≡ START Erste Schritte English Anleitung : Universalrechner

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Punktkoordinaten können kartesische oder Gitterkoordinaten sein und werden hier unterschiedslos mit X,Y,Z bezeichnet. Polare Messwerte können sein:

• Orientierungswinkel o
• Horizontalrichtung r
• Richtungswinkel t
• Horizontaldistanz e
• Schrägdistanz s
• Zenitwinkel v
• Höhendifferenz dh
• Instrumentenhöhe ih
• Zielhöhe th

Die Kombination der gegebenen Koordinaten und Messwerte kann völlig beliebig sein. Es wird immer berechnet, was sich mit den vorhandenen Größen berechnen lässt, und zwar vollständig . Auch können alle Messwerte fehlen und nur Stand- und Zielpunktnamen angegeben sein. Es wird dann versucht, Polarwerte aus gegebenen Koordinaten zu berechnen. Polarwerte aus kartesischen Koordinaten berechnen

≡ START Erste Schritte English Ausgleichung, Robuste Schätzung, Vermeidung ungünstiger Schnitte

Wenn verschiedene Rechenwege zu denselben Größen führen, werden alle durchgerechnet und verglichen. Es werden Anzahl, Minimum und Maximum sowie die Quartilabstand (IQR) sowie Spannweite der je Größe erhaltenen Werte berechnet. Sind IQR oder Spannweite gering, sollte der Median als endgültiges Ergebnis in Betracht gezogen werden, andernfalls ist ein grober Fehler in den Startwerten wahrscheinlich. Ausreißererkennung. Bei vielen verschiedenen Werten wird der Median kaum von einzelnen groben Fehlern in den Eingabewerten verfälscht. Es erfolgt keine Ausgleichung im herkömmlichen Sinne nach kleinsten Quadraten, aber die Ergebnisse sind sehr gut kontrollierbar und sogar ausgeglichen im Sinne einer robusten Schätzung.

Manchmal werden mathematisch äquivalente Rechenwege gefunden. Die zugehörigen Ergebnisse sind gleich, werden aber als separate Werte aufgeführt. Das beeinflusst möglicherweise die Berechnung des Medians.

Wenn ausreichend viele verschiedene Rechenwege für eine Größe gefunden wurden, wird untersucht, ob sich IQR oder Spannweite der erhaltenen Werte verringern lassen, indem ungünstige geodätische Schnitte (sogenannte ''schleifende'' Schnitte) oder ungünstige Berechnungen in sehr spitzwinkligen Dreiecken vermieden werden. Ist das der Fall, werden die entsprechenden Werte verworfen. Die Gesamtzahl der verworfenen Werte wird dokumentiert. Im Beispiel Unzugänglicher Punkt mit horizontalen Hilfsdreiecken wurden 1292 von 2590 berechneten Werten wegen ungünstiger Schnittwinkel verworfen.

≡ START Erste Schritte English Zusätzliche Möglichkeiten

Der Systemtyp der Koordinaten der bekannten Punkte muss kartesisches Linkssystem oder Gittersystem sein. An die Distanzen müssen die Instrumentenkorrektionen wie Additions- bzw. Prismenkonstanten angebracht sein, aber nicht der Gittermaßstabsfaktor.

Bei bekannten Punkten müssen immer mindestens beide Lagekoordinaten X,Y oder Nordwert, Ostwert vorhanden sein.

Fehlende Koordinaten und Messwerte gelten immer als unbekannt, also auch fehlende Instrumentenhöhen ih und Zielhöhen th ! Werden z.B. Höhen für Neupunkte benötigt, so müssen Instrumenten- und Zielhöhen vollständig angegeben werden.

Wann immer das möglich ist, werden Startwerte standardmäßig auch aus anderen Startwerten neu berechnet. Das ermöglicht auch hier eine Kontrolle auf grobe Fehler. Möchte man hingegen einzelne Startwerte als fehlerfrei definieren, so kann man die Neuberechnung der Startwerte auch unterdrücken. Das kann man für alle Punktkoordinaten (nur XY oder nur Z oder XYZ), für alle polaren Messgrößen (rtesvo…) oder für alle Startgrößen (XYZrte…) tun. Diese Optionen helfen auch, bei umfangreichen Rechnungen den Überblick zu behalten.

Mit diesem können auch ausgewertet werden. Allerdings werden keine Instrumentenfehler und keine Genauigkeitsmaße berechnet. Deshalb empfehlen wir, das Rechenwerkzeug zu benutzen. Sie können die dort erhaltenen Satzmittel direkt in diesen laden.

