≡ START Anleitung English Tutorium : Rechteck durch fünf Punkte

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Aufgabe Variante 1 über Objektkoordinatensystem Variante 2 über Standpunktkoordinatensystem Variante 3 über Transformationen Rechenprobe In der Bibliothek

Die Tutorien erläutern die Funktion von IN DUBIO PRO GEO anhand von Praxisbeispielen. Die Lösungen zu den Aufgaben sind mittels vorausgefüllter Formulare nachvollziehbar. In den Auswahlfeldern stehen nicht alle Optionen zur Verfügung. Die Formulare lassen sich mit der Schaltfläche absenden und so die Ergebnisse betrachten. Um das zu ersparen, sind die Ergebnisse im Tutorium auszugsweise dargestellt. Die wesentlichen Zwischen- und Endergebnisse sind durch goldfarbene Boxen hervorgehoben. Die Lösungen sind in weiteren goldfarbenen Boxen kommentiert.

≡ START Anleitung English Aufgabe

An den Wänden eines rechteckigen Innenraumes wurden mit Tachymeter oder Laserscanner im Standpunkt S fünf Zielpunkte A,B,C,D,E wie in der Abbildung dargestellt gemessen. Dabei wurden folgende Messwerte erhalten:

Zielpunkt Horizontalrichtung  Horizontaldistanz
   A             0.000 gon            6.530 m
   B           115.549 gon            7.143 m
   C           151.534 gon            9.509 m
   D           219.345 gon            6.132 m
   E           360.650 gon            7.800 m

Berechnen Sie die Seitenlängen des Rechtecks P₁P₂P₃P₄.

≡ START Anleitung English Variante 1 über Objektkoordinatensystem

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Aus Punktkoordinaten und polaren Messwerten werden alle möglichen Größen berechnet. Rechenregeln zwischen diesen Größen werden aufgestellt und nacheinander angewendet, bis keine neuen Werte mehr erhalten werden, und zwar auf jede mögliche Weise. Dadurch ergeben sich oft viele verschiedene Ergebnisse, deren Vergleich zur Aufdeckung grober Fehler genutzt werden kann. Die Mediane der berechneten Werte stellen dann das Ergebnis einer robusten Schätzung dar.

Winkeleinheit Notiz

Bekannte Punkte	Punktnamen und Koordinaten
Systemtyp: Spaltenformat:	A 100 100 Wir legen ein lokales Koordinaten-system in A fest. Die X-Achse verläuft parallel zur Rechteckseite durch A, weil unten der Orientierungswinkel auf A und Horizontalrichtung von A nach B gleich gesetzt sind.

	Punktnamen (Spalte 1) und Messwerte (Spalte 2…5)
zweite Spalte: dritte Spalte: vierte Spalte: fünfte Spalte: zweite Spalte: dritte Spalte: vierte Spalte: fünfte Spalte:	A 0 B 0 P1 0 P4 200 ~~~~~~~~~~~~~ C 100 P2 0 P1 200 ~~~~~~~~~~~~~ D 200 P3 0 P2 200 ~~~~~~~~~~~~~ E 300 P4 0 P3 200 ~~~~~~~~~~~~~ S A 0.000 6.530 B 115.549 7.143 C 151.534 9.509 D 219.345 6.132 E 360.650 7.800 Wir simulieren Richtungsmessungen auf A,C,D und E. Die ''gemessenen'' Winkel zu den Eckpunkte und zu B sind jeweils gestreckte Winkel (200 gon). Hierdurch wird vorgegeben, dass die Punkte A,B,C,D,E auf den Wänden liegen. Mit den Orientierungswinkeln 0,100,200,300 wird außerdem vorgegeben, dass die Wände parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Schließlich folgen die eigentlichen Messwerte auf S. Die Reihenfolge der Standpunkte und der Zielpunkte je Standpunkt ist immer beliebig.

Punktnamen (Spalte 1) und Messwerte (Spalte 2…5)

zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:

Wir simulieren Richtungsmessungen auf A,C,D und E. Die ''gemessenen'' Winkel zu den Eckpunkte und zu B sind jeweils gestreckte Winkel (200 gon). Hierdurch wird vorgegeben, dass die Punkte A,B,C,D,E auf den Wänden liegen. Mit den Orientierungswinkeln 0,100,200,300 wird außerdem vorgegeben, dass die Wände parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Schließlich folgen die eigentlichen Messwerte auf S.

Die Reihenfolge der Standpunkte und der Zielpunkte je Standpunkt ist immer beliebig.

Berechne neu . Berechnungsdauer maximal s .

