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Anleitung : Universalrechner

Aus Punktkoordinaten und polaren Messwerten werden alle möglichen Größen berechnet. Rechenregeln zwischen diesen Größen werden aufgestellt und nacheinander angewendet, bis keine neuen Werte mehr erhalten werden, und zwar auf jede mögliche Weise. Dadurch ergeben sich oft viele verschiedene Ergebnisse, deren Vergleich zur Aufdeckung grober Fehler genutzt werden kann. Die Mediane der berechneten Werte stellen dann das Ergebnis einer robusten Schätzung dar.

Koordinaten und
polare Messwerte
Koordinaten und polare Messwerte

Punktkoordinaten können kartesische oder Gitterkoordinaten sein und werden hier mit X,Y,Z bezeichnet. Polare Messwerte können sein:

Die Kombination der gegebenen Koordinaten und Messwerte kann völlig beliebig sein. Es wird immer berechnet, was sich mit den vorhandenen Größen berechnen lässt, und zwar vollständig . Auch können alle Messwerte fehlen und nur Stand- und Zielpunktnamen angegeben sein. Es wird dann versucht, Polarwerte aus gegebenen Koordinaten zu berechnen. Beispiel: Polarwerte aus kartesischen Koordinaten berechnen

Ausgleichung, Robuste Schätzung, Vermeidung ungünstiger Schnitte

Wenn verschiedene Rechenwege zu denselben Größen führen, werden alle durchgerechnet und verglichen. Es werden Anzahl, Minimum und Maximum sowie die Spannweite der erhaltenen Werte berechnet. Ist die Spannweite gering, sollte der Median als endgültiges Ergebnis in Betracht gezogen werden, andernfalls ist ein grober Fehler in den Startwerten wahrscheinlichAusreißererkennung) . Bei vielen verschiedenen Werten wird der Median kaum von einzelnen groben Fehlern in den Eingabewerten verfälscht. Es erfolgt keine Ausgleichung im herkömmlichen Sinne nach kleinsten Quadraten, aber die Ergebnisse sind sehr gut kontrollierbar und sogar ausgeglichen im Sinne einer robusten Schätzung.

Wenn ausreichend viele verschiedene Rechenwege für eine Größe gefunden wurden, wird untersucht, ob sich die Spannweite verringern lässt, indem ungünstige geodätische Schnitte (sogenannte ''schleifende'' Schnitte) oder ungünstige Berechnungen in sehr spitzwinkligen Dreiecken vermieden werden. Ist das der Fall, werden die entsprechenden Werte verworfen. Die Gesamtzahl der verworfenenen Werte wird dokumentiert. Im Beispiel: Unzugänglicher Punkt mit horizontalen Hilfsdreiecken wurden 1533 von 2590 berechneten Werten wegen ungünstiger Schnittwinkel verworfen.

Zusätzliche Möglichkeiten

Der Systemtyp der Koordinaten der bekannten Punkte muss kartesisches Linkssystem oder Gittersystem sein. An die Distanzen müssen die Instrumentenkorrektionen wie Additions- bzw. Prismenkonstanten angebracht sein, aber nicht der Gittermaßstabsfaktor.

Bei bekannten Punkten müssen immer mindestens beide Lagekoordinaten X,Y oder Nordwert, Ostwert vorhanden sein.
Fehlende Koordinaten und Messwerte gelten immer als unbekannt, also auch fehlende Instrumentenhöhen ih und Zielhöhen th ! Werden z.B. Höhen für Neupunkte benötigt, so müssen Instrumenten- und Zielhöhen vollständig angegeben werden.

Wann immer das möglich ist, werden Startwerte standardmäßig auch aus anderen Startwerten neu berechnet. Das ermöglicht auch hier eine Kontrolle auf grobe Fehler. Möchte man hingegen einzelne Startwerte als fehlerfrei definieren, so kann man die Neuberechnung der Startwerte auch unterdrücken. Das kann man für alle Punktkoordinaten (nur XY oder nur Z oder XYZ), für alle polaren Messgrößen (rtesvo…) oder für alle Startgrößen (XYZrte…) tun.

Mit diesem Universalrechner können auch Satzmessungen ausgewertet werden. Allerdings werden keine Instrumentenfehler und keine Genauigkeitsmaße berechnet. Deshalb empfehlen wir, das Rechenwerkzeug Satzmessungen zu benutzen. Sie können die dort erhaltenen Satzmittel direkt in diesen Universalrechner laden.