≡ START Erste Schritte English Blinde Zielpunkte

Oft berechnet der nur polare Werte zwischen Punkten, zwischen denen gemessen wurde (Stand- und Zielpunkte in einer Aufstellung). Mehr Ergebnisse erhält man manchmal, wenn man bei einzelnen Standpunkten noch blinde Zielpunkte ohne Messwerte hinzufügt. Möchte man z.B. die Horizontaldistanz zwischen zwei bekannten oder berechneten Punkten erhalten, gibt man diese irgendwo als Stand- und Zielpunkte ohne Messwerte an. Von diesem Wert würde auch in weiteren Rechnungen Gebrauch gemacht, wenn er irgendwo nützlich ist. Finden Sie einen solchen Fall im Beispiel Polarwerte aus kartesischen Koordinaten berechnen.

≡ START Erste Schritte English Anzahl von Startwerten, Rechenzeit- und Speicherplatzbegrenzung

Die Gesamtzahl von Startwerten (gegebene Punktkoordinaten und polare Messwerte) ist auf 256 begrenzt. Diese sind wie folgt zu zählen:

• Für die Rechnung nicht verwendbare Startwerte zählen nicht mit.
• Mehrfach gemessene Größen einschließlich Richtungswinkel und Horizontaldistanzen in Gegensichten zählen nur einfach, weil diese vor Beginn der Hauptrechnung gemittelt werden.
• Paare von Lagekoordinaten X,Y oder Nordwert, Ostwert eines verwendeten bekannten Punktes zählen nur einfach.
• Die Ausfallzielhöhe (Ausfallwert für die Zielhöhe) zählt für jeden Punkt, für den sie eingesetzt wird, als ein Startwert.

Die Startwerte werden in zwei Gruppen unterteilt:

• jene die in einer Verarbeitungsmaschine (⇓ nächster Abschnitt) auf mögliche berechenbare Größen und Rechenwege untersucht werden, das dürfen nicht mehr als 126 Werte sein, und
• die übrigen, die erst in einem Nachverarbeitungsschritt benötigt werden.

Die Anzahl der tatsächlich verwendeten Startwerte wird dokumentiert.

Die Gesamtrechenzeit ist auf 90 s und der Gesamtspeicherbedarf ist auf 128 MB begrenzt. Weil eine aufwendige Suche nach allen möglichen Rechenwegen erfolgt, dauert eine vollständige Lösung bei vielen Startwerten manchmal lange. Die Rechenzeit kann auch durch den Nutzer stärker begrenzt werden. Wird bei großen Rechnungen diese Grenze letztlich erreicht, dann werden nicht alle theoretisch möglichen Werte berechnet, aber immer noch so viele, dass ein zuverlässiges Ergebnis im Sinne einer robusten Schätzung erhalten wird. Eine Warnung wird erzeugt. Es ist damit aber nicht gesagt, dass eine längere Rechenzeit tatsächlich auch mehr Ergebnisse produzieren würde.

Wird eine dieser Grenzen überschritten, versuchen Sie, die Aufgabe zu splitten. Die Rechenzeit verringert sich auch erheblich, wenn Sie die Neuberechnung der Startwerte unterdrücken.

≡ START Erste Schritte English Universalrechner findet allein heraus, was er berechnen kann und wie

Nachfolgend skizzieren wir den Universalrechner-Algorithmus. Wenn Sie diese Information nicht benötigen, überspringen Sie diesen Abschnitt einfach.