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Lösung über Objektkoordinatensystem

1 benutzte bekannte Punkte: Standpktsystem, kartesisches Linkssystem

PName	Y	X
A	100.00000000	100.00000000

Eingabe-Messwerte

Rechenablauf: Zunächst werden aus Orientierungswinkeln und Richtungen für alle vier Wände Richtungswinkel erhalten. Dann wird e_AB mit Kosinussatz im Standpunkt S berechnet und danach B mit polarem Anhängen im Standpunkt A. Nun wird S über Bogenschnitt berechnet. Die Zweideutigkeit wird mit den Richtungen aufgelöst. Daraus können die Punkte C,D,E jeweils mit polarem Anhängen im Standpunkt S berechnet werden. Schließlich ergeben sich ausgehend von diesen Punkten die vier Eckpunkte P₁,P₂,P₃,P₄ jeweils mit Vorwärtsschnitt. Letztlich werden daraus die Seitenlängen mit 9.365 m und 17.265 m erhalten.

o steht für Orientierungswinkel, r steht für Horizontalrichtung und e für Horizontaldistanz.

StandPname	o
A	0

ZielPname	r	e
B	0
P1	0
P4	200.0000

StandPname	o
C	100.0000

ZielPname	r	e
P2	0
P1	200.0000

StandPname	o
D	200.0000

ZielPname	r	e
P3	0
P2	200.0000

StandPname	o
E	300.0000

ZielPname	r	e
P4	0
P3	200.0000

StandPname	o
S

IN DUBIO PRO GEO findet den Rechenweg allein.

ZielPname	r	e
A	0	6.530000
B	115.5490	7.143000
C	151.5340	9.509000
D	219.3450	6.132000
E	360.6500	7.800000

Ergebnisse

Die '1' in Spalte 'Werte' zeigt an, dass die Berechnung eindeutig ist.

Größe	von	nach	Werte	Median
X	B			110.7806464
Y	B		1	100.0000000
X	C			114.4917222
Y	C		1	103.5994565
X	D			108.3035527
Y	D		1	109.3652684
X	E			97.22665400
Y	E		1	103.5734389
X	P1			114.4917222
Y	P1		1	100.0000000
X	P2			114.4917222
Y	P2		1	109.3652684
X	P3			97.22665400
Y	P3		1	109.3652684
X	P4			97.22665400
Y	P4		1	100.0000000
X	S			105.0015919
Y	S		1	104.1982113
...				...
e	P1	P2	1	9.365268414
e	P1	P4	1	17.26506823
e	P2	P3	1	17.26506823
e	P3	P4	1	9.365268414
...				...

Winkeleinheit = Gon

≡ START Anleitung English Variante 2 über Standpunktkoordinatensystem

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Winkeleinheit Notiz

Bekannte Punkte	Punktnamen und Koordinaten
Systemtyp: Spaltenformat:	S 100 100 Wir legen ein lokales Koordinaten-system in S fest. Die X-Achse verläuft in Richtung Teilkreisnull (r=0) von S, weil unten für Standpunkt S der Orientierungswinkel 0 gegeben wird.

	Punktnamen (Spalte 1) und Messwerte (Spalte 2…5)
zweite Spalte: dritte Spalte: vierte Spalte: fünfte Spalte: zweite Spalte: dritte Spalte: vierte Spalte: fünfte Spalte:	P1 P4 0 A 0 B 0 P2 300 C 300 ~~~~~~~~~~~~~ P2 P1 0 P3 300 ~~~~~~~~~~~~~ P3 P2 0 D 0 P4 300 E 300 ~~~~~~~~~~~~~ S 0 A 0.000 6.530 B 115.549 7.143 C 151.534 9.509 D 219.345 6.132 E 360.650 7.800 Wir simulieren Richtungsmessungen auf drei Eckpunkten P₁,P₂,P₃. Die ''gemessenen'' Winkel sind jeweils rechte Winkel, sodass diese Punkte ein Rechteck bilden. Der vierte Winkel ergibt sich automatisch über die Innenwinkelsumme. Gleichzeitig wird durch die Richtungen zu A,B,C,D,E festgelegt, dass diese Punkte auf den entsprechenden Wänden des Innenraums liegen. Schließlich folgen die eigentlichen Messwerte auf S. Tipp: Sie können Zahlen nicht nur mit Dezimalkomma eingeben, sondern erhalten sie auf Wunsch auch so. (Ausgabedezimaltrennzeichen in auf Komma setzen)

Punktnamen (Spalte 1) und Messwerte (Spalte 2…5)

zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:

Wir simulieren Richtungsmessungen auf drei Eckpunkten P₁,P₂,P₃. Die ''gemessenen'' Winkel sind jeweils rechte Winkel, sodass diese Punkte ein Rechteck bilden. Der vierte Winkel ergibt sich automatisch über die Innenwinkelsumme. Gleichzeitig wird durch die Richtungen zu A,B,C,D,E festgelegt, dass diese Punkte auf den entsprechenden Wänden des Innenraums liegen. Schließlich folgen die eigentlichen Messwerte auf S.

