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Anleitung : Vermittelnde Ausgleichung

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  Einführung Linearisierung Funktionen ausgeglichener Parameter Beispiel: Ausgleichendes Quadrat durch vier Eckpunkte Trick: Laden von Ausgleichungsmodellen aus anderen Werkzeugen Was möchten Sie jetzt tun? In der Bibliothek

Das allgemeine vermittelnde Ausgleichungsproblem wird nach der Methode der kleinsten Quadrate gelöst, optional mit Bedingungsgleichungen für Parameter und Funktionen ausgeglichener Größen.

Einführung

IN DUBIO PRO GEO löst l+v=Ax nach der Methode der kleinsten Quadrate: vTPv=min! , bekannt auch als vermittelnde Ausgleichung (Gauß-Markov-Modell):

Optional können mBedingungsgleichungen BT x=b angegeben werden, die die wahren Parameter x erfüllen. Die ausgeglichenen Parameter werden so berechnet, dass diese ebenso die Bedingungsgleichungen erfüllen:

Ein Ausgleichungsproblem liegt nur vor, wenn n + m > u gilt. Im Moment werden nur

unterstützt. Überstrichene Größen symbolisieren Schätzwerte, also entweder ausgeglichene Größen x, l oder a posteriori Standardabweichungen σ.

Linearisierung

Bei nichtlinearen Ausgleichungsmodellen L+v=φ(X) ist eine Linearisierung nötig, bei der ausgehend von einem Vektor der Näherungsparameter X0 gesetzt wird: x=X − X0, l=L-φ(X0) und die Matrix A besteht aus den partiellen Ableitungen ∂φ/∂X berechnet an der Stelle X=X0.
Am Ende werden die ausgeglichenen Größen berechnet als X=X0+x, L=L+v . Es sollte die Schlussprobe L=φ(X) erfüllt sein, sonst waren die Näherungsparameter zu schlecht und die Ausgleichung muss mit X0:=X wiederholt werden. Das Linearisieren muss manuell erledigt werden. Die Standardabweichungen für ungekürzte und gekürzte Parameter X, x und für ungekürzte und gekürzte Beobachtungen L, l sind identisch.

Sind nichtlineare Bedingungsgleichungen β(X)=0 vorhanden, müssen auch diese linearisiert werden: β(X0+x)=β(X0)+BTx=0, b=-β(X0) und die Matrix BT besteht aus den partiellen Ableitungen
∂β/∂X berechnet an der Stelle X0.

Das Linearisieren muss manuell erledigt werden.

STARTSeitenanfang Funktionen ausgeglichener Parameter

Oft ist man nicht direkt an den ausgeglichenen Parametern x oder ausgeglichenen Beobachtungen l selbst interessiert, sondern diese sind nur Hilfsgrößen auf dem Weg zu den eigentlich gesuchten Größen f . Also berechnet man diese Größen als Funktionen ausgeglichener Parameter. Ist diese Funktion linear in der Form f=Fx oder f=Fl , so gibt man direkt die Funktionalmatrix F an und erhält f als Rechenergebnis. Für f werden auch a priori und a posteriori Standardabweichungen σf , σf berechnet. Tritt noch ein Absolutglied hinzu, so dass f=fo+Fx oder f=fo+Fl , ändern sich die Standardabweichungen nicht. fo muss zu f manuell addiert werden.

Bei nichtlinearen Funktionen f=ψ(X) müssen auch diese linearisiert werden:
ψ(X0+x)=ψ(X0)+Fx=0, fo=ψ(X0) und die Matrix F besteht aus den partiellen Ableitungen
∂ψ/∂X berechnet an der Stelle X0. Die Standardabweichungen können wie zuvor direkt der Berechnung entnommen werden. Die Funktionswerte müssen manuell berechnet werden als ψ(X) oder ψ(Xo)+f . Diese Werte müssten bis auf Linearisierungsfehler gleich sein (Schlussprobe). Dieselbe Prozedur gilt für f=ψ(L).

Für nähere Erläuterungen zur Geodätischen Ausgleichung konsultieren Sie bitte die BuchAusgleichungslehrbücher .