1. Aus dem Katalog der verfügbaren Rechenregeln (das sind z.Z. alle Winkel- und Dreiecksbeziehungen, alle Geodätischen Schnitte, alle Umwandlungen zwischen kartesischen Koordinaten und Polargrößen) wird eine Liste von Rechenregeln, die prinzipiell zur Berechnung fehlender Größen nützlich sein könnten, zusammengestellt. Aus dieser Liste werden sukzessive alle Regeln gestrichen, die sich nicht anwenden lassen, z.B. weil es keine anwendbare Regel gibt, mit der sich eine fehlende Eingangsgröße berechnen lässt.
2. Nun werden alle Rechenregeln, deren Ergebnisgrößen in keiner weiteren Regel als Eingangsgrößen benötigt werden, sukzessive aus der Verarbeitungsmaschine in einen Nachverarbeitungsschritt ausgelagert.
3. Ausgehend von gegebenen Punktkoordinaten und polaren Messwerten (Startwerten) wird dann versucht, durch fortgesetzte Anwendung der Rechenregeln neue Größen zu berechnen. Im Fall von redundanten Startwerten kann fast jede Größe auf verschiedenen Rechenwegen berechnet werden und so auch verschiedene Werte annehmen. Dabei werden zwei Rechenwege nur dann als verschieden angesehen, wenn für die zwei Mengen von benutzten Startgrößen gilt: Eine Menge ist nicht Teilmenge der anderen und umgekehrt. Auch für Startgrößen werden oft neue Werte erhalten, indem diese aus anderen Startwerten berechnet werden. Es wird versucht, für jede Größe möglichst viele verschiedene Werte zu generieren.
4. Dann werden die Rechenwege zu einem Rechenablauf zusammengestellt und abgearbeitet. Der Rechenablauf wird dokumentiert.
5. Wenn sich für einen Rechenweg eine mehrdeutige Lösung ergibt, z.B. beim Bogenschnitt, wird versucht, durch Vergleich mit anderen Rechenwegen derselben Größe, diese Mehrdeutigkeiten aufzulösen. Ist das dauerhaft nicht möglich, wird parallel mit beiden Lösungen weitergerechnet. Tritt dieser Fall mehrmals hintereinander auf, wie im Ebenes Trilaterationsnetz , so können sich sehr viele Lösungen ergeben. Diese werden alle berechnet und dargestellt, aber nur nacheinander mit der Schaltfläche usw. Eine Warnung weist auf dieses Problem hin.
6. Werden für eine Größe ausreichend viele verschiedene Werte erhalten, wird untersucht, ob sich die Extremwerte aus der Berechnung von ungünstigen geodätischen Schnitten (sogenannte ''schleifende'' Schnitte) oder in sehr spitzwinkligen Dreiecken ergaben. Ist das der Fall, werden diese Werte verworfen, und die Untersuchung wird für den zweitkleinsten oder zweitgrößten Wert fortgesetzt, solange bis keine Werte mehr verworfen werden müssen. In der Dokumentation des Rechenablaufs finden Sie auch die verworfenen Werte.
7. Sollte es vorkommen, dass eine Berechnung zu keinem Ergebnis führt, z.B. weil beim Bogenschnitt kein reeller Schnitt entsteht, wird diese nicht ausgeführt. In der Dokumentation des Rechenablaufs erscheint an dieser Stelle das Ergebnis ∄. Damit kann man sich auf die Suche nach Fehlern in den Eingabedaten machen. Sollte eine Größe ausschließlich solche nicht-reellen Ergebnisse haben, wird eine Warnung erzeugt, und die Größe erscheint nicht in der Tabelle der Ergebnisse.
8. Nun wird der Nachverarbeitungsschritt genauso vollzogen, allerdings entfällt dort die aufwändige Suche nach Rechenwegen.

Wenn eine Berechnung mehrere Lösungen ergab, ist das Aufrufen der momentan nicht dargestellten Lösungen nur sofort nach dem Rechnen möglich. Wenn zwischendurch der Rechenablauf analysiert oder eine Ausreißererkennung gestartet wurde oder die Ergebnistabelle sortiert wurde, verschwinden die Schaltflächen für das Anzeigen dieser Lösungen. Abhilfe schafft eine nochmalige Berechnung.

≡ START Erste Schritte English Tabelle der Ergebnisse

Alle berechneten Größen werden in einer Tabelle dargestellt, sortiert nach Größenarten. Innerhalb der Größenarten wird nach (Stand-)Punktnamen sortiert, oder wahlweise nach Medianen, IQRs oder Spannweiten (kleinste zuerst). Spannweiten werden nur angezeigt, wenn nach ihnen sortiert wird, und ersetzen dann in der Tabelle die IQR-Werte. Bei Lagekoordinaten wird je Punkt immer X und Y zusammenhängend aufgelistet. Bei der Sortierung nach IQRs ist bei X und Y die Summe beider IQRs entscheidend. Dasselbe gilt für Spannweiten, wenn danach sortiert wurde.

Richtungswinkel t und Horizontaldistanzen e werden immer nur in einer Richtung angegeben, und zwar so, dass die beiden Punktnamen lexikographisch sortiert sind. Für die Gegenrichtung ändern Sie t um π = 180° = 200 gon. Höhendifferenzen dh und Schrägdistanzen s in Sicht und Gegensicht könnten differieren, wenn die zugehörigen Instrumenten- und Zielhöhen nicht gleich sind.

Die Spalte Werte zeigt an, wieviele Werte für jede berechnete Größe erhalten wurden. Bei Lagekoordinaten eines Punktes sind die Werte immer gleich und werden nur einmal angegeben. Ggf. verworfene ungünstige Schnitte und ∄-Ergebnisse (keine Zahl) zählen nicht mit. Eine Startgröße, die zusätzlich x mal berechnet wurde, erscheint als 1+x.

