≡ START Erste Schritte English Anleitung : Ausgleichende Kurven

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≡ START Erste Schritte English Stützpunkte

Zunächst sind Stützpunkte anzugeben, durch die die Kurve verlaufen soll, eventuell nur näherungsweise. Diese Punkte können 2D- oder 3D-Punkte sein, also zwei oder drei gegebene Koordinaten besitzen. Diese Koordinaten werden über eingegeben. In der rechten Tabelle ist für jede Kurvenart die Mindestanzahl von Stützpunkten angegeben. Wenige spezielle Konfigurationen von Stützpunkten können zu singulären Gleichungssystemen führen und sind unzulässig.

≡ START Erste Schritte English Kurven, Kurvenparameter und Kurvengleichungen

Als Ergebnis erhalten Sie für die gesuchte Kurve zunächst die Kurvengleichung, in der Sie die Parameter der Kurve ablesen können, die ihre Größe, Form, Lage und Ausrichtung definieren.

Ebene Gerade: (v_X, v_Y)^T ist ein Einheitsvektor senkrecht auf der Gerade (der sogenannte Normaleneinheitsvektor), der vom Koordinatenursprung weg zeigt. w>0 ist der Abstand des Koordinatenursprungs von der Gerade:

v_X · X + v_Y · Y = w

Quad. Parabel: a, b, -w sind die Koeffizienten des Polynoms zweiten Grades:

X² + a · X + b · Y = w

Y² + a · Y + b · X = w

Kubische Parabel: a, b, c, -w sind die Koeffizienten des Polynoms dritten Grades:

X³ + a · X² + b · X + c · Y = w

Y³ + a · Y² + b · Y + c · X = w

Kreis: X_o, Y_o sind die Koordinaten des Mittelpunkts, R ist der Radius des Kreises:

(X_o - X)² + (Y_o - Y)² = R²

Ellipse/Hyperbel: X_o, Y_o sind die Koordinaten des Mittelpunkts der Figur, a,b > 0 sind die Formparameter der Kurve. Bei der Ellipse sind das die Halbachsen. Auch bei der Hyperbel werden diese manchmal Halbachsen genannt. Die Symmetrieachsen der Kurve verlaufen durch den Mittelpunkt und liegen parallel zu den Koordinatenachsen:

Die Art der Kurve hängt von den Vorzeichen der Brüche in dieser Gleichung ab:

• 2× plus ⇒ Ellipse,
• 1× plus, 1× minus ⇒ Hyperbel
• 2× minus ist nicht möglich.

Ebene Quadrik: Dieser Kurventyp ist nichts anderes als eine Ellipse oder Hyperbel in schräger (d.h. nicht achsenparalleler) Lage:

X_o, Y_o sind die Koordinaten des Mittelpunkts der Figur. Alles andere wird von den Eigenwerten und Eigenvektoren des Matrixfaktors U bestimmt. Die Vorzeichen der Eigenwerte bestimmen den Kurventyp nach derselben Regel, wie oben. Die Halbachsen sind die Eigenwerte hoch -0.5. Die Eigenvektoren sind parallel zu den Achsen der Quadrik.

Räumliche Gerade: Die Kurvengleichung wird mit dem Kurvenparameter τ ausgegeben. (X_o, Y_o, Z_o)^T ist der gewichtete Schwerpunkt der Stützpunkte, (g_X, g_Y, g_Z)^T ist der Geradenvektor parallel zur Geraden.

Räumliche Quadrik: Anders als die ebene Quadrik kann diese ebene Kurve eine allgemeine räumliche Lage besitzen. Die Kurvengleichung wird mit dem Kurvenparameter τ=0…2·π ausgegeben. (X_o, Y_o, Z_o)^T ist der Mittelpunkt der Quadrik und (g_X, g_Y, g_Z)^T sowie (h_X, h_Y, h_Z)^T definieren die Halbachsen. Diese beiden Vektoren spannen also die Ebene auf, die die Quadrik enthält.

Die linke Kurvengleichung mit cos/sin beschreibt eine Ellipse und die rechte Kurvengleichung mit cosh/sinh beschreibt eine Hyperbel. Die beiden Äste der Hyperbel gehören zu den beiden Vorzeichen von cosh.

