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Tutorium : Dreiecksausgleichung

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Aufgabe Aufstellung des Ausgleichungsmodells Lösung der Ausgleichungsaufgabe Auswertung und Schlussprobe Was möchten Sie jetzt tun?

Die Tutorien erläutern die Funktion von IN DUBIO PRO GEO anhand von Praxisbeispielen. Die Lösungen zu den Aufgaben sind mittels vorausgefüllter Formulare nachvollziehbar. In den Auswahlfeldern stehen nicht alle Optionen zur Verfügung. Die Formulare lassen sich mit der Schaltfläche absenden und so die Ergebnisse betrachten. Um das zu ersparen, sind die Ergebnisse im Tutorium auszugsweise dargestellt. Die wesentlichen Zwischen- und Endergebnisse sind durch goldfarbene Boxen hervorgehoben. Die Lösungen sind in weiteren goldfarbenen Boxen kommentiert.

Aufgabe

Dreiecksausgleichung
Dreiecksausgleichung

In einem Dreieck sollen die folgenden Messwerte ausgeglichen werden:

	α=34.1765 gon   a=206.740 m
	β=75.0560 gon   b=373.618 m
	γ=90.7648 gon   c=400.010 m

Die a priori Standardabweichungen aller Richtungen betragen 1 mgon, die der Strecke a beträgt 2.5 mm und die der beiden anderen Strecken je 1 mm. Alle Messwerte gelten als unkorreliert.

Die Messungen sollen ausgeglichen und der ausgeglichene Flächeninhalt des Dreiecks mit zugehöriger Standardabweichung bestimmt werden.

Aufstellung des Ausgleichungsmodells

Gemessen wurden Richtungen, aber man kann genauso mit den Winkeln als Beobachtungen arbeiten, da diese ebenso wie die Richtungen unkorrelierte Größen sind. Die Standardabweichung der Winkel ergibt sich durch einfache Fehlerfortpflanzung bei der Differenzbildung zu 1 mgon·√2=1.4 mgon. Es liegen somit n=6 Beobachtungen α,β,γ,a,b,c vor.

Als Ausgleichungsparameter wählen wir Seite c und die beiden Winkel α,β. Die Näherungsparameter für die Linearisierung wählen wir identisch mit den entsprechenden Beobachtungen:

α0=34.1765 gon,   β0=75.0560 gon,   c0=400,010

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

Aus drei (fast) beliebigen gegebenen Größen eines ebenen Dreiecks werden alle übrigen Größen berechnet, wahlweise einschließlich einer Fehlerfortpflanzung. Wenn zwei Lösungen existieren, werden beide berechnet.

Winkeleinheit:    Notiz:

Größe Wert

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

Wir berechnen das Näherungsdreieck und gewinnen daraus die gekürzten Beobachtungen: für α,β,c jeweils Null und
90.7648 - 90.767500 = -0.00270
206.740 - 206.74576 = -0.00576
373.618 - 373.61762 = 0.00038

Mit einem Trick erleichtern wir uns das Bilden der partiellen Ableitungen in der Matrix A: Wir nutzen die Funktion Fehlerfortpflanzung von Ebene Dreiecke, um diese Ableitungen durch Differenzenquotienten zu approximieren. Eine Änderung von α um 0.1gon bewirkt die unter Max stehenden Änderungen in den anderen Dreiecksgrößen, woraus sich die Ableitungen und damit die erste Spalte der A-Matrix ergeben, z.B.:

∂ a
∂ α
Δa
Δα
= 0.5932
0.1000
=5.932

Leider liefert diese Funktion nicht das Vorzeichen der Ableitung, so dass man es sich selbst überlegen muss: Ein vergrößerter Winkel α würde die Seite a verlängern, also ist die Ableitung positiv.

