Ebene | 3 |
Kugel | 4 |
Ellipsoid/ ellipt. Hyperboloid | 6 |
allg. Quadrik | 9 |
Zunächst sind Stützpunkte anzugeben, durch die die Fläche verlaufen soll, eventuell nur näherungsweise. Alle diese Punkte müssen 3D-Punkte sein, also drei Koordinaten haben. Diese Koordinaten werden über eingegeben. In der rechten Tabelle ist für jede Flächenart die Mindestanzahl von Stützpunkten angegeben. Wenige spezielle Konfigurationen von Stützpunkten können zu singulären Gleichungssystemen führen und sind unzulässig.
Alle auszugleichenden Flächen werden berechnet, die sich aus den gegebenen Stützpunkten berechnen lassen. Als Ergebnis erhalten Sie für jede Fläche zunächst die Flächengleichung, in der Sie die Parameter der Fläche ablesen können.
Ebene: (vX, vY, vZ)T ist ein Einheitsvektor senkrecht auf der Ebene (der sogenannte Normaleneinheitsvektor), der vom Koordinatenursprung weg zeigt. w ist der Abstand des Koordinatenursprungs von der Ebene.
vX · X + vY · Y + vZ · Z = w
Kugel: Xo, Yo, Zo sind die Koordinaten des Mittelpunkts, R ist der Radius der Kugel.
(Xo - X)² + (Yo - Y)² + (Zo - Z)² = R²
Dreiachsiges Ellipsoid / elliptisches Hyperboloid: Xo, Yo, Zo sind die Koordinaten des Mittelpunkts der Figur, a,b,c > 0 sind die Formparameter der Fläche. Beim Ellipsoid sind das die Halbachsen. Auch beim elliptischen Hyperboloid werden diese manchmal Halbachsen genannt. Die Symmetrieachsen und -ebenen der Fläche verlaufen durch den Mittelpunkt und liegen parallel zu den Koordinatenachsen und -ebenen.
± | (Xo - X)² | ± | (Yo - Y)² | ± | (Zo - Z)² | = 1 |
a² | b² | c² |
Die Art der Fläche hängt von den Vorzeichen der Brüche in dieser Gleichung ab:
Allgemeine Quadrik: Dieser Flächentyp ist nichts anderes als ein dreiachsiges Ellipsoid oder elliptisches Hyperboloid in schräger (nicht achsenparalleler) Lage:
| =1 |
Xo, Yo, Zo sind die Koordinaten des Mittelpunkts der Figur. a²,b²,c² sind die Beträge der Eigenwerte der Matrix U. Die Art der Fläche hängt von den Vorzeichen der Eigenwerte dieser Matrix ab. Die Regel ist dieselbe wie oben. Beim Ellipsoid sind a,b,c die Halbachsen.
Es ist zur Zeit nicht erlaubt, dass eine gekrümmte ausgleichende Fläche durch den Schwerpunkt der Stützpunkte verläuft. Sind Stützpunkte so angeordnet, würde dies zur Fehlermeldung ''Singuläre Matrix'' führen. Bitte diesen Fall zunächst vermeiden.
Sind mehr Stützpunkte vorhanden, als zur eindeutigen Bestimmung der Fläche erforderlich sind (Redundanz, Tabelle), erfolgt die Ausgleichung durch die Methode der gewichteten kleinsten Quadrate. In diesem Fall werden Genauigkeitsmaße für die Koordinaten identischer Punkte benötigt, entweder als Standardabweichung σ oder als Gewicht p . Im ersten Fall wird ein Gewicht berechnet entsprechend p=1/σ².
Jedes Genauigkeitsmaß gilt jeweils für alle Punkte. Eine individuelle Gewichtung von Punkten wird noch nicht direkt unterstützt. Punkte mit individuellen Gewichten . Genauigkeitsmaße dürfen nicht negativ sein und Gewichte außerdem auch nicht gleich Null. Fehlt ein Genauigkeitsmaß oder ist die Standardabweichung gleich Null, gelten die zugehörigen Koordinaten als fehlerfrei und werden bei der Ausgleichung festgehalten.
Demnächst: Individuelle Gewichte können vergeben werden.
Normalerweise werden alle Flächen nacheinander berechnet, angefangen mit der Ebene, bis hin zur allgemeinen Quadrik. Oft stellt jede Flächenlösung die Näherungslösung für die Berechnung der nächsten Fläche dar.