≡ START Erste Schritte English Algebraische Ausgleichung

Sind mehr Stützpunkte vorhanden, als zur eindeutigen Bestimmung der Kurve erforderlich sind (Redundanz, Tabelle), erfolgt die Ausgleichung durch die Methode der kleinsten Quadrate. Bei der algebraischen Ausgleichung werden die Konstanten auf der rechten Seite der Kurvengleichung w, R² oder 1 als gleichgewichtige Beobachtungen angesehen und ''verbessert''. Gegebene Standardabweichungen oder Gewichte werden hier nicht verwendet.

Bei gekrümmten Kurven ändert sich naturgemäß das Ergebnis, wenn alle Koordinaten mit einem konstanten Faktor multipliziert werden. Somit dient diese Lösung vielleicht nur als erste Näherung.

Die algebraische Ausgleichung ist für räumliche Geraden nicht möglich.

≡ START Erste Schritte English Stochastische Ausgleichung

In diesem Fall werden Genauigkeitsmaße für die Koordinaten der Stützpunkte benötigt, entweder als Standardabweichungen σ oder als Gewichte p. Im ersten Fall werden Gewichte berechnet entsprechend p=1/σ². Im Unterschied zur Algebraischen Ausgleichung sind hier die mit Genauigkeitsmaßen versehenen Koordinaten der Stützpunkte die Beobachtungen. Koordinaten ohne Genauigkeitsmaß gelten als fehlerfrei und erzeugen eine Bedingungsgleichung. Sind mehr fehlerfreie Koordinaten als Kurvenparameter vorhanden, ist die Berechnung nicht möglich.

≡ START Erste Schritte English Zu projizierende Punkte

Optional können Punkte angegeben werden, die auf die berechnete Kurve projiziert werden sollen. Die Koordinaten dieser Punkte werden über eingegeben. Systemtyp und Spaltenformat müssen mit den Einstellungen der Stützstellen übereinstimmen. Drei verschiedene Modi werden unterstützt:

1D-Punkt (eine gegebene Koordinate):

Es wird versucht, die andere(n) Koordinate(n) des Punktes so zu finden, dass der Punkt in der Kurve liegt. Sollte es keinen solchen Punkt geben, wird ∄ erhalten. Sollte es zwei geben, wird derjenige Punkt erhalten, der näher an den Stützpunkten liegt.
Punkte mit nur einer Koordinate werden eigentlich nicht unterstützt, sondern mindestens zwei werden erwartet. Es ist deshalb nötig, für die andere(n) Koordinate(n) den Wert NAN zu notieren. Das kann auch die erste Koordinate sein. Bei räumlichen Kurven können es sogar die ersten beiden Koordinaten sein.

2D-Punkt (zwei gegebene Koordinaten), nur für Kurven in der Horizontalebene:

Der in der Kurve nächstgelegene Punkt wird berechnet (senkrechte Projektion auf die Kurve). Für jeden Punkt wird der 2D-Projektionsvektor zum Bild in der Kurve angegeben, woraus auch der Abstand berechnet werden kann.

3D-Punkt (drei gegebene Koordinaten), nur bei räumlichen Kurven:

Dasselbe wie zuvor, nur dass der Projektionsvektor ein räumlicher Vektor ist.

Wenn die zu projizierenden Punkte weit von den Stützpunkten entfernt liegen, ist die Genauigkeit oft schlecht wegen der ungünstigen Fehlerfortpflanzung der Extrapolation.

Es ist möglich, dass Stützpunkte und zu projizierende Punkte dieselben Namen haben. Unvermeidlich wird dieser Fall eintreten, wenn das Spaltenformat ''Koordinaten'' gewählt wurde. Um Verwechslungen zu vermeiden, wird diese Option hier nicht empfohlen.

Im Fall von zu projizierenden 2D- und 3D-Punkten haben der zu projizierende Punkt und der in der Kurve nächstgelegene Punkt dieselben Namen. Falls das unerwünscht ist, kann an die Namen projizierter Punkte ein Suffix angehängt werden, um diese von den zu projizierenden Punkten zu unterscheiden.