≡ START Erste Schritte English Dokumentation des Rechenablaufs

Den Rechenablauf können Sie detailliert nachvollziehen. Wenn Sie das nicht wollen, überspringen Sie diesen Abschnitt. Klicken Sie für eine interessierende Größe auf die Zahl(en) in Spalte Werte um die detaillierte Dokumentation des Rechenablaufs und der Einzelwerte angezeigt zu bekommen.

Zusätzlich zu den in der genannten Symbolen für die Messwerte werden hier folgende Abkürzungen verwendet. Die Tabelle zeigt auch, welche Ergebnisse die Rechenschritte produzieren können.

Angenommen, die Winkeleinheit ist gon . Ein Rechenschritt wird z.B. dokumentiert wie:

t(P1→3)₇ = r(3°2→P1) + o(3°2)₃ ± 200 = 69.965792398379

Das kann wie folgt gelesen werden: Der 7. Wert des Richtungswinkels t von Punkt P1 nach Punkt 3 wird aus der gegebenen Horizontalrichtung r (Index fehlt → Startwert) gemessen in der zweiten Aufstellung auf Standpunkt 3 nach Punkt P1 und dem 3. berechneten Wert des Orientierungswinkels o für die zweite Aufstellung auf Standpunkt 3 berechnet. Das Ergebnis lautet 69.965792398379 in der gewählten Winkeleinheit Gon . Gibt es pro Standpunkt nur eine Aufstellung, entfällt der Aufstellungszähler nach dem Standpunktnamen. Oder z.B.:

XY(2)₉ = VS(XY(1)₅,t(1→2)₂,XY(Q3),t(2→Q3)₄) = ∄

Das kann wie folgt gelesen werden: Die 9. berechneten Werte der Lagekoordinaten XY von Punkt 2 werden mittels Vorwärtsschnitt (VS) aus den 5. Werten der berechneten Koordinaten XY von Punkt 1 , aus dem 2. berechneten Wert des Richtungswinkels t von Punkt 1 nach Punkt 2 , aus den gegebenen Werten der Koordinaten XY (Index fehlt → Startwerte) von Punkt Q3 und aus dem 4. berechneten Wert des Richtungswinkels t von Punkt 2 nach Punkt Q3 berechnet. Das Ergebnis lautet ∄ (keine Zahl), weil aufgrund von groben Fehlern in den Startwerten kein reeller Schnitt der Strahlen entsteht.

In der Dokumentation des Rechenablaufs werden auch die wegen ungünstiger Schnitte verworfenen Werte dargestellt.

≡ START Erste Schritte English Ausreißererkennung

Wenn genügend viele Werte pro berechenbare Größe erhalten wurden, d.h. wenn die Redundanz hoch genug ist, kann versucht werden, Ausreißer in den Startwerten (Koordinaten und Messwerte) zu erkennen. Unter der Ergebnistabelle erscheint dann die Schaltfläche Ausreißererkennung . Wenn Sie diese klicken, werden die Ergebnisse auf Ausreißer untersucht.

Diese Ausreißererkennung zeigt, was passieren würde, wenn ein Startwert eliminiert und die Berechnung wiederholt würde. Dadurch würden weniger Ergebnisse erhalten, die verbleibenden wären aber unverändert. Dadurch verringerten sich oft für einige Ergebnisgrößen die IQRs und Spannweiten. Einen Ausreißer erkennt man an einer drastischen Verringerung dieser Werte. Beachten Sie, dass zur Ausreißererkennung die Spannweiten vor der Vermeidung ungünstiger Schnitte herangezogen werden.

Die Ausreißererkennung erzeugt eine nach den einzelnen Spalten sortierbare Tabelle mit folgenden Informationen je Startwert:

Falls in der Tabelle Startgrößen fehlen, können diese wegen zu geringer Redundanz nicht auf Ausreißer untersucht werden. Ist die Gesamtredundanz gering, scheitert die Ausreißersuche manchmal. Eine Fehlermeldung wird erzeugt.

Nun kann ein zu eliminierender Startwert selektiert werden (1. Spalte der Ausreißertabelle). Ein Kandidat ist schon vorselektiert. Ein Klick auf die Schaltfläche stellt die Ergebnisse neu dar, die verbleiben, nachdem der selektierte Startwert eliminiert wurde. (Die eigentliche Berechnung wird nicht wiederholt.) Der eliminierte Startwert erscheint zwar weiterhin in der Liste der bekannten Punkt oder der Eingabe-Messwerte, wird aber nun nicht mehr benutzt. Falls die Redundanz immer noch ausreicht, kann erneut eine Ausreißererkennung verlangt werden, usw.

Eine Anwendung der Ausreißererkennung finden Sie im Beispiel Trigonometrischer Höhenzug.