Trick: Blinde Zielpunkte

Oft berechnet der Universalrechner nur polare Werte zwischen Punkten, zwischen denen gemessen wurde (Stand- und Zielpunkte in einer Aufstellung). Mehr Ergebnisse erhält man manchmal, wenn man bei einzelnen Standpunkten noch blinde Zielpunkte ohne Messwerte hinzufügt. Möchte man z.B. die Horizontaldistanz zwischen zwei bekannten Punkten erhalten, gibt man diese irgendwo als Stand- und Zielpunkte ohne Messwerte an. Von diesem Wert würde auch in weiteren Rechnungen Gebrauch gemacht, wenn er irgendwo nützlich ist. Finden Sie einen solchen Fall im Beispiel: Polarwerte aus kartesischen Koordinaten berechnen.

Oft berechnet der Universalrechner nur polare Werte zwischen Punkten, zwischen denen gemessen wurde (Stand- und Zielpunkte in einer Aufstellung). Mehr Ergebnisse erhält man manchmal, wenn man bei einzelnen Standpunkten noch blinde Zielpunkte ohne Messwerte hinzufügt. Möchte man z.B. die Horizontaldistanz zwischen zwei bekannten Punkten erhalten, gibt man diese irgendwo als Stand- und Zielpunkte ohne Messwerte an. Von diesem Wert würde auch in weiteren Rechnungen Gebrauch gemacht, wenn er irgendwo nützlich ist. Finden Sie einen solchen Fall im Beispiel: Polarwerte aus kartesischen Koordinaten berechnen .

Anzahl von Startwerten, Rechenzeit- und Speicherplatzbegrenzung

Die Gesamtzahl von Startwerten (gegebene Punktkoordinaten und polare Messwerte) ist auf 256 begrenzt. Diese sind wie folgt zu zählen:

Die Startwerte werden in zwei Gruppen unterteilt:

Die Anzahl der tatsächlich verwendeten Startwerte wird dokumentiert.

Die Gesamtrechenzeit ist auf 40s und der Gesamtspeicherbedarf ist auf 128MB begrenzt. Weil eine aufwendige Suche nach allen möglichen Rechenwegen erfolgt, dauert eine vollständige Lösung bei vielen Startwerten manchmal lange. Die Rechenzeit kann auch durch den Nutzer stärker begrenzt werden. Wird bei großen Rechnungen diese Grenze letztlich erreicht, dann werden nicht alle theoretisch möglichen Werte berechnet, aber immer noch so viele, dass ein zuverlässiges Ergebnis im Sinne einer robusten Schätzung erhalten wird. Eine Warnung wird erzeugt. Es ist damit aber nicht gesagt, dass eine längere Rechenzeit tatsächlich auch mehr Ergebnisse produzieren würde.

Wird eine dieser Grenzen überschritten, versuchen Sie, die Aufgabe zu splitten. Die Rechenzeit verringert sich auch erheblich, wenn Sie die Neuberechnung der Startwerte unterdrücken.

Universalrechner findet allein heraus, was er berechnen kann und wie

Nachfolgend skizzieren wir den Universalrechner-Algorithmus. Wenn Sie diese Information nicht benötigen, überspringen Sie diesen Abschnitt einfach.

