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Aufgabe Lösung zu Aufgabe A Rechenprobe zu Aufgabe A Lösung zu Aufgabe B Rechenprobe zu Aufgabe B In der Bibliothek

Die Tutorien erläutern die Funktion von IN DUBIO PRO GEO anhand von Praxisbeispielen. Die Lösungen zu den Aufgaben sind mittels vorausgefüllter Formulare nachvollziehbar. In den Auswahlfeldern stehen nicht alle Optionen zur Verfügung. Die Formulare lassen sich mit der Schaltfläche absenden und so die Ergebnisse betrachten. Um das zu ersparen, sind die Ergebnisse im Tutorium auszugsweise dargestellt. Die wesentlichen Zwischen- und Endergebnisse sind durch goldfarbene Boxen hervorgehoben. Die Lösungen sind in weiteren goldfarbenen Boxen kommentiert.

≡ START Anleitung English Aufgabe

Gegeben sind folgende lokale ebene Koordinaten in einem kartesischen Linkssystem:

	Punkt  X [m]     Y [m]
	 A     16.10     23.06
	 B     17.11    108.07
	 C    107.08    102.12
	 D    119.63     14.02

Aufgabe A Bestimmen Sie die Koordinaten eines abzusteckenden Punktes E auf der Geraden AB, so dass das ebene Viereck AECD den Flächeninhalt 10000 m² besitzt.

Aufgabe B Bestimmen Sie außerdem zwei Punkte F und G, so dass FG parallel zu AD ist und das ebene Viereck AFGD den Flächeninhalt 10000 m² besitzt.

Führen Sie je eine Rechenprobe durch. Die Maßstäbe von Koordinaten und Flächen sind gleich.

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IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Polygone

Ebene Polygone werden aus gegebenen Eckpunktkoordinaten berechnet: ebene Polygon- und Richtungswinkel, Seitenlängen, Flächeninhalt, Umfang etc.

Winkeleinheit Gon [-200...200]    Notiz

System	Punktnamen und Koordinaten
Systemtyp: X Y Z linkshändig Spaltenformat: Punktname Koordinaten offenes Polygon	D 119.63 14.02 C 107.08 102.12 B 17.11 108.07 A 16.10 23.06 Zunächst berechnen wir das Viereck ABCD. Wenn die Punkte im Uhrzeigersinn durchlaufen werden, wird der Flächeninhalt positiv ausgewiesen und die Polygonwinkel sind Innenwinkel. Deshalb die Änderung der Punktreihenfolge.

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Polygone

Als Systemtyp wählen wir XYZ, damit alle Berechnungen mit Maßstab 1 durchgeführt werden.

Berechnung des Vierecks ABCD

lokal, kartesisches Linkssystem

4 Punkte

PName	X	Y	Polygonwinkel
D	119.63000000	14.02000000	85.44709245
C	107.08000000	102.12000000	113.21219990
B	17.11000000	108.07000000	96.55228387
A	16.10000000	23.06000000	104.78842378

Der Flächeninhalt beträgt 8330.95 m². Für die folgende Rechnung benötigen wir einige Polygonwinkel, Seitenlängen und Richtungswinkel des Polygons ABCD.

Wir haben mit dem Flächen-inhalt von 10000 m² - 8330.95 m² = 1669.05 m², der Seite BC von 90.167 m und dem Winkel bei B von 200 gon - 96.552 gon = 103.448 gon drei Größen für das Dreieck BEC verfügbar und berechnen dieses.

Seitenlängen und Richtungswinkel

von	nach	Seitenlänge	Richtungswinkel
D	C	88.98939544	109.00815426
C	B	90.16653148	195.79595436
B	A	85.01599967	299.24367049
A	D	103.92392650	394.45524671

Spezielle Punkte

	X	Y
Flächenschwerp.	65.237678841	60.801968445
Eckenschwerpunkt	64.980000000	61.817500000

Flächeninhalt 8330.9501    Umfang 368.095853

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

Aus drei (fast) beliebigen gegebenen Größen eines ebenen Dreiecks werden alle übrigen Größen berechnet, wahlweise einschließlich einer . Wenn zwei Lösungen existieren, werden beide berechnet.

Winkeleinheit Gon [0...200]     Notiz

Größe	Wert	keine Fehlerfortpflanzung Standardabweichung Max. abs. Abweichung Gewicht
Flächeninhalt F
Winkel α
Seitenlänge b

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

Berechnung des Dreiecks BEC

Berechnung	Wert
F=START	1669.0500
α=START	103.44800
b=START	90.167000
c=2·F/b/sin(α)	37.075671

...

