Die zu untersuchende Matrix wird als tabellarischer Datensatz eingegeben, jede Matrixzeile in eine Texteingabefeldzeile. Hat eine Zeile weniger Elemente als andere, werden fehlende Felder aufgefüllt.
Wahlweise kann statt der Eingabe-Matrix auch deren Transponierte untersucht werden.
Wahlweise kann danach nicht die ganze Eingabe-Matrix untersucht werden, sondern nur eine Untermatrix,
die aus einigen Zeilen und/oder Spalten der Eingabe-Matrix in beliebiger Reihenfolge besteht.
Diese werden beispielhaft nach folgendem Muster angesprochen:
6-8,5,3-1 wählt die Zeilen oder Spalten 6,7,8,5,3,2,1 in dieser Reihenfolge aus.
Der Rang einer Matrix ist gleich der Dimension des von ihren Spaltenvektoren aufgespannten Vektorraums und stimmt mit der Dimension des von ihren Zeilenvektoren aufgespannten Vektorraums überein. Ist der Rang niedriger als das Minimum aus der Zeilenzahl und der Spaltenzahl, dann liegt eine rangdefekte Matrix vor. Durch unvermeidliche Rundungsfehler beim Rechnen kommt es oft zu rangerhöhenden Störungen, d.h. der Rang erscheint höher zu sein, als er eigentlich sein sollte. Um das zu vermeiden, wird hier mit einem Schwellwert gearbeitet, den rangerhöhende Störungen oft nicht überschreiten. Der Schwellwert kann als niedrig, normal oder hoch gewählt werden, auch in . Ein hoher Schwellwert bedeutet also z.B., dass nahezu rangdefekte Vollrang-Matrizen manchmal als rangdefekt eingestuft werden, ein niedriger Schwellwert bedeutet das Umgekehrte.
Bei quadratischen Vollrang-Matrizen (sogenannte reguläre Matrizen) wird die inverse Matrix berechnet und ausgegeben, andere Matrizen gelten als nicht invertierbar.
1 0 0 1 1e-12 0 1 1 1e-14
Die rechte 3×3-Matrix ist nahezu singulär. In Abhängigkeit vom Schwellwert erhalten Sie verschiedene Ergebnisse für ihren Rang.
| Schwellwert | niedrig | normal | hoch |
|---|---|---|---|
| erhaltener Rang | 3 | 2 | 1 |
Nur bei niedrigem Schwellwert wird die Inverse berechnet, andernfalls wird von einer singulären Matrix mit rangerhöhenden Störungen ausgegangen.
1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 ... 1/30 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 ... 1/31 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 ... 1/32 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 ... 1/33 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 ... 1/34 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 ... 1/35 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11 ... 1/36 ... ... 1/30 1/31 1/32 1/33 1/34 ... 1/59
Hilbert-Matrizen werden in der numerischen Mathematik als Testmatrizen verwendet, da diese zwar positiv definit sind, aber mit wachsender Zeilen- und Spaltenzahl zur singulären Matrix tendieren. Die rechts dargestellte 30×30-Hilbert-Matrix wird hier mit dem Rang 12 berechnet, obwohl der Rang wie gesagt eigentlich gleich 30 ist.
Alle Elemente einer inversen Hilbert-Matrizen sind ganze Zahlen mit schachbrettartig alternierenden Vorzeichen. Werden nach der Inversion gebrochene Zahlen erhalten, erkennt man deutlich die Wirkung der begrenzten Rechengenauigkeit. Da die 30×30-Hilbert-Matrix hier wie gesagt als singulär gilt, wird leider keine Inverse berechnet.
Aufgabe: Spalten Sie mit Zeilen und/oder Spalten auswählen die linke obere 10×10-Untermatrix ab, die die 10×10-Hilbert-Matrix ist. Wählen Sie einen niedrigen Schwellwert und 17 Ziffern für Matrixelemente. Diese Matrix wird mit vollem Rang 10 berechnet, so dass eine Inverse berechnet und ausgegeben wird. Laden Sie diese Inverse in und bilden Sie erneut die Inverse. Vergleichen Sie mit der Ausgangsmatrix. Sie erhalten eine maximale Abweichung von 6.4·10-6.
Der Cholesky-Faktor einer symmetrischen positiv definiten n×n-Matrix A ist eine untere n×n-Dreiecksmatrix L. Wenn man letztere mit ihrer Transponierten multipliziert, erhält man die ursprüngliche Matrix: A=L·LT. Die Cholesky-Zerlegung wird zur Lösung linearer Gleichungssysteme sowie zur Inversion positiv definiter Matrizen benutzt.
Für symmetrische semi-definite Matrizen ist eine solche Zerlegung ebenfalls möglich, wobei jedoch die Matrix L nicht dreieckig, sondern trapezförmig ist, d.h. rechts fehlen Spalten. Die Anzahl der Spalten von L ist gleich dem Rang von A. Bei rangerhöhenden Störungen kann der Rang vom Schwellwert abhängen. In the case of rank increasing perturbations the rank may depend on the threshold.
Die LU-Zerlegung einer allgemeinen n×n-Matrix A ist eine Faktorisierung in ein Produkt einer unteren n×n-Dreiecksmatrix L mit ausschließlich Einsen auf der Hauptdiagonale und einer oberen n×n-Dreiecksmatrix U, so dass A=L·U gilt. Die LU-Zerlegung wird zur Lösung linearer Gleichungssysteme sowie zur Matrix-Inversion benutzt, wenn keine Cholesky-Zerlegung möglich ist. Nur in diesem Fall wird sie also hier berechnet.