≡ START Erste Schritte English Polarwerte aus kartesischen Koordinaten berechnen

Die Punkte eines Fußballfeldstrafraums 1,2,3,4,5,6 sollen mit einem Tachymeter, welches über den Eckpunkten A,B des Feldes aufgebaut wird, abgesteckt werden. Die Instrumentenhöhen sind 1.42 m über A und 1.55 m über B. Über den Zielpunkten wird ein Absteckreflektor der Höhe 0.15 m aufgehalten. Gesucht sind die abzusteckenden Polarwerte: Richtungswinkel t, Schrägdistanzen s und Zenitwinkel v der sechs abzusteckenden Punkte.

Zunächst definieren wir ein Koordinatensystem, am besten ein kartesisches Linkssystem YXZ und bestimmen die kartesischen Koordinaten aller Punkte A,B,1,...,6 in diesem System in Meter. Wie man aus der Abbildung abliest, hat der Punkt 6 beispielsweise die X-Koordinate 75.00/2-7.32/2-5.50-11.00=17.34 und die Y-Koordinate 5.50+11.00=16.50. Als Höhen verwenden wir generell 0.00. Nun legen wir die an.

Die besteht aus zwei Standpunkten A und B. Die Standpunktzeilen müssen die Instrumentenhöhen 1.42 und 1.55 enthalten. Weil alle Zielpunkte dieselben Zielhöhen 0.15 haben, können wir diese als Ausfallzielhöhe (Ausfallwert für die Zielhöhe) in der Standpunktzeile notieren und in den Zielpunktzeilen weglassen. Die Zielpunktzeilen enthalten dann nur noch die Namen der Zielpunkte. Das für die leeren Spalten gewählte Format ist bedeutungslos, kann z.B. ''Code/nicht benutzt'' sein.

A 0 0 0 B 0 75 0 1 5.50 46.66 0 2 5.50 28.34 0 3 11.00 37.50 0 4 16.50 57.66 0 5 20.15 37.50 0 6 16.50 17.34 0

Systemtyp: Y X Z linkshändig
Spaltenformat: Punktname Koordinaten

A 1.42 0.15 1 2 // Dieses Beispiel 3 // zeigt die Wir- 4 // kung von blinden 5 // Zielpunkten. 6 ~~~~~~~ Trennzeile ~~~~~~~~~~~ B 1.55 0.15 1 2 3 4 5 6

Format Standpunktzeile: Punktname, Instrumenten­höhe, Ausfallzielhöhe
Format Zielpunktzeile: Punktname

und Rechnen

Die Verarbeitungsmaschine sucht nach berechenbaren Größen und findet Höhendifferenzen dh , Horizontaldistanzen e, Schrägdistanzen s , Richtungswinkel t und Zenitwinkel v , allerdings nur für die gemessenen Visuren. Zwischen den Zielpunkten untereinander wird nichts berechnet. Wird z.B. die Distanz zwischen 1 und 3 gewünscht, müsste ein weiterer Standpunkt 1 mit Zielpunkt 3 ( blinder Zielpunkt ) notiert werden, oder umgekehrt.

Außerdem erhalten wir die Richtungswinkel hier nur vom Zielpunkt zum Standpunkt. Das liegt daran, dass Richtungswinkel und Horizontaldistanzen immer so angegeben werden, dass die beiden Punktnamen lexikographisch geordnet sind. Ziffern kommen hierbei vor Buchstaben. Man muss also den Richtungswinkel um 200 gon ändern. Um trotzdem die Richtungswinkel in Zielrichtung ausgegeben zu bekommen, könnte man die Punkte umbenennen, z.B. von 1 in P1 usw. Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Ausgabe von Richtungen zu erzwingen. Diese werden immer vom Standpunkt zum Zielpunkt erhalten. Hierzu muss jeder Standpunkt nur noch um den Orientierungswinkel 0 erweitert werden.

Schließlich erhalten wir nach sinnvoller Rundung folgende polaren Absteckwerte in Meter und Gon:

Falls gewünscht, können auch andere Absteckwerte der Ergebnistabelle entnommen werden, z.B. e oder dh.

