Gegeben sind folgende lokale ebene Koordinaten in einem kartesischen Linkssystem:
Punkt X [m] Y [m] A 16.10 23.06 B 17.11 108.07 C 107.08 102.12 D 119.63 14.02
Aufgabe A Bestimmen Sie die Koordinaten eines abzusteckenden Punktes E auf der Geraden AB, so dass das ebene Viereck AECD den Flächeninhalt 10000 m² besitzt.
Aufgabe B Bestimmen Sie außerdem zwei Punkte F und G, so dass FG parallel zu AD ist und das ebene Viereck AFGD den Flächeninhalt 10000 m² besitzt.
Führen Sie je eine Rechenprobe durch. Die Maßstäbe von Koordinaten und Flächen sind gleich.
Als Systemtyp wählen wir XYZ, damit alle Berechnungen mit Maßstab 1 durchgeführt werden.
Berechnung des Vierecks ABCD
4 Punkte
PName | X | Y | Polygonwinkel |
---|---|---|---|
D | 119.63000000 | 14.02000000 | 85.44709245 |
C | 107.08000000 | 102.12000000 | 113.21219990 |
B | 17.11000000 | 108.07000000 | 96.55228387 |
A | 16.10000000 | 23.06000000 | 104.78842378 |
Der Flächeninhalt beträgt 8330.95 m². Für die folgende Rechnung benötigen wir einige Polygonwinkel,
Seitenlängen und Richtungswinkel des Polygons ABCD.
Wir haben mit dem Flächen-inhalt von 10000 m² - 8330.95 m² = 1669.05 m²,
der Seite BC von 90.167 m und dem Winkel bei B von 200 gon - 96.552 gon = 103.448 gon
drei Größen für das Dreieck BEC verfügbar und berechnen dieses.
von | nach | Seitenlänge | Richtungswinkel |
---|---|---|---|
D | C | 88.98939544 | 109.00815426 |
C | B | 90.16653148 | 195.79595436 |
B | A | 85.01599967 | 299.24367049 |
A | D | 103.92392650 | 394.45524671 |
X | Y | |
---|---|---|
Flächenschwerp. | 65.237678841 | 60.801968445 |
Eckenschwerpunkt | 64.980000000 | 61.817500000 |
Flächeninhalt
8330.9501 Umfang 368.095853
Berechnung des Dreiecks BEC
Berechnung | Wert | |||
---|---|---|---|---|
F=START | 1669.0500 | |||
α=START | 103.44800 | |||
b=START | 90.167000 | |||
c=2·F/b/sin(α) | 37.075671 |
...
Winkeleinheit = Gon
F = Dreiecksfläche
u = Dreiecksumfang
r = Inkreisradius
R = Umkreisradius
Liegt der Höhenfußpunkt außerhalb einer Seite, wird ein Seitenabschnitt p oder q negativ erhalten.
Es ergibt sich BE = 37.08 m.
Punkt E polar anhängen
4 Punkte
PName | X | Y | |
---|---|---|---|
D | 119.63000000 | 14.02000000 | |
C | 107.08000000 | 102.12000000 | |
B | 17.11000000 | 108.07000000 | |
A | 16.10000000 | 23.06000000 |
o | Orientierungswinkel | r | Horizontalrichtung | e | Horizontaldistanz |
---|---|---|---|---|---|
ih | Instrumentenhöhe | t | Richtungswinkel | s | Schrägdistanz |
th | Zielhöhe | v | Zenitwinkel | dh | Höhendifferenz |
IN DUBIO PRO GEO erkennt automatisch, was zu rechnen ist. Hier ist es noch vergleichsweise einfach.
StandPname | ||||
---|---|---|---|---|
B |
ZielPname | t | e | |||
---|---|---|---|---|---|
E | 99.24400 | 37.08000 |
Das Ergebnis lautet: E(X = 17.55 m; Y = 145.15 m).
Größe | von | nach | Werte | Min. | Median | Max … |
---|---|---|---|---|---|---|
X | E | 17.55032282 | ||||
Y | E | 1 | 145.1473855 |
Berechnung des Vierecks AECD
4 Punkte
PName | X | Y | Polygonwinkel |
---|---|---|---|
D | 119.63000000 | 14.02000000 | 85.44709245 |
C | 107.08000000 | 102.12000000 | 137.53028511 |
E | 17.55000000 | 145.15000000 | 72.23391409 |
A | 16.10000000 | 23.06000000 | 104.78870835 |
Die Fläche stimmt auf 0.3 m². Mit cm-genauen Koordinaten ist es genauer nicht sinnvoll. Außerdem stimmt der Richtungswinkel von E nach A mit dem von B nach A überein, was beweist, dass der Punkt E auf der Gerade AB liegt.
von | nach | Seitenlänge | Richtungswinkel |
---|---|---|---|
D | C | 88.98939544 | 109.00815426 |
C | E | 99.33378982 | 171.47786915 |
E | A | 122.09861015 | 299.24395506 |
A | D | 103.92392650 | 394.45524671 |
X | Y | |
---|---|---|
Flächenschwerpunkt | 62.234330028 | 70.424661083 |
Eckenschwerpunkt | 65.090000000 | 71.087500000 |
Flächeninhalt
10000.3261 Umfang 414.34572190727
Berechnung des Vierecks AFGD
Zur Berechnung des Vierecks AFGD liegen vor:
- 3 übereinstimmende Größen
der Vierecke ABCD und AFGD:
Seite d=AD, Winkel α, δ
- Winkel β=200 gon -α,
damit AD und FG parallel sind
- und der gewünschte
Flächeninhalt von 10000 m².