Winkeleinheit = Gon

F = Dreiecksfläche
u = Dreiecksumfang
r = Inkreisradius
R = Umkreisradius

Liegt der Höhenfußpunkt außerhalb einer Seite, wird ein Seitenabschnitt p oder q negativ erhalten.

Es ergibt sich BE = 37.08 m.

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Aus Punktkoordinaten und polaren Messwerten werden alle möglichen Größen berechnet. Rechenregeln zwischen diesen Größen werden aufgestellt und nacheinander angewendet, bis keine neuen Werte mehr erhalten werden, und zwar auf jede mögliche Weise. Dadurch ergeben sich oft viele verschiedene Ergebnisse, deren Vergleich zur Aufdeckung grober Fehler genutzt werden kann. Die Mediane der berechneten Werte stellen dann das Ergebnis einer robusten Schätzung dar.

Winkeleinheit Gon [-200...200]    Notiz

Bekannte Punkte	Punktnamen und Koordinaten
Systemtyp: X Y Z linkshändig Spaltenformat: Punktname Koordinaten	D 119.63 14.02 C 107.08 102.12 B 17.11 108.07 A 16.10 23.06 Die Koordinaten werden direkt aus der Polygonberechnung übernommen, sollten Sie diese vorher durchgeführt haben!

Punktnamen (Spalte 1) und Messwerte (Spalte 2…5)

zweite Spalte: Code / nicht benutzt dritte Spalte: Code / nicht benutzt vierte Spalte: Code / nicht benutzt fünfte Spalte: Code / nicht benutzt zweite Spalte: Richtungswinkel dritte Spalte: Horizontaldistanz vierte Spalte: Code / nicht benutzt fünfte Spalte: Code / nicht benutzt

B // Standpunkt E 99.244 37.08 // Zielpunkt mit Richtungswinkel // und Horizontaldistanz Nun kann der Punkt E berechnet werden. Von B nach E haben wir Richtungswinkel 99.244 gon und Horizontaldistanz 37.08 m einzugeben. Spalten, die ohnehin leer sind, müssen nicht auf nicht benutzt gesetzt werden. Nur darf nicht dasselbe wie in einer anderen Spalte gewählt sein. IN DUBIO PRO GEO ignoriert alles, was hinter "//" steht. Tipp: Sie können Zahlen nicht nur mit Dezimalkomma eingeben, sondern erhalten sie auf Wunsch auch so. (Ausgabe­dezimal­trenn­zeichen in auf Komma setzen)

Berechne neu alles, was geht keine bekannten Punkte (XY) keine bekannten Punkte (Z) keine bekannten Punkte (XYZ) keine Messgrößen (rtesvo...) keine Startgrößen (XYZrte...) . Berechnungsdauer maximal 10 s .

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Punkt E polar anhängen

Bekannte Punkte: lokal, kartesisches Linkssystem

4 Punkte

PName	X	Y
D	119.63000000	14.02000000
C	107.08000000	102.12000000
B	17.11000000	108.07000000
A	16.10000000	23.06000000

Eingabe-Messwerte

Symbole

o	Orientierungswinkel	r	Horizontalrichtung	e	Horizontaldistanz
ih	Instrumentenhöhe	t	Richtungswinkel	s	Schrägdistanz
th	Zielhöhe	v	Zenitwinkel	dh	Höhendifferenz

IN DUBIO PRO GEO erkennt automatisch, was zu rechnen ist. Hier ist es noch vergleichsweise einfach.

StandPname
B

ZielPname	t	e
E	99.24400	37.08000

Ergebnisse

Das Ergebnis lautet: E(X = 17.55 m; Y = 145.15 m).

Größe	von	nach	Werte	Min.	Median	Max …
X	E				17.55032282
Y	E		1		145.1473855

≡ START Anleitung English Rechenprobe zu Aufgabe A

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Polygone

Ebene Polygone werden aus gegebenen Eckpunktkoordinaten berechnet: ebene Polygon- und Richtungswinkel, Seitenlängen, Flächeninhalt, Umfang etc.