≡ START Erste Schritte English Unzugänglicher Punkt mit horizontalen Hilfsdreiecken

Ein unzugänglicher Punkt 1121 wurde von drei Tachymeterstandpunkten 515,632,P gemessen. Die Höhe des Punktes 515 beträgt 107.483 m, die Instrumentenhöhe ist hier 1.54 m. Die Höhe des Punktes 632 beträgt 107.832 m, die Instrumentenhöhe ist hier 1.39 m. Die Höhe des Hilfspunktes P ist unbekannt, die Instrumentenhöhe kann hier auf einen beliebigen Wert gesetzt werden, sagen wir 0.00 m. Die Zielhöhen sind jeweils gleich den Instrumentenhöhen auf demselben Punkt, weil zueinander passende Instrumente und Reflektoren verwendet wurden. Der Punkt 1121 wurde direkt angezielt ohne Distanzmessung, so dass die zugehörige Zielhöhe 0.00 m beträgt. Die Höhe des Punktes 1121 kann in beiden Hilfsdreiecken 515,632,1121 und P,632,1121 berechnet werden. Die Messwerte sind:

Da reine Höhenfestpunkte nicht unterstützt werden, muss ein lokales Koordinatensystem angelegt werden, am besten ein kartesisches Linkssystem XYZ. Zunächst benötigen wir die Horizontaldistanz 515→632. Dazu kann eine einfache Rechnung wie im vorigen Beispiel mit dem angestellt werden. Das Ergebnis ist 952.233, genau wie die Schrägdistanz von 515→632, weil beide Punkte fast dieselbe Höhe haben. Wir definieren X₅₁₅=1000, Y₅₁₅=1000, X₆₃₂=1000, Y₆₃₂=1952.233. Damit verläuft die definierte Y-Achse parallel zur Projektion von 515→632 in die Horizontalebene. Nun legen wir die und die an. Für die nicht gemessenen Distanzen zum unzugänglichen Punkt 1121 wurde 0 notiert. Denselben Effekt hätte ein negativer oder nicht-numerischer Wert. Eine alternative Notation eines nicht gemessenen Wertes kann mit der '';;''-Methode erfolgen, siehe Tabellarische Datensätze.

Im Ergebnis werden 49 Größen mit insgesamt 2590 verschiedenen Werten erhalten. Davon werden 1292 Werte wegen ungünstiger Schnittwinkel verworfen. Für die Höhe Z des unzugänglichen Punktes 1121 werden nicht weniger als 52 verschiedene Lösungen berechnet. Der IQR-Wert wird mit 7 mm erhalten, was plausibel ist, der Median beträgt 2201,111 m.

Folgendes sollten Sie beachten:

• Insgesamt wurden für die Höhe Z von 1121 sogar 84 verschiedene Lösungen berechnet, von denen 32 allerdings zur Vermeidung ungünstiger Schnitte verworfen wurden. Wenn man auf die 52 in der Spalte ''Werte'' klickt, sieht man alle 84 Werte, einschließlich Rechenablauf und Zwischenwerte. Der kleinste und der größte Wert unterscheiden sich um nicht weniger als 14 mm (Spannweite).
• Die Instrumenten- und Zielhöhe von P, obwohl beliebig wählbar, sollte nicht weggelassen werden. Sonst kann vom Rechenalgorithmus nicht mehr angenommen werden, dass diese beiden Werte gleich sind. Es würden dann nur noch 30 verschiedene Lösungen für die Höhe Z des unzugänglichen Punktes 1121 berechnet, von denen 12 verworfen werden. Der Median änderte sich allerdings nur geringfügig.

Dasselbe Beispiel wird auch für Höhennetze benutzt und kann damit bearbeitet werden. Die Ergebnisse sind allerdings nicht völlig identisch, weil eine Ausgleichung nach kleinsten Quadraten durchführt, wobei auch die Standardabweichung von 1.4 mm erhalten wird.
Die Abweichung in der endgültigen Höhe des unzugänglichen Punktes 1121 beträgt nur 0.43 mm.

≡ START Erste Schritte English Ebenes Trilaterationsnetz

Dieses Beispiel zeigt, wie der mit mehrdeutigen Lösungen umgeht. Im abgebildeten Trilaterationsnetz wurden sechs Horizontaldistanzen gemessen. A und B sind bekannte Punkte. Es gibt genau 2 Lösungen für die Neupunkte 1 und 2 (Spiegelung an der Achse AB) und genau 4 Lösungen für den Neupunkt 3 (zusätzliche Spiegelung an der Achse 2B). Zunächst wird nur eine Lösung berechnet und angezeigt, wobei eine Warnung erfolgt, dass es noch 3 zusätzliche Lösungen gibt. Mit Hilfe der Schaltfläche
kann man nun schrittweise auch die anderen Lösungen darstellen lassen.

Beachten Sie, dass schleifende Bogenschnitte (BS) berechnet wurden. In dem Beispiel greift die Vermeidung ungünstiger Schnitte nicht, weil keine Redundanz vorhanden ist und somit diese Berechnung unvermeidbar ist. Man könnte jedoch die Schnittwinkel aus dem Rechenablauf ermitteln und die unerwünschten Lösungen händisch entfernen.