≡ START Erste Schritte English Auf der Leinwand

Auf der Leinwand werden alle Stützpunkte und projizierte Punkte sowie zu projizierende 2D- und 3D-Punkte im Grundriss dargestellt. Für jeden Punkt wird nur die letzte gültige Koordinatenlösung dargestellt. Haben projizierte Punkte also keinen Suffix, so werden zu projizierende Punkte nicht dargestellt. Im Spaltenformat ''Koordinaten'' werden ebenfalls manche Punkte nicht auf der Leinwand erscheinen können.

≡ START Erste Schritte English Verwendung eines Gittersystems

ist z.Z. noch nicht möglich. Bitte kartesisches System verwenden.

≡ START Erste Schritte English Klothoide (Cornu-Spirale)

 s     X       Y
000  100.00  100.00
010  110.00  100.05
020  119.99  100.42
030  129.94  101.41
040  139.75  103.34
050  149.23  106.47
060  158.11  111.05
070  165.97  117.21
080  172.28  124.93
090  176.48  133.98
100  177.99  143.83
110  176.38  153.65
120  171.54  162.34
130  163.85  168.63
140  154.31  171.35
150  144.53  169.75

Die Klothoide wird in der Ingenieurgeodäsie als Trassierungselement für Verkehrswege eingesetzt, weil ihre Krümmung proportional mit der Bogenlänge wächst.

Die 16 Punkte in der rechten Liste liegen auf einem Klothoidenbogen. Benachbarte Punkte haben einen Abstand von 10. Wir verwenden den Bogenlängenparameter als Punktname. Der Klothoidenbogen soll durch einen Kreisbogen angenähert werden. Dazu wird allen Stützpunkten dasselbe Gewicht 1 gegeben. Die Verbesserungen liegen gleichmäßig im Intervall -8.50…+4.75.

Der Radius des Kreisbogens beträgt 45.61 bei algebraischer und 42.05 bei stochastischer Ausgleichung.

Alternativ wird in einem zweiten Berechnungsbeispiel die Approximation am Anfang der Kurve übergewichtet. Die algebraische Ausgleichung berücksichtigt die Gewichte jedoch nicht und liefert dasselbe Ergebnis wie zuvor. Die Gewichte wählen wir umgekehrt proportional zur Bogenlänge, mit Gewicht INF am Anfang. Dadurch wird die stochastisch ausgleichende Kurve durch den Anfangspunkt gezwungen, so dass dort keine Verbesserungen erzeugt werden. Die Verbesserungen nehmen zum Ende der Kurve große Beträge bis zu 13.35 an.

Der Radius des Kreisbogens beträgt 51.35. Beachten Sie, dass sich die beiden Ausgleichungsvarianten jetzt stärker als zuvor unterscheiden.

≡ START Erste Schritte English Räumliche Hyperbel berechnen, wenn Punkte auf beiden Ästen liegen

23.00	29.00	-1.00 // Beginn Ast1
24.36	27.47	 0.81
25.86	26.08	 2.46
27.50	24.81	 3.97
29.31	23.64	 5.34
31.31	22.58	 6.60
33.50	21.60	 7.76
35.92	20.69	 8.82
38.59	19.85	 9.80
41.54	19.07	10.71 // Ende Ast1

 -7.52	 -9.15	44.78 // Beginn Ast2
 -7.72	-12.63	48.94
 -8.11	-16.38	53.42
 -8.69	-20.44	58.26
 -9.47	-24.84	63.52
-10.45	-29.62	69.24
-11.65	-34.85	75.49
-13.08	-40.56	82.32 // Ende Ast2

Eine Hyperbel besteht aus zwei symmetrischen Ästen. Datenpunkte können auf nur einem Ast oder gleichzeitig auf beiden Ästen liegen. Die ersten 10 Punkte in der rechten Liste liegen auf einem Ast, die restlichen 8 Punkte liegen auf dem anderen Ast.

Aufgabe: Die Reihenfolge der Punkte in der ist auch hier beliebig. Ändern Sie die Reihenfolge, um zu sehen, dass dieselbe Hyperbel berechnet wird.