  1. Aus dem Katalog der verfügbaren Rechenregeln (das sind z.Z. alle Winkel- und Dreiecksbeziehungen, alle Geodätischen Schnitte, alle Umwandlungen zwischen kartesischen Koordinaten und Polargrößen) wird eine Liste von Rechenregeln, die prinzipiell zur Berechnung fehlender Größen nützlich sein könnten, zusammengestellt. Aus dieser Liste werden sukzessive alle Regeln gestrichen, die sich nicht anwenden lassen, z.B. weil es keine anwendbare Regel gibt, mit der sich eine fehlende Eingangsgröße berechnen lässt.
  2. Nun werden alle Rechenregeln, deren Ergebnisgrößen in keiner weiteren Regel als Eingangsgrößen benötigt werden, sukzessive aus der Verarbeitungsmaschine in einen Nachverarbeitungsschritt ausgelagert.
  3. Ausgehend von gegebenen Punktkoordinaten und polaren Messwerten (Startwerten) wird dann versucht, durch fortgesetzte Anwendung der Rechenregeln neue Größen zu berechnen. Im Fall von redundanten Startwerten kann fast jede Größe auf verschiedenen Rechenwegen berechnet werden und so auch verschiedene Werte annehmen. Dabei werden zwei Rechenwege nur dann als verschieden angesehen, wenn für die zwei Mengen von benutzten Startgrößen gilt: Eine Menge ist nicht Teilmenge der anderen und umgekehrt. Auch für Startgrößen werden oft neue Werte erhalten, indem diese aus anderen Startwerten berechnet werden. Es wird versucht, für jede Größe möglichst viele verschiedene Werte zu generieren.
  4. Dann werden die Rechenwege zu einem Rechenablauf zusammengestellt und abgearbeitet. Der Rechenablauf wird dokumentiert.
  5. Wenn sich für einen Rechenweg eine mehrdeutige Lösung ergibt, z.B. beim Bogenschnitt, wird versucht, durch Vergleich mit anderen Rechenwegen derselben Größe, diese Mehrdeutigkeiten aufzulösen. Ist das dauerhaft nicht möglich, wird parallel mit beiden Lösungen weitergerechnet. Tritt dieser Fall mehrmals hintereinander auf, wie im Beispiel: Ebenes Streckennetz , so können sich sehr viele Lösungen ergeben. Diese werden alle berechnet und dargestellt, aber nur nacheinander mit der Schaltfläche Nächste Lösung » usw. Eine Warnung weist auf dieses Problem hin.
  6. Werden für eine Größe ausreichend viele verschiedene Werte erhalten, wird untersucht, ob sich die Extremwerte aus der Berechnung von ungünstigen geodätischen Schnitten (sogenannte ''schleifende'' Schnitte) oder in sehr spitzwinkligen Dreiecken ergaben. Ist das der Fall, werden diese Werte verworfen, und die Untersuchung wird für den zweitkleinsten oder zweitgrößten Wert fortgesetzt, solange bis keine Werte mehr verworfen werden müssen. In der Dokumentation des Rechenablaufs finden Sie auch die verworfenen Werte.
  7. Sollte es vorkommen, dass eine Berechnung zu keinem Ergebnis führt, z.B. weil beim Bogenschnitt kein reeller Schnitt entsteht, wird diese nicht ausgeführt. In der Dokumentation des Rechenablaufs erscheint an dieser Stelle das Ergebnis keine Zahl . Damit kann man sich auf die Suche nach Fehlern in den Eingabedaten machen. Sollte eine Größe ausschließlich solche nicht-reellen Ergebnisse haben, wird eine Warnung erzeugt, und die Größe erscheint nicht in der Tabelle der Ergebnisse.
  8. Nun wird der Nachverarbeitungsschritt genauso vollzogen, allerdings entfällt dort die aufwändige Suche nach Rechenwegen.

Bekanntes Problem: Wenn eine Berechnung mehrere Lösungen ergab, ist das Aufrufen der momentan nicht dargestellten Lösungen nur sofort nach dem Rechnen möglich. Wenn zwischendurch der Rechenablauf analysiert oder eine Ausreißererkennung gestartet wurde oder die Ergebnistabelle sortiert wurde, verschwinden die Schaltflächen für das Anzeigen dieser Lösungen. Abhilfe schafft eine nochmalige Berechnung.

Tabelle der Ergebnisse

Alle berechneten Größen werden in einer Tabelle dargestellt, sortiert nach Größenarten. Innerhalb der Größenarten wird nach (Stand-)Punktnamen sortiert, oder wahlweise auch nach Spannweiten (kleinste zuerst). Bei Lagekoordinaten wird je Punkt immer X und Y zusammenhängend aufgelistet. Bei der Sortierung nach Spannweiten ist bei X und Y die Summe beider Spannweiten entscheidend.

Richtungswinkel t und Horizontaldistanzen e werden immer nur in einer Richtung angegeben, und zwar so, dass die beiden Punktnamen lexikographisch sortiert sind. Für die Gegenrichtung ändern Sie t um π = 180° = 200 gon. Höhendifferenzen dh und Schrägdistanzen s in Sicht und Gegensicht könnten differieren, wenn die zugehörigen Instrumenten- und Zielhöhen nicht gleich sind.

Die Spalte Werte zeigt an, wieviele Werte für jede berechnete Größe erhalten wurden. Bei Lagekoordinaten eines Punktes sind die Werte immer gleich und werden nur einmal angegeben. Ggf. verworfene ungünstige Schnitte und keine Zahl -Ergebniss zählen nicht mit. Eine Startgröße, die zusätzlich x mal berechnet wurde, erscheint als 1+x.

Dokumentation des Rechenablaufs

Den Rechenablauf können Sie detailliert nachvollziehen. Wenn Sie das nicht wollen, überspringen Sie diesen Abschnitt. Klicken Sie für eine interessierende Größe auf die Zahl(en) in Spalte Werte um die detailierte Dokumentation des Rechenablaufs und der Einzelwerte angezeigt zu bekommen.

Zusätzlich zu den oben genannten Symbolen für die Messwerte werden hier folgende Abkürzungen verwendet. Die Tabelle zeigt auch, welche Ergebnisse die Rechenschritte produzieren können.

