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Geodätische Konstanten Algorithmus zur Bahnberechnung Kepler-Elemente zur Referenzzeit Änderungsraten, Korrekturwerte und Korrekturterme Berechnung der Bahnpunkte Bahnberechnung mit einem GPS Almanach Satellitenbahn im himmelsfesten System Satellitenbahngeschwindigkeit In der Bibliothek

Aus Ephemeriden oder Almanach-Daten von GNSS-Satelliten (z.B. GPS) werden auf einem vorgegebenen Zeitraster diskrete Bahnpunkte berechnet. Der Berechnung liegt die GPS Interface Specification IS-GPS-200 und das GALILEO Signal in Space Interface Control Document zugrunde.

≡ START Erste Schritte English Geodätische Konstanten

Die Geozentrische Gravitationskonstante GM bezieht sich wie immer in der Geodäsie auf die Gesamtmasse der Erde einschließlich der Atmosphäre.

Zur Zeit der Einführung von GPS war die Geozentrische Gravitationskonstante GM noch nicht so genau bekannt, wie heute. Damals rechnete man mit einem Wert von GM = 3986005·10⁸ m³/s² während heute GM = 3986004.418·10⁸ m³/s² als gesichert gilt und im verankert ist. Dieser neue Wert wird auch für GALILEO benutzt. Damit auch ältere GPS-Empfänger die GPS-Bahnen korrekt berechnen, sind die Broadcast-Ephemeriden von GPS-Satelliten aber weiter auf den alten Wert abgestimmt.

Die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation muss sich auf den Sternhimmel beziehen. Im ist der Wert ω_E = 7.2921151467e-5 rad/s festgelegt und sollte üblicherweise verwendet werden.

≡ START Erste Schritte English Algorithmus zur Bahnberechnung

Der Algorithmus ist im offiziellen Dokument GPS Interface Specification IS-GPS-200 in Tabelle 30 und im offiziellen GALILEO Signal in Space Interface Control Document in Tabelle 58 beschrieben. Die dort verwendeten Symbole und Begriffe unterscheiden sich geringfügig von unseren.

≡ START Erste Schritte English Kepler-Elemente zur Referenzzeit

Mit den folgenden sechs Bahnelementen wird eine ungestörte Kepler-Bahn definiert, das ist eine im Bezug auf den Sternhimmel feststehende räumliche Ellipse und die momentane Position (auch ''Anomalie'') des Satelliten in dieser Ellipse.

a	große Halbachse der Bahnellipse
e	numerische Exzentrizität der Bahnellipse
i	Bahnneigungswinkel
ω	Argument des Perigäums
Ω	Rektaszension des aufsteigenden Knotens
M	mittlere Anomalie

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Größe der Ellipse und die Anomalie zu definieren. Die offizielle GPS-Definition benutzt die Wurzel aus der großen Bahnhalbachse √a und die mittlere Anomalie M. Hierzu werden aber auch Eingabemöglichkeiten für alternative Bahnparameter angeboten:

statt große Halbachse der Bahnellipse	statt mittlere Anomalie
T0 Umlaufdauer	E0 exzentrische Anomalie
n0 mittlere Bewegung	v0 wahre Anomalie

Die Kepler-Elemente beziehen sich auf einen Zeitpunkt t_oe, der in Sekunden nach Beginn der aktuellen GNSS-Woche angegeben wird, nicht jedoch die Rektaszension des aufsteigenden Knotens Ω_o, die sich auf den Beginn derselben GNSS-Woche t=0 bezieht.

≡ START Erste Schritte English Änderungsraten, Korrekturwerte und Korrekturterme

Soll eine ungestörte Kepler-Bahn berechnet werden, benötigt man nur die sechs Kepler-Elemente. Änderungsraten, Korrekturwerte und Korrekturterme dieser Elemente dienen dazu, Satellitenbahnstörungen zu modellieren.

Für mittlere Genauigkeiten, z.B. zur Berechnung von Satellitenauf- und -untergangszeiten, wird mindestens die Rate der Rektaszension dΩ/dt benötigt, sofern die Bahnberechnung nicht zu Wochenbeginn erfolgen soll. Für GPS wird häufig der Referenzwert -2.6 semi-circles/s = -8.168e-9 rad/s verwendet, der näherungsweise die Präzession der Knotenlinie verursacht durch die Erdabplattung für einen GPS-Satelliten angibt. Für GALILEO ist der entspechende Wert -0.02764398°/d = -5.584e-9 rad/s.

