinstellungenEinstellungen
RechenwerkzeugEbene Dreiecke
RechenwerkzeugSphärische Dreiecke
RechenwerkzeugEbene Vierecke
RechenwerkzeugKreisbögen
RechenwerkzeugNormalschwereformeln
RechenwerkzeugAtmosphärische EDM-Korrektion
TutoriumDreiecksausgleichung
BuchLehmann R: Fehlerfortpflanzung

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Link Autor(en)TitelJahr Typ Seiten
MByte
PDF: offener ZugriffLehmann RGeodätische Messabweichungen2016Lehr36
1
PDF: offener ZugriffLehmann RFehlerfortpflanzung2016Lehr32
1
PDF: offener ZugriffFoppe KFehlerlehre und Statistik2015Lehr94
0.8
PDF: offener ZugriffVermeer MStatistical uncertainty and error propagation2014Lehr34
0.1
PDF: offener ZugriffFan HTheory of Errors and Least Squares Adjustment2010Zusf230
0.3
PDF: offener ZugriffJoint Committee for Guides in MetrologyEvaluation of measurement data - ″Guide to the expression of uncertainty in measurement″2008Amtl134
1.9
PDF: offener ZugriffJoint Committee for Guides in MetrologyEvaluation of measurement data - Supplement 1 to the ″Guide to the expression of uncertainty in measurement″ - Propagation of distributions using a Monte Carlo method2008Amtl90
1.5
START Anleitung r.lehmann@htw-dresden.de Seitenanfang HTW Dresden, Fakultät Geoinformation 
©Rüdiger Lehmann    Impressum
25.02.2017 16:50 (Zeitzone Berlin)