Berechnung lightbulbWertMax
α=START 34.176500 0.1000
β=START 75.056000 0
c=START 400.01000 0
F=c²/(cot(α)+cot(β))/2 38216.496 109.66
γ=π-α-β 90.767500 0.1000
hc=2·F/c 191.07770 0.5483
pa=c·cos(β) 152.75206 0
qb=c·cos(α) 343.73956 0.3218
R=c/sin(γ)/2 202.12683 0.0466
a=sqrt(2·F·(cot(β)+cot(γ))) 206.74576 0.5932
b=sqrt(a²+c²-2·a·c·cos(β)) 373.61762 0.0862
ha=sqrt(c²-pa²) 369.69556 0
hb=sqrt(c²-qb²) 204.57544 0.5397
pb=b-qb 29.878061 0.4080
pc=b·cos(α) 321.05987 0.2265
qa=a-pa 53.993706 0.5932
qc=c-pc 78.950128 0.2265
u=a+b+c 980.37339 0.6794
r=2·F/u 77.963144 0.1696

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

Aus drei (fast) beliebigen gegebenen Größen eines ebenen Dreiecks werden alle übrigen Größen berechnet, wahlweise einschließlich einer Fehlerfortpflanzung. Wenn zwei Lösungen existieren, werden beide berechnet.

Winkeleinheit:    Notiz:

Größe Wert

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

Wir wiederholen die Berechnung mit dem zweiten Parameter β, dem ebenfalls eine kleine Abweichung 0.1 mgon zugeordnet wird. Hier erhält man z.B.

∂ a
∂ β
Δa
Δβ
= 0.0477
0.1000
=0.477

Wieder liefert diese Funktion nicht das Vorzeichen der Ableitung, so dass man es sich selbst überlegen muss. Dieses Mal ist die Überlegung schwieriger, deshalb wurde der Fall in der Abbildung oben dargestellt. Entscheidend ist, dass der Winkel γ ein spitzer Winkel ist. Ein vergrößerter Winkel β würde die Seite a verlängern, also ist die Ableitung positiv (⇑ Abbildung).

Berechnung lightbulbWertMax
α=START 34.176500 0
β=START 75.056000 0.1000
c=START 400.01000 0
F=c²/(cot(α)+cot(β))/2 38216.496 33.579
γ=π-α-β 90.767500 0.1000
hc=2·F/c 191.07770 0.1679
pa=c·cos(β) 152.75206 0.5809
qb=c·cos(α) 343.73956 0
R=c/sin(γ)/2 202.12683 0.0466
a=sqrt(2·F·(cot(β)+cot(γ))) 206.74576 0.0477
b=sqrt(a²+c²-2·a·c·cos(β)) 373.61762 0.3283
ha=sqrt(c²-pa²) 369.69556 0.2395
hb=sqrt(c²-qb²) 204.57544 0
... ... ...

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

Aus drei (fast) beliebigen gegebenen Größen eines ebenen Dreiecks werden alle übrigen Größen berechnet, wahlweise einschließlich einer Fehlerfortpflanzung. Wenn zwei Lösungen existieren, werden beide berechnet.

Winkeleinheit:    Notiz:

Größe Wert

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

Wir wiederholen die Berechnung mit dem dritten Parameter c, dem ebenfalls eine kleine Abweichung zugeordnet wird, hier nehmen wir 1m. Die Abweichung darf nicht zu klein gewählt werden, damit genug Ziffern für die Ableitung erhalten werden, aber auch nicht zu groß, damit die Näherung durch den Differenzenquotienten nicht zu schlecht ist. Hier erhält man z.B.

∂ a
∂c
Δa
Δc
= 0.5169
1.0000
=0.5169

Wenn allein der Parameter c vergrößert wird, ist klar, dass alle Winkel gleich bleiben, und alle Strecken länger werden, also ist die Ableitung positiv.

Berechnung lightbulbWertMax
α=START 34.176500 0
β=START 75.056000 0
c=START 400.01000 1.0000
F=c²/(cot(α)+cot(β))/2 38216.496 191.32
γ=π-α-β 90.767500 0
hc=2·F/c 191.07770 0.4777
pa=c·cos(β) 152.75206 0.3819
qb=c·cos(α) 343.73956 0.8593
R=c/sin(γ)/2 202.12683 0.5053
a=sqrt(2·F·(cot(β)+cot(γ))) 206.745760.5169
b=sqrt(a²+c²-2·a·c·cos(β)) 373.61762 0.9340
ha=sqrt(c²-pa²) 369.69556 0.9242
hb=sqrt(c²-qb²) 204.57544 0.5114
... ... ...