Einzelne Flächenberechnungen können auch übersprungen werden. Dann steht die Lösung nicht im nächsten Schritt als Näherungslösung zur Verfügung. Das könnte die weitere Berechnung erschweren oder sogar verhindern. Aus drei Gründen könnte es trotzdem sinnvoll sein:
Optional können Punkte angegeben werden, die auf jede berechnete Fläche projiziert werden sollen. Die Koordinaten dieser Punkte werden über eingegeben. Systemtyp und Spaltenformat müssen mit den Einstellungen der Stützstellen übereinstimmen. Zwei verschiedene Modi werden unterstützt:
Wenn die zu projizierenden Punkte weit von den Stützpunkten entfernt liegen, ist die Genauigkeit oft schlecht wegen der ungünstigen Fehlerfortpflanzung der Extrapolation.
Es ist möglich, dass Stützpunkte und zu projizierende Punkte dieselben Namen haben. Unvermeidlich wird dieser Fall eintreten, wenn das Spaltenformat ''Koordinaten'' gewählt wurde. Um Verwechslungen zu vermeiden, wird diese Option hier nicht empfohlen. Bitte beachten Sie: Im Fall des 3D-Punktes haben der zu projizierende Punkt und der auf der Fläche nächstgelegene Punkt dieselben Namen. Falls das unerwünscht ist, kann an die Namen projizierter Punkte ein Suffix angehängt werden, um diese von den zu projizierenden Punkten zu unterscheiden.
Auf der Leinwand werden alle Stützpunkte im Grundriss dargestellt, jedoch weder zu projizierende noch projizierte Punkte.
ist z.Z. noch nicht möglich. Bitte kartesisches System verwenden.
Im Dresdner Großen Garten wurden folgende Geländepunkte gemessen:
Ostw. [m] Nordw. [m] Höhe [m] 1 413736 5653962 122 2 414006 5654264 123 3 414145 5654626 117 4 413496 5654915 121 5 413035 5655364 114 6 412418 5654935 116 7 413134 5654353 121 8 413163 5654817 115 9 413678 5654471 121
Obwohl diese Koordinaten sich auf die UTM Zone 33U beziehen, arbeiten wir mit einem kartesischen System, solange Gittersysteme in noch nicht unterstützt werden. Wegen der geringen Genauigkeit der Lagekoordinaten spielt ein Gittermaßstabsfaktor sowieso keine Rolle.
Das mittlere Geländegefälle soll bestimmt werden, indem eine ausgleichende Ebene durch diese 9 Punkte berechnet wird. Auf dieser Ebene sollen Rasterpunkte mit einer Rasterweite 100 m × 100 m berechnet werden. (Tipp: )
Die erhaltene Ebene kann durch die Gleichung
0.0057072740260338 · X -0.00092455626269208 · Y + 0.99998328596978 · Z = 32009.200056141
beschrieben werden, aus der man sofort den Neigungswinkel abliest:
arccos(0.999983286) = 0.331° = 19.9`
Außerdem erhält man den Richtungswinkel der Falllinie:
arctan(-0.000925/0.005707) = 350.8° = 389.8 gon
Das stärkste Gefälle finden wir etwa in nördlicher Richtung.
berechnet auch eine Ebene durch drei Punkte oder eine Kugel durch vier Punkte. Gewichte sind dann egal, können auch fehlen. Wenn Sie die Abstände weiterer Punkte von der Fläche und/oder ihre Projektionen auf die Fläche benötigen, geben Sie diese als zu projizierende Punkte an. Die Abstände berechnen Sie als Längen der Differenzvektoren.
In werden im Fall der Redundanz Gewichte für die
Koordinaten der Stützpunkte oder der identischen Punkte benötigt.
Individuelle Gewichte für jeden Punkt können im Moment noch nicht vergeben werden,
sondern nur für jede Koordinatenachse.
Jedoch gibt es eine Hilfslösung: Geben Sie einfach die Punkte mit
höherem Gewicht in beiden Koordinatenlisten mehrfach mit unterschiedlichen Namen oder im Spaltenformat Koordinaten
ohne Namen und identischen Koordinaten ein. Z.B. wirkt ein doppelt eingegebener Punkt
wie der einfach eingegebene mit doppeltem Gewicht.
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