Winkeleinheit Gon [-200...200]    Notiz

System	Punktnamen und Koordinaten
Systemtyp: X Y Z linkshändig Spaltenformat: Punktname Koordinaten offenes Polygon	Schließlich machen wir noch die Rechenprobe. D 119.63 14.02 C 107.08 102.12 //B 17.11 108.07 ersetzt E 17.55 145.15 //neu A 16.10 23.06

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Polygone

Berechnung des Vierecks AECD

lokal, kartesisches Linkssystem

4 Punkte

PName	X	Y	Polygonwinkel
D	119.63000000	14.02000000	85.44709245
C	107.08000000	102.12000000	137.53028511
E	17.55000000	145.15000000	72.23391409
A	16.10000000	23.06000000	104.78870835

Seitenlängen und Richtungswinkel

Die Fläche stimmt auf 0.3 m². Mit cm-genauen Koordinaten ist es genauer nicht sinnvoll. Außerdem stimmt der Richtungswinkel von E nach A mit dem von B nach A überein, was beweist, dass der Punkt E auf der Gerade AB liegt.

von	nach	Seitenlänge	Richtungswinkel
D	C	88.98939544	109.00815426
C	E	99.33378982	171.47786915
E	A	122.09861015	299.24395506
A	D	103.92392650	394.45524671

Spezielle Punkte

	X	Y
Flächenschwerpunkt	62.234330028	70.424661083
Eckenschwerpunkt	65.090000000	71.087500000

Flächeninhalt 10000.3261    Umfang 414.34572190727

≡ START Anleitung English Lösung zu Aufgabe B

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Vierecke

Aus fünf (fast) beliebigen gegebenen Größen eines ebenen Vierecks werden alle übrigen Größen berechnet, wahlweise einschließlich einer . Wenn zwei Lösungen existieren, werden beide berechnet.

Winkeleinheit Gon [0...200]    Notiz

Größe	Wert	keine Fehlerfortpflanzung Standardabweichung Max. abs. Abweichung Gewicht
Seitenlänge d
Winkel α
Winkel β
Winkel δ
Flächeninhalt F

Wenn das Viereck konkav ist, muss A der innere Punkt sein.

konvexes Viereck (wie Abbildung links )

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Vierecke

Berechnung des Vierecks AFGD

Zur Berechnung des Vierecks AFGD liegen vor:
- 3 übereinstimmende Größen
  der Vierecke ABCD und AFGD:
  Seite d=AD, Winkel α, δ
- Winkel β=200 gon -α,
  damit AD und FG parallel sind
- und der gewünschte
  Flächeninhalt von 10000 m².
Damit berechnen wir dieses Viereck.

Berechnung	Wert
d=START	103.92400
α=START	104.78800
β=START	95.212000
δ=START	85.447000
F=START	10000.000
γ=2π-α-β-δ	114.55300
c=TZ(d,δ,α,γ,F)	107.27816
e=sqrt(c²+d²-2·c·d·cos(δ))	131.36173
RB=e/sin(β)/2	65.867066
RD=e/sin(δ)/2	67.435187
FD=c·d·sin(δ)/2	5429.3705
FB=F-FD	4570.6295
α1=arccos((e²+d²-c²)/e/d/2)	58.549601
α2=α-α1	46.238399
γ1=π-β-α2	58.549601
γ2=γ-γ1	56.003399
a=2·FB/e/sin(α2)	104.78354
b=2·FB/a/sin(β)	87.486773
...

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Aus Punktkoordinaten und polaren Messwerten werden alle möglichen Größen berechnet. Rechenregeln zwischen diesen Größen werden aufgestellt und nacheinander angewendet, bis keine neuen Werte mehr erhalten werden, und zwar auf jede mögliche Weise. Dadurch ergeben sich oft viele verschiedene Ergebnisse, deren Vergleich zur Aufdeckung grober Fehler genutzt werden kann. Die Mediane der berechneten Werte stellen dann das Ergebnis einer robusten Schätzung dar.

Winkeleinheit Gon [-200...200]    Notiz

Bekannte Punkte	Punktnamen und Koordinaten
Systemtyp: X Y Z linkshändig Spaltenformat: Punktname Koordinaten	Nun können die Punkte F und G polar an A und D angehängt werden. D 119.63 14.02 C 107.08 102.12 B 17.11 108.07 A 16.10 23.06

Punktnamen (Spalte 1) und Messwerte (Spalte 2…5)

zweite Spalte: Code / nicht benutzt dritte Spalte: Code / nicht benutzt vierte Spalte: Code / nicht benutzt fünfte Spalte: Code / nicht benutzt zweite Spalte: Horizontalrichtung dritte Spalte: Horizontaldistanz vierte Spalte: Code / nicht benutzt fünfte Spalte: Code / nicht benutzt