STARTSeitenanfang Lösung der Ausgleichungsaufgabe

Schließlich fassen wir die gekürzten Beobachtungen in einem Vektor l und die Ableitungen in einer Matrix A und einer Matrix F zusammen:

l=
0.00000
0.00000
-0.00270
-0.00576
0.00038
0.00000
A=
1.000 0.0000.0000
0.000 1.0000.0000
-1.000-1.0000.0000
5.932 0.4770.5169
0.862 3.2830.9340
0.000 0.0001.0000
F=
1096.6 335.79191.32

IN DUBIO PRO GEO Ausgleichung : Vermittelnde Ausgleichung

Das allgemeine vermittelnde Ausgleichungsproblem wird nach der Methode der kleinsten Quadrate gelöst, optional mit Bedingungsgleichungen für Parameter und Funktionen ausgeglichener Größen.

Notiz

Wahrscheinlichkeit für Entscheidungsfehler erster Art lightbulb

Funktionales und stochastisches Ausgleichungsmodell

Löse l+v=Ax nach der Methode der kleinsten Quadrate: vTPv→min.

  • l ist der bekannte n-Vektor der (gekürzten) Beobachtungen (Absolutgliedvektor)
  • A ist die bekannte n×u-Designmatrix des Ausgleichungsmodells
  • P ist die bekannte n×n-Gewichtsmatrix der Beobachtungen (hier diagonal)
  • x ist der unbekannte u-Vektor der (gekürzten) Parameter
  • v ist der unbekannte n-Vektor der Verbesserungen (Residuen)
beinhaltet die Ableitungen der vermittelnden Funktionen n oder 1 oder 0 Werte Glühbirne
n (gekürzte)
Beobachtungen l
n Namen der Beobach-
tungen, optional
u Namen der
Parameter, optional

Mehrere oder alle Beobachtungen, Gewichte, Standardabweichungen und Namen können in einer Zeile notiert werden, nur die Reihenfolge und Anzahl muss zur Matrix A passen.

Bedingungsgleichungen für Parameter

Optional können hier m (gekürzte) Bedingungsgleichungen BT x=b angegeben werden, die die wahren Parameter x erfüllen.

m-Vektor b

Funktionen ausgeglichener Größen

Optional können hier k linear(isiert)e Funktionen ausgeglichener Parameter f=F x oder ausgeglichener Beobachtungen f=F l angegeben werden, deren Werte und Standardabweichungen berechnet werden sollen.

k Namen der Funktionen

Ergebnisausgabe
Prüfe die Matrixkondition zu invertierender Matrizen Glühbirne
Gib mehr Ziffern für Standardabweichungen, Gewichte und Kofaktoren aus

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ausgleichung : Vermittelnde Ausgleichung

6 (gekürzte) Beobachtungen l und Gewichte p

Namelp
α 0 5.1e+5
β 0 5.1e+5
γ -0.0027 5.1e+5
a -0.00576 1.6e+5
b 0.00038 1.0e+6
c 0 1.0e+6

Standardabweichungen der Gewichtseinheit, Globaltest und Informationskriterien

A priori und a posteriori Genauigkeit stimmen im Rahmen der üblichen Entscheidungs-fehlerwahr-scheinlich-keiten überein.

Gesamtredundanzr6 − 3 = 3
A priori Standardabweichungen der Gewichtseinheit σo 1.0000
A posteriori Standardabweichungen der Gewichtseinheit σo 1.3336
Wahrscheinlichkeit für Entscheidungsfehler erster Artα0.01
Teststatistikσo2o2 5.3352
Kritische Werte (zweiseitiger Test Einstellungenändern)χ-2(0.5±(0.5-α/2),r) 0.0717 ; 12.838
Die Nullhypothese des Globaltests wirdange­nommen
Akaike InformationskriteriumAIC 22.323
Akaike Informationskriterium, korrigierte VersionAICc 34.323
Bayessches InformationskriteriumBIC 21.698

3 ausgeglichene (gekürzte) Parameter x und Standardabweichungen

Die ausgeglichenen Größen lauten
α=34.1765gon-0.0007gon=34.1758gon
β =75.0560gon+0.0005gon=75.0565gon
γ=90.7648gon+0.0029gon=90.7677gon
a=206.740m+0.0016m=206.7416m
b=373.618m+0.0003m=373.6183m
c=400.010m-0.0004m=400.0096m