Tipp: Sie können Zahlen nicht nur mit Dezimalkomma eingeben, sondern erhalten sie auf Wunsch auch so. (Ausgabedezimaltrennzeichen in auf Komma setzen)

Berechne neu . Berechnungsdauer maximal s .

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Lösung über Standpunktkoordinatensystem

1 benutzte bekannte Punkte: Standpktsystem, kartesisches Linkssystem

PName	Y	X
S	100.00000000	100.00000000

Eingabe-Messwerte

o steht für Orientierungswinkel, r steht für Horizontalrichtung und e für Horizontaldistanz.

Zunächst werden die Koordinaten von A,B,C,D,E im Standpunktsystem von S jeweils mit polarem Anhängen berechnet. Ein Richtungswinkel zwischen A und B wird nicht berechnet, weil zwischen den Punkten keine Zielung stattfand. Notfalls kann hilfsweise ein blinder Zielpunkt eingefügt werden. Das ist hier aber nicht nötig, denn P₁ ergibt sich mit Rückwärtsschnitt über A,B,C. Nun ergeben sich die Richtungswinkel der Wände und die Punkte P₂,P₃,P₄ erhält man jeweils mit Vorwärtsschnitt. Letztlich können daraus die Seitenlängen mit 9.365 m und 17.265 m erhalten werden.

StandPname	o
P1

ZielPname	r	e
P4	0
A	0
B	0
P2	300.0000
C	300.0000

StandPname	o
P2

ZielPname	r	e
P1	0
P3	300.0000

StandPname	o
P3

ZielPname	r	e
P2	0
D	0
P4	300.0000
E	300.0000

StandPname	o
S	0

ZielPname	r	e
A	0	6.530000
B	115.5490	7.143000
C	151.5340	9.509000
D	219.3450	6.132000
E	360.6500	7.800000

Ergebnisse

Größe	von	nach	Werte	Median
X	A			106.5300000
Y	A		1	100.0000000
X	B			98.27266561
Y	B		1	106.9310003
X	C			93.11607052
Y	C		1	106.5599235
X	D			94.14893445
Y	D		1	98.16520957
X	E			106.3568137
Y	E		1	95.47994249
X	P1			95.43020206
Y	P1		1	109.3168932
X	P2			89.40916438
Y	P2		1	102.1436542
X	P3			102.6331805
Y	P3		1	91.04374529
X	P4			108.6542182
Y	P4		1	98.21698429
...				...
e	P1	P2	1	9.365268414
e	P1	P3	1	19.64155883
e	P1	P4	1	17.26506823
e	P2	P3	1	17.26506823
e	P2	P4	1	19.64155883
e	P3	P4	1	9.365268414
...				...

Winkeleinheit = Gon

≡ START Anleitung English Variante 3 über Transformationen

IN DUBIO PRO GEO : Transformationen über identische Punkte

Identische Punkte werden verwendet, um zwischen zwei Koordinatensystemen Transformationsparameter zu berechnen. Alle ebenen oder räumlichen Transformationen werden berechnet, die mit diesen Punkten berechenbar sind. In beiden Systemen können nicht identische Punkte gegeben sein, diese werden mit den berechneten Parametern transformiert.

Winkeleinheit Notiz

Zielsystem	Punktnamen und Koordinaten
Startsystem	Punktnamen und Koordinaten	Diese Lösung führt zwischen Standpunkt- und Objektsystem eine Transformation durch und benutzt dazu schon die kartesischen Koordinaten von A,B,C,D,E aus der vorangegangenen Lösung. Im Objektsystem setzen wir zur Vereinfachung die Koordinaten in der Längeneinheit `e_AB` fest.
Systemtyp: Spaltenformat:	A 100.000 106.530 B 106.931 98.273 C 106.560 93.116 D 98.165 94.149 E 95.480 106.357
Systemtyp: Spaltenformat:	A 100 100 B 100 101
	für erste, zweite (und dritte) Koordinate
Startsystem
Zielsystem

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO : Transformationen über identische Punkte

Lösung über Transformationen

Standpktsystem, kartesisches Linkssystem ⇒ Objektsystem, kartesisches Linkssystem

Die einzige sinnvoll berechenbare Transformation ist eine Helmert-Transformation, und so wird nur diese berechnet. Weil für nur zwei identische Punkte A,B keine Ausgleichung erfolgen kann, können Gewichte fehlen.