A // Standpunkt B 0 // Festpunkt zur Orientierung F 0 104.784 // Neupunkt ::: Trennzeile ::: D // Standpunkt C 0 // Festpunkt zur Orientierung G 0 107.278 // Neupunkt Statt mit dem Richtungswinkel wie bei Aufgabe A arbeiten wir diesmal alternativ mit je einem Festpunkt zur Orientierung. Das könnte als einfacher empfunden werden. Es ist unwesentlich, welche Richtungen eingegeben werden (hier jeweils 0). Es müssen nur auf A zweimal dieselben sein und auf D ebenfalls. So ist sichergestellt, dass F auf AB und G auf DC liegt. Die Horizontaldistanzen AF und DG ergaben sich aus der Vierecksberechnung AFGD.

Berechne neu alles, was geht keine bekannten Punkte (XY) keine bekannten Punkte (Z) keine bekannten Punkte (XYZ) keine Messgrößen (rtesvo...) keine Startgrößen (XYZrte...) . Berechnungsdauer maximal 10 s .

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Punkte F und G polar anhängen

Bekannte Punkte: lokal, kartesisches Linkssystem

4 Punkte

PName	X	Y
D	119.63000000	14.02000000
C	107.08000000	102.12000000
B	17.11000000	108.07000000
A	16.10000000	23.06000000

Eingabe-Messwerte

IN DUBIO PRO GEO erkennt automatisch, was zu rechnen ist.

StandPname
A

ZielPname	r	e
B	0
F	0	104.7840

StandPname
D

ZielPname	r	e
C	0
G	0	107.2780

Ergebnisse

Die '1' in Spalte 'Werte' zeigt an, dass die Berechnung eindeutig ist.

Das Ergebnis lautet:
F (X=17.34; Y=127.84),
G (X=104.50; Y=120.23).

Größe	von	nach	Werte	Min.	Median	Max. …
X	F				17.34484615
Y	F		1		127.8366053
X	G				104.5007939
Y	G		1		120.2258210
e	A	B	1		85.01599967
e	B	F	1		19.76800033
e	C	D	1		88.98939544
e	C	G	1		18.28860456
o	A		1		99.24367049
o	D		1		109.0081543
t	A	B	1		99.24367049
t	A	F	1		99.24367049
t	C	D	1		309.0081543
t	D	G	1		109.0081543

Winkeleinheit = Gon

≡ START Anleitung English Rechenprobe zu Aufgabe B

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Polygone

Ebene Polygone werden aus gegebenen Eckpunktkoordinaten berechnet: ebene Polygon- und Richtungswinkel, Seitenlängen, Flächeninhalt, Umfang etc.

Winkeleinheit Gon [-200...200]    Notiz

System	Punktnamen und Koordinaten
Systemtyp: X Y Z linkshändig Spaltenformat: Punktname Koordinaten offenes Polygon	Als Probe berechnen wir das neue Polygon AFGD, indem wir die Neupunkte F und G in die Koordinatenliste aufnehmen. Von Vorteil ist, B und C mit drin zu behalten. D 119.63 14.02 C 107.08 102.12 G 104.50 120.23 F 17.34 127.84 B 17.11 108.07 A 16.10 23.06

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Polygone

Berechnung des Vierecks AFGD

lokal, kartesisches Linkssystem

6 Punkte

PName	X	Y	Polygonwinkel
D	119.63000000	14.02000000	85.44709245
C	107.08000000	102.12000000	199.99931562
G	104.50000000	120.23000000	114.55315013
F	17.34000000	127.84000000	95.19628508
B	17.11000000	108.07000000	200.01573294
A	16.10000000	23.06000000	104.78842378

Seitenlängen und Richtungswinkel

Die Fläche weicht um 0.4 m² von der Sollfläche ab. Wie wir an den Polygonwinkeln bei B und C sehen, liegen A,B,F und auch G,C,D auf je einer Geraden. Wie wir an den Richtungswinkeln von GF und AD sehen, sind beide Seiten wie gewünscht parallel.
Das Endergebnis ist also korrekt!

von	nach	Seitenlänge	Richtungsw.
D	C	88.98939544	109.00815426
C	G	18.29285380	109.00883864
G	F	87.49158645	194.45568851
F	B	19.77133784	299.25940343
B	A	85.01599967	299.24367049
A	D	103.92392650	394.45524671

Flächeninhalt 10000.4047

≡ START Anleitung English

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