Damit berechnen wir dieses Viereck.
Berechnung | Wert | |||
---|---|---|---|---|
d=START | 103.92400 | |||
α=START | 104.78800 | |||
β=START | 95.212000 | |||
δ=START | 85.447000 | |||
F=START | 10000.000 | |||
γ=2π-α-β-δ | 114.55300 | |||
c=TZ(d,δ,α,γ,F) | 107.27816 | |||
e=sqrt(c²+d²-2·c·d·cos(δ)) | 131.36173 | |||
RB=e/sin(β)/2 | 65.867066 | |||
RD=e/sin(δ)/2 | 67.435187 | |||
FD=c·d·sin(δ)/2 | 5429.3705 | |||
FB=F-FD | 4570.6295 | |||
α1=arccos((e²+d²-c²)/e/d/2) | 58.549601 | |||
α2=α-α1 | 46.238399 | |||
γ1=π-β-α2 | 58.549601 | |||
γ2=γ-γ1 | 56.003399 | |||
a=2·FB/e/sin(α2) | 104.78354 | |||
b=2·FB/a/sin(β) | 87.486773 | |||
... |
Punkte F und G polar anhängen
4 Punkte
PName | X | Y | |
---|---|---|---|
D | 119.63000000 | 14.02000000 | |
C | 107.08000000 | 102.12000000 | |
B | 17.11000000 | 108.07000000 | |
A | 16.10000000 | 23.06000000 |
IN DUBIO PRO GEO erkennt automatisch, was zu rechnen ist.
StandPname | ||||
---|---|---|---|---|
A |
ZielPname | r | e | |||
---|---|---|---|---|---|
B | 0 | ||||
F | 0 | 104.7840 |
StandPname | ||||
---|---|---|---|---|
D |
ZielPname | r | e | |||
---|---|---|---|---|---|
C | 0 | ||||
G | 0 | 107.2780 |
Die '1' in Spalte 'Werte' zeigt an, dass die Berechnung eindeutig ist.
Das Ergebnis lautet:
F (X=17.34; Y=127.84),
G (X=104.50; Y=120.23).
Größe | von | nach | Werte | Min. | Median | Max. … |
---|---|---|---|---|---|---|
X | F | 17.34484615 | ||||
Y | F | 1 | 127.8366053 | |||
X | G | 104.5007939 | ||||
Y | G | 1 | 120.2258210 | |||
e | A | B | 1 | 85.01599967 | ||
e | B | F | 1 | 19.76800033 | ||
e | C | D | 1 | 88.98939544 | ||
e | C | G | 1 | 18.28860456 | ||
o | A | 1 | 99.24367049 | |||
o | D | 1 | 109.0081543 | |||
t | A | B | 1 | 99.24367049 | ||
t | A | F | 1 | 99.24367049 | ||
t | C | D | 1 | 309.0081543 | ||
t | D | G | 1 | 109.0081543 |
Winkeleinheit = Gon
Berechnung des Vierecks AFGD
6 Punkte
PName | X | Y | Polygonwinkel |
---|---|---|---|
D | 119.63000000 | 14.02000000 | 85.44709245 |
C | 107.08000000 | 102.12000000 | 199.99931562 |
G | 104.50000000 | 120.23000000 | 114.55315013 |
F | 17.34000000 | 127.84000000 | 95.19628508 |
B | 17.11000000 | 108.07000000 | 200.01573294 |
A | 16.10000000 | 23.06000000 | 104.78842378 |
Die Fläche weicht um 0.4 m² von der Sollfläche ab.
Wie wir an den Polygonwinkeln bei B und C sehen, liegen A,B,F und auch G,C,D auf je einer Geraden.
Wie wir an den Richtungswinkeln von GF und AD sehen, sind beide Seiten wie gewünscht parallel.
Das Endergebnis ist also korrekt!
von | nach | Seitenlänge | Richtungsw. |
---|---|---|---|
D | C | 88.98939544 | 109.00815426 |
C | G | 18.29285380 | 109.00883864 |
G | F | 87.49158645 | 194.45568851 |
F | B | 19.77133784 | 299.25940343 |
B | A | 85.01599967 | 299.24367049 |
A | D | 103.92392650 | 394.45524671 |
Flächeninhalt 10000.4047
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![]() | Lehmann R | Ebene Geodätische Berechnungen | 2018 | 89 1.7 |