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Stützpunkte Flächen, Flächenparameter und Flächengleichungen Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate Überspringen von Flächenberechnungen Zu projizierende Punkte Verwendung eines Gittersystems Beispiel: Geländemodellapproximation und -interpolation
im Großen Garten Dresden Trick: Ebene durch drei Punkte, Kugel durch vier Punkte Trick: Punkte mit individuellen Gewichten

Durch gegebene Stützpunkte im 3D-Raum wird eine ausgleichende (d.h. bestanpassende) Fläche (Ebene, Kugel, Ellipsoid oder allgemeine Quadrik) berechnet. Auch eine Ebene durch 3 Punkte, eine Kugel durch 4 Punkte usw. kann berechnet werden. Weitere Punkte können auf die Flächen projiziert werden.

≡ START Erste Schritte English Stützpunkte

Ebene	3
Kugel	4
Ellipsoid/ ellipt. Hyperboloid	6
allg. Quadrik	9

Zunächst sind Stützpunkte anzugeben, durch die die Fläche verlaufen soll, eventuell nur näherungsweise. Alle diese Punkte müssen 3D-Punkte sein, also drei Koordinaten haben. Diese Koordinaten werden über eingegeben. In der rechten Tabelle ist für jede Flächenart die Mindestanzahl von Punkten angegeben. Werden sehr viele Punkte gegeben, muss die Rechenzeitgrenze heraufgesetzt werden. Bei extrem vielen Stützpunkten könnte die maximal erlaubte Rechenzeit nicht ausreichen, um alle Flächen zu berechnen.

≡ START Erste Schritte English Flächen, Flächenparameter und Flächengleichungen

Alle auszugleichenden Flächen werden berechnet, die sich aus den gegebenen Stützpunkten berechnen lassen. Als Ergebnis erhalten Sie für jede Fläche zunächst die Flächengleichung, in der Sie die Parameter der Fläche ablesen können.

Ebene: (v_X, v_Y, v_Z)^T ist ein Einheitsvektor senkrecht auf der Ebene (der sogenannte Normaleneinheitsvektor), der vom Koordinatenursprung weg zeigt. w ist der Abstand des Koordinatenursprungs von der Ebene.

v_X · X + v_Y · Y + v_Z · Z = w

Kugel: X_o, Y_o, Z_o sind die Koordinaten des Mittelpunkts der Kugel, R ist der Radius der Kugel.

(X_o - X)² + (Y_o - Y)² + (Z_o - Z)² = R²

Dreiachsiges Ellipsoid / elliptisches Hyperboloid: X_o, Y_o, Z_o sind die Koordinaten des Mittelpunkts der Figur, a,b,c > 0 sind die Formparameter der Fläche. Beim Ellipsoid sind das die Halbachsen. Auch beim elliptischen Hyperboloid werden diese manchmal Halbachsen genannt. Die Symmetrieachsen und -ebenen der Fläche verlaufen durch den Mittelpunkt und liegen parallel zu den Koordinatenachsen und -ebenen.

±	(Xo - X)²	±	(Yo - Y)²	±	(Zo - Z)²	= 1
	a²		b²		c²

Die Art der Fläche hängt von den Vorzeichen der Brüche in dieser Gleichung ab:

• 3× plus ⇒ Ellipsoid,
• 2× plus, 1× minus ⇒ einflächiges elliptisches Hyperboloid,
• 1× plus, 2× minus ⇒ zweiflächiges elliptisches Hyperboloid,
• 3× minus ist nicht möglich.

Allgemeine Quadrik: Dieser Flächentyp ist nichts anderes als ein dreiachsiges Ellipsoid oder elliptisches Hyperboloid in schräger (nicht achsenparalleler) Lage:

Xo - X Yo - Y Zo - Z . uXX uXX uXX uXY uYY uYZ uXZ uYZ uZZ . Xo - X Yo - Y Zo - Z

=1

X_o, Y_o, Z_o sind die Koordinaten des Mittelpunkts der Figur. a²,b²,c² sind die Beträge der Eigenwerte der Matrix U. Die Art der Fläche hängt von den Vorzeichen der Eigenwerte dieser Matrix ab. Die Regel ist dieselbe wie oben. Beim Ellipsoid sind a,b,c die Halbachsen.