SymbolRechenschritteindeutigzweideutigung. Schnittkeine Zahl
Rec2Pol/
Pol2Rec
Koordinatenumwandlung
kartesisch⇔polar
X
BSBogenschnitt X X X
GKGerade-Kreis-Schnitt X X X X
VSVorwärtsschnitt X X X
RSRückwärtsschnitt X X X

Nehmen wir an, die Winkeleinheit ist gon . Ein Rechenschritt wird z.B. dokumentiert wie:

t(P1→3)7 = r(3°2→P1) + o(3°2)3 ± 200 = 69.965792398379

Das kann wie folgt gelesen werden: Der 7. Wert des Richtungswinkels t von Punkt P1 nach Punkt 3 wird aus der gegebenen Horizontalrichtung r (Index fehlt → Startwert) gemessen in der zweiten Aufstellung auf Standpunkt 3 nach Punkt P1 und dem 3. berechneten Wert des Orientierungswinkels o für die zweite Aufstellung auf Standpunkt 3 berechnet. Das Ergebnis lautet 69.965792398379 in der gewählten Winkeleinheit Gon . Gibt es pro Standpunkt nur eine Aufstellung, entfällt der Aufstellungszähler nach dem Standpunktnamen. Oder z.B.:

XY(2)9 = VS(XY(1)5,t(1→2)2,XY(Q3),t(2→Q3)4) = keine Zahl

Das kann wie folgt gelesen werden: Die 9. berechneten Werte der Lagekoordinaten XY von Punkt 2 werden mittels Vorwärtsschnitt (VS) aus den 5. Werten der berechneten Koordinaten XY von Punkt 1 , aus dem 2. berechneten Wert des Richtungswinkels t von Punkt 1 nach Punkt 2 , aus den gegebenen Werten der Koordinaten XY (Index fehlt → Startwerte) von Punkt Q3 und aus dem 4. berechneten Wert des Richtungswinkels t von Punkt 2 nach Punkt Q3 berechnet. Das Ergebnis lautet keine Zahl , weil aufgrund von groben Fehlern in den Startwerten kein reller Schnitt der Strahlen entsteht.

In der Dokumentation des Rechenablaufs werden auch die wegen ungünstiger Schnitte verworfenen Werte dargestellt.

Ausreißererkennung

Wenn genügend viele Werte pro berechenbare Größe erhalten wurden, d.h. wenn die Redundanz hoch genug ist, kann versucht werden, Ausreißer in den Startwerten (Koordinaten und Messwerte) zu erkennen. Unter der Ergebnistabelle erscheint dann die Schaltfläche Ausreißererkennung . Wenn Sie diese klicken, werden die Ergebnisse auf Ausreißer untersucht.

Diese Ausreißererkennung zeigt, was passieren würde, wenn ein Startwert eliminiert und die Berechnung wiederholt würde. Dadurch würden weniger Ergebnisse erhalten, die verbleibenden wären aber unverändert. Dadurch verringerten sich oft für einige Ergebnisgrößen die Spannweiten. Einen Ausreißer erkennt man an einer drastischen Verringerung dieser Spannweiten. Beachten Sie, dass zur Ausreißererkennung die Spannweiten vor der Vermeidung ungünstiger Schnitte herangezogen werden.

Die Ausreißererkennung erzeugt eine nach den einzelnen Spalten sortierbare Tabelle mit folgenden Informationen je Startwert:

noch berechen-
bare Größen
Es ist möglich, dass nach Eliminierung eines Startwertes einige Größen nicht mehr berechenbar sind. Die Tabelle zeigt, wieviel Prozent der Größen noch berechenbar sind. Startgrößen, für die kein zweiter Wert mehr berechnet werden kann, zählen hier als nicht mehr berechenbar. 100% bedeutet: Nach der Eliminierung können immer noch alle Größen wenigstens einmal berechnet werden.
noch berech-
enbare Werte
Nach der Eliminierung eines Startwertes sind nicht mehr alle Werte berechenbar. Die Tabelle zeigt, wieviel Prozent der Werte noch berechenbar sind. Ist diese Zahl klein, so ist der Startwert für eine zuverlässige Lösung sehr wichtig und eine Eliminierung ist fragwürdig.
kleinere
Spannweiten
Die Tabelle zeigt, wieviel Prozent der Spannweiten sich nach Eliminierung eines Startwertes verringern. Ist diese Zahl groß, so ist der Startwert wahrscheinlich ein Ausreißer.
maximale
Reduktion
Die Tabelle zeigt, um wieviel Prozent sich eine Spannweite maximal reduziert. Ist diese Zahl groß, so ist der Startwert wahrscheinlich ein Ausreißer.
Ausreißerwahr-
scheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Startwert ein Ausreißer ist, wird abgeschätzt.
Selbst wenn mehrere Startwerte als wahrscheinliche Ausreißer ausgewiesen werden, bedeutet das nicht, dass alle Ausreißer sind. Es könnte auch nur einer von ihnen sein.