Fügen Sie der Koordinatenliste eine beliebige Lösung für Punkt 3 hinzu und wiederholen Sie die Rechnung. Überzeugen Sie sich, dass jetzt nur noch eine Lösung für 1 und 2 erhalten wird. Allerdings gibt es jetzt formal eine Redundanz.

≡ START Erste Schritte English Trigonometrischer Höhenzug

Punktnamen und Koordinaten A 0 0 116.10 // Nullen sind E 0 0 141.38 // Platzhalter

Systemtyp: jeder hier mögliche
Spaltenformat: Punktname Koordinaten

Punktnamen und Messwerte 1 0.00 A 105.545 55.454 1.40 2 95.112 71.689 1.40 ~~~~ 3 0.00 2 103.230 49.528 1.40 4 92.751 65.666 0.005 ~~~~ 4 0.00 3 107.239 65.666 0.005 5 96.345 78.300 0.005 ~~~~ 5 0.00 4 103.645 78.300 0.005 E 99.300 45.650 1.40

Format Standpunktzeile: Punktname, Instrumentenhöhe
Format Zielpunktzeile: Punktname, Zenitwinkel, Schrägdistanz, Zielhöhe

Höhe 1: original, Höhe 2: mit eingebautem grobem Fehler

	Höhe 1	Höhe 2	Diff.
A	116.100	116.098	0.002
1	122.324	122.322	0.002
2	126.423	126.421	0.002
3	130.335	130.333	0.002
4	137.791	137.792	0.001
5	142.278	142.280	0.002
E	141.380	141.382	0.002

Dieses Beispiel zeigt, wie man auch reine Höhenmessungen auswerten kann, z.B. einen trigonometrischen Höhenzug oder ein trigonometrisches Höhennetz. In der aktuellen Version des Universalrechners werden keine Punkte ohne Lagekoordinaten unterstützt. Solange jedoch diese Koordinaten nicht für irgendeine Rechnung herangezogen werden können, ist es völlig egal, was Sie den Punkten für Lagekoordinaten zuweisen. Benutzen Sie also Näherungskoordinaten oder einfach 0 0, siehe rechts.

Betrachten wir den abgebildeten Höhenzug mit einem Sprungstand in Punkt 2, d.h. dort befand sich kein Instrumentenstandpunkt und auf Punkt 1 demnach kein Reflektorzielpunkt. Auf den Punkten 3,4,5 befand sich nacheinander der Stand- und der Zielpunkt. Höhen sind für den Anschlusspunkt A mit H=116.10 und für den Abschlusspunkt E mit H=123.06 gegeben. Der Reflektor auf A, 2 und E hat jeweils die Zielhöhe th=1.40 . Die Punkte 1,3,4,5 sind unvermarkt, so dass wir die Höhen jeweils auf die Kippachse des Instruments beziehen: ih=0.00 . Allerdings ist der Reflektorpunkt jeweils 0.005 höher als die Kippachse, so dass auf den Punkten 3,4,5 noch eine Zielhöhe von th=0.005 vorzusehen ist. Die erhaltenen Messwerte entnimmt man der Messwertliste rechts.

und Rechnen

Die Ergebnisse in Form der Mediane sind in der Spalte Höhe 1 der Tabelle rechts angegeben. Die IQRs der Höhen betragen maximal 0.0021 und entsprechen den Erwartungen. (Beachten Sie, dass der IQR nicht mit der Standardabweichung zu verwechseln ist.)

Möchten Sie den klassischen Zugwiderspruch angezeigt bekommen, löschen Sie einfach entweder A oder E aus der Koordinatenliste und berechnen den Zug neu. Im ersten Fall ist das Ergebnis Z(E)=141.3795, was einem Zugwiderspruch von 0.0005 entspricht.

Dasselbe Beispiel wird auch für Höhennetze benutzt und kann damit bearbeitet werden. Die Ergebnisse sind allerdings nicht völlig identisch, weil eine Ausgleichung nach kleinsten Quadraten durchführt.
Die Abweichungen in den endgültigen Höhen betragen bis zu 0.0004.

Nun betrachten wir, was passiert, wenn man einen groben Fehler einbaut. Wir verfälschen den Zenitwinkel 107.239 um 1 gon auf 108.239 und wiederholen die Berechnung.

Die Ergebnisse in Form der Mediane sind in der Spalte Höhe 2 der Tabelle rechts angegeben. Der IQR-Wert der Höhen beträgt maximal 1.026 und zeigt ein Problem an. Allerdings ändern sich die Mediane fast gar nicht, nämlich nur um maximal 0.001! Vgl. Spalte Diff. rechts. Das zeigt deutlich, wie gut die robuste Schätzung arbeitet. Der Grund ist, dass jeweils weniger als die Hälfte der Ergebnisse den verfälschten Wert benutzen. (Das muss aber nicht immer so sein!)