Für hohe Genauigkeiten, z.B. zur Berechnung der Empfängerposition aus Beobachtungen, werden auch die anderen Änderungsraten, Korrekturwerte und Korrekturterme benötigt. Diese werden als Broadcast Ephemeriden in der Satellitennachricht oder als präzise Ephemeriden von einem Bahndienst bereit gestellt.

≡ START Erste Schritte English Berechnung der Bahnpunkte

Berechnet werden die Positionen des Satellitenreferenzpunktes im erdfesten kartesischen Rechtssystem zu gewünschten GNSS-Systemzeitpunkten. Diese Zeitpunkte werden durch drei Parameter spezifiziert:

• Startzeit der Bahnberechnung t₁ (=erster Bahnpunkt) in Sekunden bezogen auf den Anfang der aktuellen GNSS-Woche
• Zeitinkrement der Bahnberechnung Δt in Sekunden
• Anzahl zu berechnender Bahnpunkte

Soll nur ein Punkt berechnet werden, können die letzten beiden Parameter entfallen.

Der Beginn einer GNSS-Woche t=0 ist immer Sonntag 0:00:00 Uhr in der GNSS-Systemzeit. Beachten Sie, dass diese Zeit durch Schaltsekunden von der koordinierten Weltzeit UTC abweicht.

Wenn j der Zähl-Index der Punkte ist, werden die Zeitpunkte bezogen auf t_oe als Nullpunkt der Zeitachse nach folgendem Schema generiert:

δt_j = t₁ + (j-1)·Δt − t_oe

Folgende Spaltenformate beeinflussen das Aussehen der :

• Punktname Koordinaten: Die Zeiten ab Wochenbeginn in Sekunden werden als Punktnamen verwendet.
• Punktname Code Koordinaten: Die Punkte werden automatisch benannt. Die Zeiten ab Wochenbeginn in Sekunden werden als Punktcodes verwendet.
• Koordinaten: Die Punkte werden automatisch benannt. Die Zeiten erscheinen nicht.

≡ START Erste Schritte English Bahnberechnung mit einem GPS Almanach

Gegeben ist der folgende GPS-Almanach im YUMA-Format:

******** Week  297 almanac for PRN-02 ********
ID:                         02
Health:                     000
Eccentricity:               0.9529113770E-002
Time of Applicability(s):   589824.0000
Orbital Inclination(rad):   0.9551331376
Rate of Right Ascen(r/s):  -0.8183198006E-008
SQRT(A)  (m 1/2):           5153.635742
Right Ascen at Week(rad):   0.1038484770E+001
Argument of Perigee(rad):   1.827911506
Mean Anom(rad):             0.2496773193E+001
Af0(s):                    -0.2574920654E-004
Af1(s/s):                   0.0000000000E+000
week:                       297

Gesucht ist die Position des Satelliten 02 zu allen vollen Stunden der letzten drei Tage der GPS-Woche 297.

und Rechnen

≡ START Erste Schritte English Satellitenbahn im himmelsfesten System

berechnet diskrete Bahnpunkte normalerweise im erdfesten (rotierenden) rechtshändigen kartesischen Koordinatensystem ECEF. Möchten Sie hingegen die Bahnpunkte im himmelsfesten (quasi-inertialen) System ECSF erhalten, geben Sie einfach bei der Bahnberechnung für die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation ω_E = 0 an. Sie erhalten dann ein System, dessen Achsen zu Wochenbeginn mit dem erdfesten System übereingestimmt haben und himmelsfest gehalten wurden.

≡ START Erste Schritte English Satellitenbahngeschwindigkeit

werden in der Form von von diskreten Bahnpunkten auf einem Zeitraster berechnet. Wenn Sie die Bahngeschwindigkeit erhalten wollen, laden Sie die Koordinatenliste in und berechnen diese als Polylinie. Dann erhalten Sie die räumlichen Abstände aufeinanderfolgender Bahnpunkte als Seitenlängen des Polygons. Haben Sie als Zeitinkrement der Bahnberechnung Δt z.B. 1 Sekunde gewählt, sind die Seitenlängen sofort Geschwindigkeiten in Meter/Sekunde.

Normalerweise erhalten Sie die Geschwindigkeiten im erdfesten (rotierenden) Koordinaten­system ECEF. Möchten Sie diese hingegen im himmelsfesten (quasi-inertialen) System ECSF erhalten, wenden Sie bitte den vorherigen Trick an. Wenn Sie das für das Bahnberechnung mit einem GPS Almanach (Zeitinkrement 1h) machen, erhalten Sie Bahngeschwindigkeiten zwischen 13600 km/h und 14000 km/h.

Schon gewusst? und berechnen auch einen Kreis durch drei Punkte.

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