Falls in der Tabelle Startgrößen fehlen, können diese wegen zu geringer Redundanz nicht auf Ausreißer untersucht werden. Ist die Geamtredundanz gering, scheitert die Ausreißersuche manchmal. Eine Fehlermeldung wird erzeugt.

Nun kann ein zu eliminierender Startwert selektiert werden (1. Spalte der Ausreißertabelle). Ein Kandidat ist schon vorselektiert. Ein Klick auf die Schaltfläche stellt die Ergebnisse neu dar, die verbleiben, nachdem der selektierte Startwert eliminiert wurde. (Die eigentliche Berechnung wird nicht wiederholt.) Der eliminierte Startwert erscheint zwar weiterhin in der Liste der bekannten Punkt oder der Eingabe-Messwerte, wird aber nun nicht mehr benutzt. Falls die Redundanz immer noch ausreicht, kann erneut eine Ausreißererkennung verlangt werden, usw.

Eine Anwendung der Ausreißererkennung finden Sie im Beispiel: Trigonometrischer Höhenzug.

Beispiel: Polarwerte aus kartesischen Koordinaten berechnen

Die Punkte eines Fußballfeldstrafraums 1,2,3,4,5,6 sollen mit einem Tachymeter, welches über den Eckpunkten A,B des Feldes aufgebaut wird, abgesteckt werden. Die Instrumentenhöhen sind 1.42 m über A und 1.55 m über B. Über den Zielpunkten wird ein Absteckreflektor der Höhe 0.15 m aufgehalten. Gesucht sind die abzusteckenden Polarwerte: Richtungswinkel t, Schrägdistanzen s und Zenitwinkel v der sechs abzusteckenden Punkte.

Zunächst definieren wir ein Koordinatensystem, am besten ein kartesisches Linkssystem YXZ und bestimmen die kartesischen Koordinaten aller Punkte A,B,1,...,6 in diesem System in Meter. Wie man aus der Abbildung abliest, hat der Punkt 6 beispielsweise die X-Koordinate 75.00/2-7.32/2-5.50-11.00=17.34 und die Y-Koordinate 5.50+11.00=16.50. Als Höhen verwenden wir generell 0.00. Nun legen wir die Koordinatenlisten an.

Die Messwertlisten besteht aus zwei Standpunkten A und B. Die Standpunktzeilen müssen die Instrumentenhöhen 1.42 und 1.55 enthalten. Weil alle Zielpunkte dieselben Zielhöhen 0.15 haben, können wir diese als Ausfallzielhöhe (Ausfallwert für die Zielhöhe) in der Standpunktzeile notieren und in den Zielpunktzeilen weglassen. Die Zielpunktzeilen enthalten dann nur noch die Namen der Zielpunkte. Das für die leeren Spalten gewählte Format ist bedeutungslos, kann z.B. ''Code/nicht benutzt'' sein.

Absteckung eines Fußballfeldes
Absteckung eines Fußballfeldes

Koordinatenlisten
Systemtyp: Y X Z linkshändig
Spaltenformat: Punktname Koordinaten

Messwertlisten
Format Standpunktzeile: Punktname, Instrumentenhöhe, Ausfallzielhöhe
Format Zielpunktzeile: Punktname
und Rechnen

Die Verarbeitungsmaschine sucht nach berechenbaren Größen und findet Höhendifferenzen dh , Horizontaldistanzen e, Schrägdistanzen s , Richtungswinkel t und Zenitwinkel v , allerdings nur für die gemessenen Visuren. Zwischen den Zielpunkten untereinander wird nichts berechnet. Wird z.B. die Distanz zwischen 1 und 3 gewünscht, müsste ein weiterer Standpunkt 1 mit Zielpunkt 3 ( blinder Zielpunkt ) notiert werden, oder umgekehrt.

Außerdem erhalten wir die Richtungswinkel hier nur vom Zielpunkt zum Standpunkt. Das liegt daran, dass Richtungswinkel und Horizontaldistanzen immer so angegeben werden, dass die beiden Punktnamen lexikographisch geordnet sind. Ziffern kommen hierbei vor Buchstaben. Man muss also den Richtungswinkel um 200 gon ändern. Um trotzdem die Richtungswinkel in Zielrichtung ausgegeben zu bekommen, könnte man die Punkte umbenennen, z.B. von 1 in P1 usw. Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Ausgabe von Richtungen zu erzwingen. Diese werden immer vom Standpunkt zum Zielpunkt erhalten. Hierzu muss jeder Standpunkt nur noch um den Orientierungswinkel 0 erweitert werden.