Schließlich probieren wir aus, wie die Ausreißererkennung arbeitet. Dem verfälschten Messwert wird die Ausreißerwahrscheinlichkeit sehr hoch zugewiesen. Alle 37 (100%) berechnete Größen werden nach der Eliminierung noch berechenbar sein, aber nur mit 39% ihrer Werte. Z.B. werden für die Neupunkthöhen jetzt nur noch je 5 Werte erhalten, vorher waren es bis zu 17. Eliminieren Sie nun den verfälschten Startwert. Alle IQRs und Spannweiten verringern sich durch die Eliminierung, maximal um 99%. Die IQRs der Neupunkthöhen verringern sich von 1.026 auf 0.0006. Ihre Mediane sind nun wieder identisch mit den Werten vor der Verfälschung.

≡ START Erste Schritte English Berechnung des Orthozentrums eines Dreiecks

Punktnamen und Koordinaten A 14.02 17.11 // Eckpunkt- B 23.06 18.18 // koordinaten C 16.10 24.03

Systemtyp: YXZ linkshändig
Spaltenformat: Punktname Koordinaten

Punktnamen und Messwerte P // Höhenfußpunkt auf AB A 0 C 100 H 100 // Orthozentrum B 200 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Q // Höhenfußpunkt auf BC B 0 A 100 H 100 // Orthozentrum C 200 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ // DIESE BERECHNUNG WEIST // EINE REDUNDANZ AUF. R // Höhenfußpunkt auf AC C 0 B 100 H 100 // Orthozentrum A 200 // Winkeleinheit = Gon

Format Standpunktzeile: nur Punktname
Format Zielpunktzeile: Punktname, Horizontalrichtung in Gon

Aus gegebenen Eckpunktkoordinaten eines Dreiecks ABC sollen die Koordinaten des Orthozentrums H (Schnittpunkt der Höhen) berechnet werden. Die Lösung ist mit einem einzigen Rechengang im möglich.

Die Koordinatenliste besteht aus den gegebenen Eckpunktkoordinaten, siehe rechts. Wir simulieren Richtungsmessungen von den Höhenfußpunkten P,Q,R zu allen Eckpunkten A,B,C und zum Orthozentrum H. Die gemessenen Richtungen unterscheiden sich jeweils um 100 gon oder 200 gon. Eine Richtung je Standpunkt kann beliebig festgelegt werden, hier 0 gon zum rückwärtigen Eckpunkt. (Achtung: Für stumpfwinklige Dreiecke müssen die Richtungen angepasst werden.)

und Rechnen

Im Ergebnis der Berechnung werden ebene Koordinaten für alle Punkt P,Q,R,H erhalten. Die Berechnung ist sogar mehrfach möglich, weil ein Standpunkt in der Messwertliste redundant ist. (Überzeugen Sie sich, indem Sie einen beliebigen Standpunkt mit dazugehörigen Zielpunkten löschen und die Berechnung wiederholen.) Die einzelnen Ergebnisse jeder Größe stimmen aber überein, ablesbar an den IQRs oder Spannweiten, denn alle Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, was hiermit für den Fall dieses Dreiecks gezeigt wäre.

Durch Klick auf die 3 in der Spalte Werte können Sie den Rechenablauf nachvollziehen. H wird durch Vorwärtsschnitte (VS) berechnet:

XY(H)₁ = VS(XY(P)₁,t(H→P)1,XY(Q)₁,t(H→Q)₁)
XY(H)₂ = VS(XY(P)₁,t(H→P)1,XY(R)₁,t(H→R)₁)
XY(H)₃ = VS(XY(Q)₁,t(H→Q)1,XY(R)₁,t(H→R)₁)

Die Höhenteilstücke entnimmt man der Ergebnistabelle und berechnet daraus die Produkte:

Die Gleichheit der Produkte in der letzten Spalte folgt aus einer bekannten Gesetzmäßigkeit der Geometrie, die hier als zusätzliche Probe dient.

Laden Sie das Dreieck ABC in und berechnen Sie außerdem den Flächenschwerpunkt M₂ und den Umkreismittelpunkt M₃ . Überprüfen Sie dann die bekannte Tatsache, dass M₂, M₃ und H kollinear sind, nämlich auf der sogenannten Euler-Geraden . Tipp: Das Dreieck M₂M₃H sollte verschwindenden Flächeninhalt haben.