STARTSeitenanfang Beispiel: Ausgleichendes Quadrat durch vier Eckpunkte

Ausgleichendes Quadrat durch vier Eckpunkte
Ausgleichendes Quadrat durch vier Eckpunkte

Die Ecken eines ebenen Quadrats wurden gemessen (E=Ost, N=Nord):

         E [m]     N [m]
    A    17.11     14.02
    B    39.37      8.26
    C    45.13     30.53
    D    22.80     36.30

Wegen geringer Messabweichungen beschreiben diese Punkte nicht exakt ein Quadrat. Dieses soll bestmöglich im Sinne kleinster Verbesserungsquadrate vTPv=min! für die Beobachtungen bestimmt werden. Außerdem suchen wir die Seitenlänge a und den Flächeninhalt F des ausgeglichenen Quadrats mit Genauigkeitsschätzungen.

Beobachtungen L sind die n=8 gemessenen Koordinaten in der gewählten Reihenfolge EA,NA,EB,...,ND . Alle Beobachtungsstandardabweichungen σl können a priori mit 0.01 m angenommen werden. Korrelationen zwischen den Beobachtungen müssen, da unbekannt, vernachlässigt werden.

Tipp: Überzeugen Sie sich mit der Berechnung von ABCD in RechenwerkzeugEbene Polygone, dass ABCD näherungsweise quadratisch ist:

und ''Rechnen''

Ein Quadrat wird durch u=4 Parameter eindeutig bestimmt. Wir wählen die Koordinaten der Punkte A und B als Parameter aus. Zur Unterscheidung von den Beobachtungen symbolisieren wir diese mit kleinen Buchstaben eA,nA,eB,nB und wählen diese Reihenfolge. Um die durch die Parameter beschriebenen Punkte A und B zu einem exakten Quadrat zu ergänzen, drehen wir den Vektor AB um 300 gon = 270° (⇑ Abbildung) und tragen diesen gedrehten Vektor an B und an A an. (Einen ebenen Vektor dreht man um 300 gon = 270°, indem man die beiden Komponenten vertauscht und bei der neuen Ost-Komponente das Vorzeichen ändert.) Das Quadrat mit den Parametern eA,nA,eB,nB hat also folgende weiteren Eckpunktkoordinaten:

eC=eB-(nB-nA) nC=nB+(eB-eA) eD=eA-(nB-nA) nD=nA+(eB-eA)

Somit ergibt sich folgendes funktionale Ausgleichungsmodell L+v=φ(X):

EA+vEA=eA EB+vEB=eB EC+vEC=eB-(nB-nA) ED+vED=eA-(nB-nA)
NA+vNA=nA NB+vNB=nB NC+vNC=nB+(eB-eA) ND+vND=nA+(eB-eA)

Weil φ hier eine lineare Funktion ist, wäre von daher keine Linearisierung nötig, und wir könnten das soeben erstellte System der Verbesserungsgleichungen sofort mit l+v=Ax identifizieren. Allerdings ist die Seitenlänge a eine nichtlineare Funktion der Parameter, und zur Berechnung der Genauigkeit von a ist eine Linearisierung letztlich doch nötig. Wir verwenden die gemessenen Koordinaten der Punkte A und B als Näherungsparameter X0 . Die gekürzten Beobachtungen l=L-φ(X0) lauten daher:

         E [m]                              N [m]
    A    17.11- 17.11            = 0.00     14.02- 14.02             =0.00
    B    39.37- 39.37            = 0.00      8.26-  8.26             =0.00
    C    45.13-(39.37-8.26+14.02)= 0.00     30.53-( 8.26+39.37-17.11)=0.01
    D    22.80-(17.11-8.26+14.02)=-0.07     36.30-(14.02+39.37-17.11)=0.02

Die Designmatrix A und der Vektor der gekürzten Beobachtungen l lauten somit:

A=
1000
0100
0010
0001
011-1
-1011
110-1
-1110
l=
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.01
-0.07
0.02

Zwei Funktionen von ausgeglichenen Parametern

a=[(eA-eB)²+(nA-nB)²]½, F= (eA-eB)²+(nA-nB

sind zu berechnen. Aus diesen Funktionen (in dieser Reihenfolge) gewinnen wir folgende Ableitungen, die in der Funktionalmatrix

