Die Tutorien erläutern die Funktion von IN DUBIO PRO GEO anhand von Praxisbeispielen. Die Lösungen zu den Aufgaben sind mittels vorausgefüllter Formulare nachvollziehbar. In den Auswahlfeldern stehen nicht alle Optionen zur Verfügung. Die Formulare lassen sich mit der Schaltfläche absenden und so die Ergebnisse betrachten. Um das zu ersparen, sind die Ergebnisse im Tutorium auszugsweise dargestellt. Die wesentlichen Zwischen- und Endergebnisse sind durch goldfarbene Boxen hervorgehoben. Die Lösungen sind in weiteren goldfarbenen Boxen kommentiert. Ihre eigene Ausgabe unterscheidet sich möglicherweise in der Darstellung etwas, abhängig von Ihren .

≡ START Anleitung English Aufgabe

In einem Dreieck sollen die folgenden Messwerte ausgeglichen werden:

	α = 34.1765 gon   a = 206.740 m
	β = 75.0560 gon   b = 373.618 m
	γ = 90.7648 gon   c = 400.010 m

Die a priori Standardabweichungen aller Richtungen betragen 1 mgon, die der Distanz a beträgt 2.5 mm und die der beiden anderen Distanzen je 1 mm. Alle Messwerte gelten als unkorreliert.

Die Messungen sollen ausgeglichen und der ausgeglichene Flächeninhalt des Dreiecks mit zugehöriger Standardabweichung bestimmt werden.

≡ START Anleitung English Aufstellung des Ausgleichungsmodells

Gemessen wurden Richtungen, aber man kann genauso mit den Winkeln als Beobachtungen arbeiten, da diese ebenso wie die Richtungen unkorrelierte Größen sind. Die Standardabweichung der Winkel ergibt sich durch einfache bei der Differenzbildung zu 1 mgon·√2=1.4 mgon. Es liegen somit n=6 Beobachtungen α,β,γ,a,b,c vor.

Als Ausgleichungsparameter wählen wir Seite c und die beiden Winkel α,β. Die Näherungsparameter für die Linearisierung wählen wir identisch mit den entsprechenden Beobachtungen:

α⁰=34.1765 gon, β⁰=75.0560 gon, c⁰=400,010

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

Aus drei (fast) beliebigen gegebenen Größen eines ebenen Dreiecks werden alle übrigen Größen berechnet, wahlweise einschließlich einer . Wenn zwei Lösungen existieren, werden beide berechnet.

Winkeleinheit: Notiz

Größe	Wert

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

Wir berechnen das Näherungsdreieck und gewinnen daraus die gekürzten Beobachtungen: für α,β,c jeweils Null und
90.7648 - 90.767500 = -0.00270
206.740 - 206.74576 = -0.00576
373.618 - 373.61762 = 0.00038

Mit einem Trick erleichtern wir uns das Bilden der partiellen Ableitungen in der Matrix A: Wir nutzen die Funktion von , um diese Ableitungen durch Differenzenquotienten zu approximieren. Eine Änderung von α um 0.1 gon bewirkt die unter Max stehenden Änderungen in den anderen Dreiecksgrößen, woraus sich die Ableitungen und damit die erste Spalte der A-Matrix ergeben, z.B.:

∂ a
∂ α

≈

Δa
Δα

0.5932
0.1000

=5.932

Leider liefert diese Funktion nicht das Vorzeichen der Ableitung, so dass man es sich selbst überlegen muss: Ein vergrößerter Winkel α würde die Seite a verlängern, also ist die Ableitung positiv.