Bekanntes Problem: Es ist zur Zeit nicht erlaubt, dass eine gekrümmte ausgleichende Fläche durch den Schwerpunkt der Stützpunkte verläuft. Sind Stützpunkte so angeordnet, würde dies zur Fehlermeldung ''Singuläre Matrix'' führen. Bitte diesen Fall zunächst vermeiden.

≡ START Erste Schritte English Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate

Sind mehr Stützpunkte vorhanden, als zur eindeutigen Bestimmung der Fläche erforderlich sind (Redundanz, ⇑ Tabelle), erfolgt die Ausgleichung durch die Methode der gewichteten kleinsten Quadrate. In diesem Fall werden Genauigkeitsmaße für die Koordinaten identischer Punkte benötigt, entweder als Standardabweichung σ oder als Gewicht p . Im ersten Fall wird ein Gewicht berechnet entsprechend p=1/σ².

Jedes Genauigkeitsmaß gilt jeweils für alle Punkte. Eine individuelle Gewichtung von Punkten wird nicht direkt unterstützt Trick: Punkte mit individuellen Gewichten . Genauigkeitsmaße dürfen nicht negativ sein und Gewichte außerdem auch nicht gleich Null. Fehlt ein Genauigkeitsmaß oder ist die Standardabweichung gleich Null, gelten die zugehörigen Koordinaten als fehlerfrei und werden bei der Ausgleichung festgehalten.

≡ START Erste Schritte English Überspringen von Flächenberechnungen

Normalerweise werden alle Flächen nacheinander berechnet, angefangen mit der Ebene, bis hin zur allgemeinen Quadrik. Dabei stellt jede Flächenlösung die Näherungslösung für die Berechnung der nächsten Fläche dar.

Einzelne Flächenberechnungen können auch übersprungen werden. Dann steht die Lösung nicht im nächsten Schritt als Näherungslösung zur Verfügung. Das könnte die weitere Berechnung erschweren oder sogar verhindern. Aus drei Gründen könnte es trotzdem sinnvoll sein:

• Mittels der normalen Näherungslösung wird ausnahmsweise keine Konvergenz erreicht. Es wird dann eine andere Näherungslösung versucht.
• Die Rechenzeit verkürzt sich vielleicht. Die Berechnung könnte dann sogar bei extrem vielen Stützpunkten erfolgreich sein.
• Einzelne Flächenlösungen sind wegen Singularitäten oder Fast-Singularitäten nicht berechenbar.

≡ START Erste Schritte English Zu projizierende Punkte

Optional können Punkte angegeben werden, die auf jede berechnete Fläche projiziert werden sollen. Die Koordinaten dieser Punkte werden über eingegeben. Systemtyp und Spaltenformat müssen mit den Einstellungen der Stützstellen übereinstimmen. Zwei verschiedene Modi werden unterstützt:

2D-Punkt (zwei gegebene Koordinaten):

Es wird versucht, die dritte Koordinate so zu finden, dass der Punkt auf der Fläche liegt (Projektion entlang der dritten Achse). Sollte es keinen solchen Punkt geben, wird ''keine Zahl'' erhalten. Sollte es zwei geben, wird derjenige Punkt erhalten, der näher an den Stützpunkten liegt.

3D-Punkt (drei gegebene Koordinaten):

Der auf der Fläche nächstgelegene Punkt wird berechnet (senkrechte Projektion auf die Fläche). Für jeden Punkt wird der Projektionsvektor zum Bild auf der Fläche angegeben, woraus auch der Abstand berechnet werden kann.