Namexσxσx
α -7.00857e-4 4.1e-4 5.4e-4
β 5.24849e-4 4.0e-4 5.3e-4
c -4.40398e-4 9.6e-4 0.0013

6 ausgeglichene (gekürzte) Beobachtungen l und Standardabweichungen

a priori Standardabweichungen σl , a posteriori Standardabweichungen σl , Verbesserungen v, normierte und studentisierte Verbesserungen NV, SV , Redundanzanteile r und Individualtest

Namel σl σl v NV SV r
α -7.00857e-4 4.1e-4 5.4e-4 -7.0e-4 0.5230 0.3922 0.9163
β 5.24849e-4 4.0e-4 5.3e-4 5.2e-4 0.3909 0.2931 0.9198
γ 1.76009e-4 4.9e-4 6.5e-4 0.0029 2.1927 1.6443 0.8777
a -0.00413477 0.0023 0.0031 0.0016 1.8019 1.3512 0.1302
b 7.07607e-4 9.6e-4 0.0013 3.3e-4 1.1784 0.8836 0.0773
c -4.40398e-4 9.6e-4 0.0013 -4.4e-4 1.5694 1.1769 0.0787
max= 2.1927 max= 1.6443 min= 0.0773
Individualtest: Kritischer Wert 2.9352 1.9604(α=0.01)
Die Nullhypothese wirdange­nommen ange­nommen

1 (gekürzte) Funktionen ausgeglichener Parameter und Standardabweichungen

Der ausgeglichene Flächeninhalt lautet
F=38216.50m²-0.68m²=38215.82m².
Die zugehörige Standardabweichung beträgt a priori 0.41m² und a posteriori 0.55m².

Namefσfσf
Flächeninhalt -0.67657811 0.4131 0.5509

STARTSeitenanfang Auswertung und Schlussprobe

Es werden keine groben Fehler ausgewiesen. Allerdings ist die Redundanz der Strecken schlecht, der Redundanzanteil beträgt teilweise weniger als 0.1=10%. Das bedeutet, dass die Strecken fast unkontrollierbar sind. Grobe Fehler würden hier gar nicht auffallen! Man sieht auch, dass die a priori Genauigkeiten der ausgeglichenen Strecken kaum höher ist, als die a priori Genauigkeiten der beobachteten. Bei den Winkeln ist das besser. Diese kontrollieren sich, aber nur untereinander.

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

Aus drei (fast) beliebigen gegebenen Größen eines ebenen Dreiecks werden alle übrigen Größen berechnet, wahlweise einschließlich einer Fehlerfortpflanzung. Wenn zwei Lösungen existieren, werden beide berechnet.

Winkeleinheit:    Notiz:

Größe Wert

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

Die Schlussprobe besteht darin, die ausgeglichenen Beobachtungen aus ausgeglichenen Parametern zu berechnen. Dazu benutzen wir wieder die Berechnung Ebene Dreiecke. Die Ergebnisse stimmen mit den aus Verbesserungen berechneten ausgeglichenen Beobachtungen überein. Auch der ausgeglichene Flächeninhalt ist korrekt.

Tipp: Sie können Zahlen nicht nur mit Dezimalkomma eingeben, sondern erhalten sie auf Wunsch auch so. (Ausgabe­dezimal­trenn­zeichen in EinstellungenEinstellungen auf Komma setzen)

ausgeglichenes Dreieck

Berechnung lightbulbWert
α=START34.175800
β=START75.056500
c=START400.00960
F=c²/(cot(α)+cot(β))/238215.820
γ=π-α-β90.767700
hc=2·F/c191.07451
pa=c·cos(β)152.74900
qb=c·cos(α)343.74147
R=c/sin(γ)/2202.12654
a=sqrt(2·F·(cot(β)+cot(γ)))206.74164
b=sqrt(a²+c²-2·a·c·cos(β))373.61829
......

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Vermittelnde Ausgleichung
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24.03.2017 01:04 (Zeitzone Berlin)
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