Schließlich erhalten wir nach sinnvoller Rundung folgende polaren Absteckwerte in Meter und Gon:

  s t v   s t v
A→147.000 7.470101.720B→128.903187.797103.085
A→228.89712.203102.799B→247.004192.530101.896
A→339.10118.165102.068B→339.105181.835102.280
A→459.98817.743101.348B→423.977151.580103.719
A→542.59031.390101.899B→542.594168.610102.093
A→623.97048.420103.375B→659.991182.257101.486

Falls gewünscht, können auch andere Absteckwerte der Ergebnistabelle entnommen werden, z.B. e oder dh.

Beispiel: Unzugänglicher Punkt mit horizontalen Hilfsdreiecken

Ein unzugänglicher Punkt 1121 wurde von drei Tachymeterstandpunkten 515,632,P gemessen. Die Höhe des Punktes 515 beträgt 107.483 m, die Instrumentenhöhe ist hier 1.54 m. Die Höhe des Punktes 632 beträgt 107.832 m, die Instrumentenhöhe ist hier 1.39 m. Die Höhe des Hilfspunktes P ist unbekannt, die Instrumentenhöhe kann hier auf einen beliebigen Wert gesetzt werden, sagen wir 0.00 m. Die Zielhöhen sind jeweils gleich den Instrumentenhöhen auf demselben Punkt, weil zueinander passende Instrumente und Reflektoren verwendet wurden. Der Punkt 1121 wurde direkt angezielt ohne Distanzmessung, so dass die zugehörige Zielhöhe 0.00 m beträgt. Die Höhe des Punktes 1121 kann in beiden Hilfsdreiecken 515,632,1121 und P,632,1121 berechnet werden. Die Messwerte sind:

Unzugänglicher Punkt mit
horizontalen  Hilfsdreiecken
Unzugänglicher Punkt mit horizontalen Hilfsdreiecken
Stand-Ziel-RichtungZenit-Schräg-
punkt-punkt- winkeldistanz
namename[gon][gon][m]
5151121149.846 91.886 ---
632187.807 99.991952.233
632 515260.607100.018952.233
P260.740100.086941.461
1121314.405 89.258 ---
P1121 28.449 91.684 ---
632 66.940 99.923941.461

Da reine Höhenfestpunkte nicht unterstützt werden, muss ein lokales Koordinatensystem angelegt werden, am besten ein kartesisches Linkssystem XYZ. Zunächst benötigen wir die Horizontaldistanz 515→632. Dazu kann eine einfache Rechnung wie im vorigen Beispiel mit dem Universalrechner angestellt werden. Das Ergebnis ist 952.233, genau wie die Schrägdistanz von 515→632, weil beide Punkte fast dieselbe Höhe haben. Wir definieren X515=1000, Y515=1000, X632=1000, Y632=1952.233. Damit verläuft die definierte Y-Achse parallel zur Projektion von 515→632 in die Horizontalebene. Nun legen wir die Koordinatenlisten und die Messwertlisten an. Für die nicht gemessenen Distanzen zum unzugänglichen Punkt 1121 wurde 0 notiert. Denselben Effekt hätte ein negativer oder nicht-numerischer Wert. Eine alternative Notation eines nicht gemessenen Wertes kann mit der '';;''-Methode erfolgen: Tabellarische Datensätze.


Koordinatenlisten
Systemtyp: X Y Z linkshändig
Spaltenformat: Punktname Koordinaten

Messwertlisten
Format Standpunktzeile: Punktname, Instrumentenhöhe
Format Zielpunktzeile: Punktname, Horizontalrichtung, Zenitwinkel, Schrägdistanz, Zielhöhe
und Rechnen

Im Ergebnis werden für die Höhe Z des unzugänglichen Punktes 1121 nicht weniger als 41 verschiedene Lösungen berechnet. Die Spannweite wird mit 8.4 mm erhalten, was plausibel ist, der Median beträgt 201.1106 m.

Folgendes sollten Sie beachten:

Beispiel: Ebenes Streckennetz (Trilaterationsnetz)

Ebenes Streckennetz
Ebenes Streckennetz

Dieses Beispiel zeigt, wie der Universalrechner mit mehrdeutigen Lösungen umgeht. Im abgebildeten Streckennetz (Trilaterationsnetz) wurden sechs Horizontalstrecken (Horizontaldistanzen) gemessen. A und B sind bekannte Punkte. Es gibt genau 2 Lösungen für die Neupunkte 1 und 2 (Spiegelung an der Achse AB) und genau 4 Lösungen für den Neupunkt 3 (zusätzliche Spiegelung an der Achse 2B). Zunächst wird nur eine Lösung berechnet und angezeigt, wobei eine Warnung erfolgt, dass es noch 3 zusätzliche Lösungen gibt. Mit Hilfe der Schaltfläche nächste Lösung » kann man nun schrittweise auch die anderen Lösungen darstellen lassen.