Standpktsystem: 5 Punkte, Objektsystem: 2 Punkte, 2 identische Punkte

Pname	y	x	Y	X
A	100.0000	106.5300	100.00000	100.00000
B	106.9310	98.2730	100.00000	101.00000
C	106.5600	93.1160
D	98.1650	94.1490
E	95.4800	106.3570

Helmert Transformation

Aus den Objektkoordinaten von A...E können direkt die Objektkoordinaten der Eckpunkte abgelesen werden. Beispiel: Der Punkt P₂ hat dieselbe Y-Koordinate wie D, also 100.86876, und dieselbe X-Koordinate wie C, also 101.34427. Die Eckpunkte müssen schließlich noch ins Standpunktsystem transformiert werden. Hierzu ist die Schaltfläche ''Objektsystem ⇒ Standpktsystem'' nützlich. Es werden die Parameter der Rücktransformation berechnet und in die Eingabemaske geladen.

101.604916

113.458117

-0.07104824	0.05963853
-0.05963853	-0.07104824

exakte Lösung ⇒ keine Restklaffungen

berechn.	Standpktsystem		Objektsystem
Punkte	y	x	Y	X
A	100.0000	106.5300	100.00000	100.00000
B	106.9310	98.2730	100.00000	101.00000
C	106.5600	93.1160	100.33391	101.34427
D	98.1650	94.1490	100.86876	100.77021
E	95.4800	106.3570	100.33146	99.74273

Berechnete Transformationsparameter

Transform.	Translationsparameter `t_x, t_y`		Maßstabsfaktor(en) `m_x, m_y`		Rot.winkel `ε`
Helmert	101.604916	113.458117	0.09276102		-155.544000

IN DUBIO PRO GEO : Transformationen über Parameter

Punkte in der Ebene und im 3D-Raum werden mittels gegebener Parameter transformiert. Eine Folge von bis zu 13 Transformationsschritten kann abgearbeitet werden. Auf diese Weise können alle denkbaren Transformationen konfiguriert werden.

Winkeleinheit Notiz

Startsystem	Punktnamen und Koordinaten
Systemtyp: Spaltenformat:	Die Eckpunkte P₁...P₄ werden in der Objekt-koordinatenliste manuell ergänzt. A 100 100 B 100 101 P1 100.00000000 101.34426989 P2 100.86875819 101.34426989 P3 100.86875819 99.74272518 P4 100.00000000 99.74272518
Zielsystem	Transformationsschritt, Art des Parameters, Wert
Systemtyp:	01 02 03 04 05 ⋮

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO : Transformationen über Parameter

Ziel: Standpktsystem, kartesisches Linkssystem

6 Punkte

Tatsächlich gelangen die Punkte A, B an ihre alten Positionen zurück. Alle Neupunkte wurden erfolgreich berechnet. Nun geht es noch darum, die Seitenlängen des Rechtecks zu berechnen. Als Probe sollte man zunächst alle transformierten Punkte als Koordinatenliste speichern und als ebenes Polygon berechnen.

PName	Y	X
A	100.00000000	106.53000000
B	106.93100000	98.27300000
P1	109.31713461	95.43036352
P2	102.14379823	89.40900050
P3	91.04349185	102.63295517
P4	98.21682822	108.65431819

≡ START Anleitung English Rechenprobe

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Polygone

Ebene Polygone werden aus gegebenen Eckpunktkoordinaten berechnet: ebene Polygon- und Richtungswinkel, Seitenlängen, Flächeninhalt, Umfang etc.

Winkeleinheit Notiz

System	Punktnamen und Koordinaten
Systemtyp: Spaltenformat: offenes Polygon	Die Berechnung der Punkte als Polygon sollte nur rechte und gestreckte Polygonwinkel ergeben. // gespeicherte Transformation // über Parameter A 100.00000000 106.53000000 B 106.93100000 98.27300000 P1 109.31713461 95.43036352 P2 102.14379823 89.40900050 P3 91.04349185 102.63295517 P4 98.21682822 108.65431819

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Polygone

Alle Ergebnisse sind korrekt.

Die Seitenlängen des Rechtecks erhält man durch Löschen der Punkte A, B aus dem Polygon als Seitenlängen des nun verbleibenden Vierecks. Sie lauten 9.365 m und 17.265 m.

Standpktsystem, kartesisches Linkssystem

9 Punkte

PName	Y	X	Polygonwinkel
A	100.00000000	106.53000000	199.99999997
B	106.93100000	98.27300000	200.00000005
P1	109.31713461	95.43036352	99.99999995
P2	102.14379823	89.40900050	99.99999998
P3	91.04349185	102.63295517	100.00000006
P4	98.21682822	108.65431819	99.99999998

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Autor(en)	Titel	Jahr	Typ	Seiten MByte
Lehmann R	Ebene Geodätische Berechnungen	2018	Lehr	89 1.7
Lehmann R	A universal and robust computation procedure for geometric observations	2017	GruF	10 0.1
Lehmann R	Ein automatisches Verfahren für geodätische Berechnungen	2015	AngF	14 0.9

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