In der Regel ist während der Cholesky- oder LU-Zerlegung eine Pivotisierung
(Zeilen- und Spaltenvertauschung) sinnvoll oder sogar nötig. Dann wird eine n×n-Permutationsmatrix P
erzeugt, so dass die Faktorisierung lautet:
Cholesky: P·A·PT=L·LT.
LU: P·A=L·U
Optional kann versucht werden, ohne die Pivotisierung auszukommen.
Darunter könnte die numerische Stabilität der Zerlegung leiden, deshalb wird das nicht empfohlen.
Falls eine Pivotisierung unvermeidbar ist, wird pivotisiert.
War die Pivotisierung unnötig oder wurde unterdrückt, ist P die Einheitsmatrix und wird nicht ausgegeben.
Für die Cholesky-Zerlegung gilt: Sollte A Zeilen und Spalten aufweisen, die vollständig mit Nullen gefüllt sind, so wird L um soviele Zeilen und Spalten kleiner sein. P wird dann eine querformatige Matrix sein, die ebenso viele Null-Spalten besitzt, also keine reine Permutationsmatrix.
Die QR-Zerlegung einer allgemeinen n×m-Matrix A ist eine Faktorisierung in ein Produkt einer n×n-Orthogonalmatrix Q und einer oberen n×m-Dreiecksmatrix R, so dass A=Q·R gilt.
Die RQ-Zerlegung einer allgemeinen n×m-Matrix A ist eine Faktorisierung in ein Produkt einer oberen n×m-Dreiecksmatrix R, und einer m×m-Orthogonalmatrix Q so dass A=R·Q gilt.
Wenn möglich, wird die reduzierte Form ausgegeben, bei der Zeilen oder Spalten von R, die nur Nullen enthalten, sowie die zugehörigen Zeilen oder Spalten von Q nicht mit ausgegeben werden.
Die Matrix Q wird so gewählt, dass R nicht-negative Hauptdiagonalelemente hat.
Die Eigenwert-Zerlegung einer allgemeinen n×n-Matrix A ist eine Faktorisierung in ein Produkt einer n×n-Matrix Q, deren Spalten die Eigenvektoren sind, und einer n×n-Diagonalmatrix Λ, die die Eigenwerte enthält, so dass A·Q=Q·Λ gilt. Obwohl A nur reelle Elemente enthält, können in Q und Λ komplexe Zahlen auftreten.
Vorerst wird die vollständige Eigenwert-Zerlegung nur für symmetrische Matrizen und Dreiecksmatrizen sowie für Matrizen bis zum Typ 3×3 unterstützt.
Die Berechnung charakteristischer Polynome für größere Matrizen könnte ungenau sein, weil das benutzte Verfahren von Faddejew und Leverrier numerisch instabil sein kann. Die Berechnung der Nullstellen solcher Polynome mit ist ebenfalls kritisch und könnte ungenaue Ergebnisse liefern oder sogar scheitern.
Die Eigenwerte sind betragsmäßig aufsteigend sortiert und die zugehörigen Eigenvektoren in derselben Reihenfolge.
Die (ökonomische Variante der) Singulärwert-Zerlegung einer allgemeinen n×m-Matrix A ist eine Faktorisierung in ein Produkt einer n×k (verschlankten) Orthogonalmatrix U und einer k×k-Diagonalmatrix S sowie einer k×m (verschlankten) Orthogonalmatrix VT, so dass k=min(m,n) und A=U·S·VT gelten. Von S wird nur die Hauptdiagonale ausgegeben, die die Singulärwerte von A enthält, aufsteigend sortiert.
161063e-4 8.1+80063e-4 pi*16.1063/pi 1610.63% 161063/10000 log(exp(16.1063)) 8.1+8.0063 (3,3009-1)*7,0 sqrt(16.1063^2) 2,3009*7,0 3,3009*7,0-7 asin(sin(0.161063))*100
Dieses Beispiel zeigt eine 4×3-Matrix, deren Elemente alle den identischen Wert 16.1063 besitzen. Man erkennt daran, welche breite Palette von arithmetischen Ausdrücken IN DUBIO PRO GEO akzeptiert.
Siehe Arithmetische Ausdrücke in Eingabefeldern.
Beachten Sie, dass der Rang dieser Matrix gleich Eins ist.
Nur für symmetrische positiv definite und positiv semi-definite Matrizen wird eine Cholesky-Zerlegung berechnet. Ist das der Fall, dann hat die zerlegte Matrix diese Eigenschaft. Ist der Cholesky-Faktor sogar quadratisch, dann ist die Matrix sogar positiv definit.
0.0 -0.80 -0.60 0.8 -0.36 0.48 0.6 0.48 -0.64
Eine orthogonale Matrix kann man daran erkennen, dass ihre Inverse gleich der Transponierten ist. Die Eigenwerte haben alle den Betrag Eins. Die Singulärwerte sind alle gleich Eins. Das Beispiel rechts zeigt eine orthogonale Matrix mit drei Zeilen und drei Spalten. Es handelt sich nicht um eine Rotationsmatrix, weil die Determinate -1 beträgt, nicht +1. Zusätzlich zur Rotation liegt hier noch eine Reflexion (Spiegelung) vor.
Um herauszufinden, ob eine nicht-quadratische Matrix orthogonal ist, kann man sich die QR- oder RQ-Zerlegung anschauen. Ist R eine Einheitsmatrix, dann ist die zerlegte Matrix orthogonal.
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Ausgleichungslehrbücher |