Koordinatenlisten
Systemtyp: X Y Z linkshändig
Spaltenformat: Punktname Koordinaten

Messwertlisten
Format Standpunktzeile: Punktname
Format Zielpunktzeile: Punktname, Horizontaldistanz
und Rechnen

Beachten Sie, dass schleifende Bogenschnitte (BS) berechnet wurden. In dem Beispiel greift die Vermeidung ungünstiger Schnitte nicht, weil keine Redundanz vorhanden ist und somit diese Berechnung unvermeidbar ist.

Aufgabe: Fügen Sie der Koordinatenliste eine beliebige Lösung für Punkt 3 hinzu und wiederholen Sie die Rechnung. Überzeugen Sie sich, dass jetzt nur noch eine Lösung für 1 und 2 erhalten wird.

Beispiel: Trigonometrischer Höhenzug

Trigonometrischer Höhenzug mit einem
Sprungstand
Trigonometrischer Höhenzug mit einem Sprungstand in Punkt 2

Punktnamen und Koordinaten
Koordinatenlisten
Systemtyp: jeder hier mögliche
Spaltenformat: Punktname Koordinaten

Punktnamen und Messwerte
Messwertlisten
Format Standpunktzeile: Punktname, Instrumentenhöhe
Format Zielpunktzeile: Punktname, Zenitwinkel, Schrägdistanz, Zielhöhe
Höhe 1: original, Höhe 2: mit eingebautem grobem Fehler
Höhe 1Höhe 2Diff.
A116.100116.0990.001
1122.324122.3230.001
2126.423126.4220.001
3130.335130.3340.001
4137.791137.7920.001
5142.278142.2790.001
E141.380141.3810.001

Dieses Beispiel zeigt, wie man auch reine Höhenmessungen auswerten kann, z.B. einen trigonometrischen Höhenzug oder ein trigonometrisches Höhennetz. In der aktuellen Version des Universalrechners werden keine Punkte ohne Lagekoordinaten unterstützt. Solange jedoch diese Koordinaten nicht für irgendeine Rechnung herangezogen werden können, ist es völlig egal, was Sie den Punkten für Lagekoordinaten zuweisen. Benutzen Sie also Näherungskoordinaten oder einfach 0 ; 0.

Betrachten wir den abgebildeten Höhenzug mit einem Sprungstand in Punkt 2, d.h. dort befand sich kein Instrumentenstandpunkt und auf Punkt 1 demnach kein Reflektorzielpunkt. Auf den Punkten 3,4,5 befand sich nacheinander der Stand- und der Zielpunkt. Höhen sind für den Anschlusspunkt A mit H=116.10 und für den Abschlusspunkt E mit H=123.06 gegeben. Der Reflektor auf A, 2 und E hat jeweils die Zielhöhe th=1.40 . Die Punkte 1,3,4,5 sind unvermarkt, so dass wir die Höhen jeweils auf die Kippachse des Instruments beziehen: ih=0.00 . Allerdings ist der Reflektorpunkt jeweils 0.005 höher als die Kippachse, so dass auf den Punkten 3,4,5 noch eine Zielhöhe von th=0.005 vorzusehen ist. Die erhaltenen Messwerte entnimmt man der Messwertliste rechts.

und Rechnen

Die Ergebnisse in Form der Mediane sind in der Spalte Höhe 1 der Tabelle rechts angegeben. Die Spannweiten der Höhen betragen maximal 0.0029 und entsprechen den Erwartungen. (Beachten Sie, dass die Spannweite nicht mit der Standardabweichung zu verwechseln ist. Die Spannweite ist immer wesentlich größer.)

Möchten Sie den klassischen Zugwiderspruch angezeigt bekommen, löschen Sie einfach entweder A oder E aus der Koordinatenliste und berechnen den Zug neu. Im ersten Fall ist das Ergebnis Z(E)=141.3795, was einen Zugwiderspruch von 0.0005 entspricht.

Dasselbe Beispiel wird auch für Höhennetze benutzt und kann damit bearbeitet werden. Die Ergebisse sind allerdings nicht völlig identisch, weil Höhennetze eine Ausgleichung nach kleinsten Quadraten durchführt.

Nun betrachten wir, was passiert, wenn man einen groben Fehler einbaut. Wir verfälschen den Zenitwinkel 107.239 um 1 gon auf 108.239 und wiederholen die Berechnung.

und Rechnen

Die Ergebnisse in Form der Mediane sind in der Spalte Höhe 2 der Tabelle rechts angegeben. Die Spannweite der Höhen beträgt maximal 1.06 und zeigt ein Problem an. Allerdings ändern sich die Mediane fast gar nicht, nämlich nur um maximal 0.001! Vgl. Spalte Diff. rechts. Das zeigt deutlich, wie gut die robuste Schätzung arbeitet. Der Grund ist, dass jeweils weniger als die Hälfte der Ergebnisse den verfälschten Wert benutzen. (Das muss aber nicht immer so sein!)