F=
17.11-39.37
  22.993
14.02-8.26
  22.993
39.37-17.11
  22.993
8.26-14.02
  22.993
2(17.11-39.37)2(14.02-8.26)2(39.37-17.11)2(8.26-14.02)
=
-44.52 11.52 44.52 -11.52
-0.96810.25050.9681-0.2505

zusammengefasst werden. Zusammen mit den n=8 a priori Standardabweichungen der Beobachtungen, die alle 0.01 betragen, sind die Eingangsgrößen komplett. Als Wahrscheinlichkeit für Entscheidungsfehler erster Art wählen wir 0.01.

und Rechnen

Zunächst stellen wir fest, dass der Globaltest abgelehnt wird. Das bedeutet, dass die Genauigkeiten a priori und a posteriori signifikant verschieden sind. Alle ausgeglichenen Koordinaten haben dieselbe Standardabweichung von σl=7.1 mm bzw. σl=16.8 mm . (Die Genauigkeiten von gekürzten und ungekürzten Größen stimmen stets überein). Alle Redundanzanteile betragen r=0.5=50% , was beweist, dass alle Beobachtungen gut kontrollierbar sind. Eine normierte Verbesserung NV=4.6 führt zur Ablehnung der Nullhypothese des Individualtests . Die Beobachtung ED könnte hiernach grob falsch sein und die Ausgleichung könnte ohne diese Beobachtung wiederholt werden. Alle Studentisierten Verbesserungen SV liegen unterhalb ihres kritischen Wertes. Es ist auch möglich, dass die a priori Genauigkeitsannahme wohl doch etwas zu optimistisch war.

Mit den Verbesserungen v=Ax-l berechnen wir die ausgeglichenen Beobachtungen L=L+v und damit die endgültigen Koordinaten der Eckpunkte:

	   E [m]            	   N [m]
A	17.11-0.0225=17.0875	14.02-0.0125=14.0075
B	39.37+0.0025=39.3725	 8.26+0.0025= 8.2625
C	45.13-0.0125=45.1175	30.53+0.0175=30.5475
D	22.80+0.0375=22.8325	36.30-0.0075=36.2925

Wir überzeugen uns mit der Berechnung von ABCD mit endgültigen Koordinaten in RechenwerkzeugEbene Polygone , dass ABCD exakt ein Quadrat ist. Dies ist zugleich die Schlussprobe.

und ''Rechnen'' klicken

Die ausgeglichene Seitenlänge und den ausgeglichenen Flächeninhalt des Quadrats gewinnen wir aus endgültigen Koordinaten direkt aus der Schlussprobe von oben zu a=23.01361 und F=529.626. Dasselbe Ergebnisse erhalten wir auch mit den Abmessungen des Näherungsquadrats, welches sich aus den Näherungsparametern ergibt,

F0=(17.11-39.37)²+(14.02-8.26)²=528.685,     a0=√528.685=22.9932

plus gekürzter Funktionswerte f=Fx , für die man der Ausgleichung die Werte 0.0204 und 0.940 entnimmt.

Die Genauigkeiten von a stimmen mit denen der ausgeglichenen Koordinaten überein, weil die Kofaktoren gleich sind. Die a posteriori Standardabweichung von F beträgt σF=0.77 m².

Aufgabe: Eliminieren Sie die Beobachtung ED durch Streichen der 7. Zeile der A-Matrix und Streichen der 7. gekürzten Beobachtung und der 7. Beobachtungsstandardabweichung. Wiederholen Sie nun die Ausgleichung. Es stellt sich heraus, dass jetzt alle Nullhypothesen angenommen werden. Alle a posteriori Standardabweichungen deutlich sind deutlich kleiner, für den ausgeglichenen Flächeninhalt z.B. 0.23 m². Dieses Vorgehen ist jedoch fraglich, weil es möglicherweise konsequenter wäre, den Punkt D insgesamt zu streichen. (Warum sollte nur eine Koordinate von D grob falsch sein?). Den statistischen Test, der diese Alternativhypothese entscheiden könnte, müsste man allerdings manuell erledigen.

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RechenwerkzeugHöhennetze und RechenwerkzeugSatzmessungen können mit RechenwerkzeugVermittelnde Ausgleichung neu ausgeglichen werden. Das bietet folgende Vorteile:

Demnächst werden noch mehr Werkzeuge diese Option bieten.

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25.02.2017 16:50 (Zeitzone Berlin)