Wenn die zu projizierenden Punkte weit von den Stützpunkten entfernt liegen, ist die Genauigkeit oft schlecht wegen der ungünstigen Fehlerfortpflanzung der Extrapolation.

Es ist möglich, dass Stützpunkte und zu projizierende Punkte dieselben Namen haben. Unvermeidlich wird dieser Fall eintreten, wenn das Spaltenformat ''Koordinaten'' gewählt wurde. Um Verwechslungen zu vermeiden, wird diese Option hier nicht empfohlen. Bitte beachten Sie: Im Fall des 3D-Punktes haben der zu projizierende Punkt und der auf der Fläche nächstgelegene Punkt dieselben Namen. Falls das unerwünscht ist, kann an die Namen projizierter Punkte ein Suffix angehängt werden, um diese von den zu projizierenden Punkten zu unterscheiden.

Auf der Leinwand werden alle Stützpunkte im Grundriss dargestellt, jedoch weder zu projizierende noch projizierte Punkte.

≡ START Erste Schritte English Verwendung eines Gittersystems

ist z.Z. noch nicht möglich. Bitte kartesisches System verwenden.

≡ START Erste Schritte English Beispiel: Geländemodellapproximation und -interpolation
im Großen Garten Dresden

Im Dresdner Großen Garten wurden folgende Geländepunkte gemessen:

  Ostw. [m] Nordw. [m] Höhe [m]
1 413736      5653962      122
2 414006      5654264      123
3 414145      5654626      117
4 413496      5654915      121
5 413035      5655364      114
6 412418      5654935      116
7 413134      5654353      121
8 413163      5654817      115
9 413678      5654471      121

Obwohl diese Koordinaten sich auf die UTM Zone 33U beziehen, arbeiten wir mit einem kartesischen System, solange Gittersysteme in noch nicht unterstützt werden. Wegen der geringen Genauigkeit der Lagekoordinaten spielt ein Gittermaßstabsfaktor sowieso keine Rolle.

Das mittlere Geländegefälle soll bestimmt werden, indem eine ausgleichende Ebene durch diese 9 Punkte berechnet wird. Auf dieser Ebene sollen Rasterpunkte mit einer Rasterweite 100 m × 100 m berechnet werden. (Tipp: )

und Rechnen

Die erhaltene Ebene kann durch die Gleichung

0.0057072740260338 · X -0.00092455626269208 · Y + 0.99998328596978 · Z = 32009.200056141

beschrieben werden, aus der man sofort den Neigungswinkel abliest:

arccos(0.999983286) = 0.331° = 19.9'

Außerdem erhält man den Richtungswinkel der Falllinie:

arctan(-0.000925/0.005707) = 350.8° = 389.8 gon

Das stärkste Gefälle finden wir etwa in nördlicher Richtung.

≡ START Erste Schritte English Trick: Ebene durch drei Punkte, Kugel durch vier Punkte

berechnet auch eine Ebene durch drei Punkte oder eine Kugel durch vier Punkte. Gewichte sind dann egal, können auch fehlen. Wenn Sie die Abstände weiterer Punkte von der Fläche und/oder ihre Projektionen auf die Fläche benötigen, geben Sie diese als zu projizierende Punkte an. Die Abstände berechnen Sie als Längen der Differenzvektoren.

≡ START Erste Schritte English Trick: Punkte mit individuellen Gewichten

In werden im Fall der Redundanz Gewichte für die Koordinaten der Stützpunkte oder der identischen Punkte benötigt. Individuelle Gewichte für jeden Punkt können im Moment noch nicht vergeben werden, sondern nur für jede Koordinatenachse. Jedoch gibt es eine Hilfslösung: Geben Sie einfach die Punkte mit höherem Gewicht in beiden Koordinatenlisten mehrfach mit unterschiedlichen Namen oder im Spaltenformat Koordinaten ohne Namen und identischen Koordinaten ein. Z.B. wirkt ein doppelt eingegebener Punkt wie der einfach eingegebene mit doppeltem Gewicht.

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