Schließlich probieren wir aus, wie die Ausreißererkennung arbeitet. Dem eingebauten Ausreißer wird mit die Wahrscheinlichkeit sehr hoch zugewiesen. Alle 37 (100%) berechnete Größen werden nach der Eliminierung noch berechenbar sein, aber nur mit 37% ihrer Werte. Z.B. werden für die Neupunkthöhen jetzt nur noch je 5 Werte erhalten, vorher bis zu 17. Alle Spannweiten verringern sich durch die Eliminierung, maximal um 99%. Die Spannweiten der Neupunkthöhen verringern sich von 1.06 auf 0.0033 . Ihre Mediane sind nun wieder identisch mit den Werten vor der Verfälschung.

Dasselbe Beispiel wird auch für Höhennetze benutzt und kann damit bearbeitet werden. Die Ergebisse sind allerdings nicht völlig identisch, weil Universalrechner eine Ausgleichung nach kleinsten Quadraten berechnet. Die Abweichungen in den endgültigen Höhen betragen bis zu 0.0004: Höhennetz-Beispiel: Trigonometrischer Höhenzug .

Beispiel: Berechnung des Orthozentrums eines Dreiecks

Dreieck ABC mit Orthozentrum H
Dreieck ABC mit Orthozentrum H

Punktnamen und Koordinaten
Koordinatenlisten
Systemtyp: YXZ linkshändig
Spaltenformat: Punktname Koordinaten

Punktnamen und Messwerte
Messwertlisten
Format Standpunktzeile: nur Punktname
Format Zielpunktzeile: Punktname, Horizontalrichtung in Gon

Aus gegebenen Eckpunktkoordinaten eines Dreiecks ABC sollen die Koordinaten des Orthozentrums H (Schnittpunkt der Höhen) berechnet werden. Die Lösung ist mit einem einzigen Rechengang im Universalrechner möglich.

Die Koordinatenliste besteht aus den gegebenen Eckpunktkoordinaten, siehe rechts. Wir simulieren Richtungsmessungen von den Höhenfußpunkten P,Q,R zu allen Eckpunkten A,B,C und zum Ortozentrum H. Die gemessenen Richtungen unterscheiden sich jeweils um 100 gon oder 200 gon. Eine Richtung je Standpunkt kann beliebig festgelegt werden, hier 0 gon zum rückwärtigen Eckpunkt. (Achtung: Für stumpfwinklige Dreiecke müssen die Richtungen angepasst werden.)

und Rechnen

Im Ergebnis der Berechnung werden ebene Koordinaten für alle Punkt P,Q,R,H erhalten. Die Berechnung ist sogar mehrfach möglich, weil ein Standpunkt in der Messwertliste redundant ist. (Überzeugen Sie sich, indem Sie einen beliebigen Standpunkt mit dazugehörigen Zielpunkten löschen und die Berechnung wiederholen.) Die einzelnen Ergebnisse jeder Größe stimmen aber überein, ablesbar an den Spannweiten, denn alle Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, was hiermit für den Fall dieses Dreiecks gezeigt wäre.

Durch Klick auf die 3 in der Spalte Werte können Sie den Rechenablauf nachvollziehen. H wird durch Vorwärtsschnitte (VS) berechnet:

XY(H)1 = VS(XY(Q)1,t(H→Q)1,XY(R)1,t(H→R)1)
XY(H)2 = VS(XY(P)1,t(H→P)1,XY(R)1,t(H→R)1)
XY(H)3 = VS(XY(P)1,t(H→P)1,XY(Q)1,t(H→Q)1)

Die Höhenteilstrecken entnimmt man der Ergebnistabelle und berechnet daraus die Produkte:

AH=3.950HQ=2.686AH·HQ=10.61
BH=6.786HR=1.563BH·HR=10.61
CH=3.924HP=2.704CH·HP=10.61

Die Gleichheit der Produkte in der letzten Spalte folgt aus einer bekannte Gesetzmäßigkeit der Geometrie, die hier als zusätzliche Probe dient.

Aufgabe: Laden Sie das Dreieck ABC in Ebene Polygone und berechnen Sie außerdem den Flächenschwerpunkt M2 und den Umkreismittelpunkt M3 . Überprüfen Sie dann die bekannte Tatsache, dass M2, M3 und H kollinear sind, d.h. auf einer Geraden liegen, der sogenannten Euler-Geraden . Tipp: Das Dreieck M2M3H sollte verschwindenden Flächeninhalt haben.

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24.10.2017 06:05 (Zeitzone Berlin)
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