Berechnung	Wert	Max
`α=START`	34.176500	0.1000
`β=START`	75.056000	0
`c=START`	400.01000	0
`F=c²/(cot(α)+cot(β))/2`	38216.496	109.66
`γ=π-α-β`	90.767500	0.1000
`h_c=2·F/c`	191.07770	0.5483
`p_a=c·cos(β)`	152.75206	0
`q_b=c·cos(α)`	343.73956	0.3218
`R=c/sin(γ)/2`	202.12683	0.0466
`a=sqrt(2·F·(cot(β)+cot(γ)))`	206.74576	0.5932
`b=sqrt(a²+c²-2·a·c·cos(β))`	373.61762	0.0862
`h_a=sqrt(c²-p_a²)`	369.69556	0
`h_b=sqrt(c²-q_b²)`	204.57544	0.5397
`p_b=b-q_b`	29.878061	0.4080
`p_c=b·cos(α)`	321.05987	0.2265
`q_a=a-p_a`	53.993706	0.5932
`q_c=c-p_c`	78.950128	0.2265
`u=a+b+c`	980.37339	0.6794
`r=2·F/u`	77.963144	0.1696

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

Aus drei (fast) beliebigen gegebenen Größen eines ebenen Dreiecks werden alle übrigen Größen berechnet, wahlweise einschließlich einer . Wenn zwei Lösungen existieren, werden beide berechnet.

Winkeleinheit: Notiz:

Größe	Wert

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

Wir wiederholen die Berechnung mit dem zweiten Parameter β, dem ebenfalls eine kleine Abweichung 0.1 gon zugeordnet wird. Hier erhält man z.B.

∂ a
∂ β

≈

Δa
Δβ

0.0477
0.1000

=0.477

Wieder liefert diese Funktion nicht das Vorzeichen der Ableitung, so dass man es sich selbst überlegen muss. Dieses Mal ist die Überlegung schwieriger, deshalb wurde der Fall in der Abbildung oben dargestellt. Entscheidend ist, dass der Winkel γ ein spitzer Winkel ist. Ein vergrößerter Winkel β würde die Seite a verlängern, also ist die Ableitung positiv (Abbildung).

Berechnung	Wert	Max
`α=START`	34.176500	0
`β=START`	75.056000	0.1000
`c=START`	400.01000	0
`F=c²/(cot(α)+cot(β))/2`	38216.496	33.579
`γ=π-α-β`	90.767500	0.1000
`h_c=2·F/c`	191.07770	0.1679
`p_a=c·cos(β)`	152.75206	0.5809
`q_b=c·cos(α)`	343.73956	0
`R=c/sin(γ)/2`	202.12683	0.0466
`a=sqrt(2·F·(cot(β)+cot(γ)))`	206.74576	0.0477
`b=sqrt(a²+c²-2·a·c·cos(β))`	373.61762	0.3283
`h_a=sqrt(c²-p_a²)`	369.69556	0.2395
`h_b=sqrt(c²-q_b²)`	204.57544	0
...	...	...

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

Aus drei (fast) beliebigen gegebenen Größen eines ebenen Dreiecks werden alle übrigen Größen berechnet, wahlweise einschließlich einer . Wenn zwei Lösungen existieren, werden beide berechnet.

Winkeleinheit: Notiz:

Größe	Wert

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

Wir wiederholen die Berechnung mit dem dritten Parameter c, dem ebenfalls eine kleine Abweichung zugeordnet wird, hier nehmen wir 1m. Die Abweichung darf nicht zu klein gewählt werden, damit genug Ziffern für die Ableitung erhalten werden, aber auch nicht zu groß, damit die Näherung durch den Differenzenquotienten nicht zu schlecht ist. Hier erhält man z.B.

∂ a
∂c

≈

Δa
Δc

0.5169
1.0000

=0.5169

Wenn allein der Parameter c vergrößert wird, ist klar, dass alle Winkel gleich bleiben, und alle Distanzen länger werden, also ist die Ableitung positiv.

Berechnung	Wert	Max
`α=START`	34.176500	0
`β=START`	75.056000	0
`c=START`	400.01000	1.0000
`F=c²/(cot(α)+cot(β))/2`	38216.496	191.32
`γ=π-α-β`	90.767500	0
`h_c=2·F/c`	191.07770	0.4777
`p_a=c·cos(β)`	152.75206	0.3819
`q_b=c·cos(α)`	343.73956	0.8593
`R=c/sin(γ)/2`	202.12683	0.5053
`a=sqrt(2·F·(cot(β)+cot(γ)))`	206.74576	0.5169
`b=sqrt(a²+c²-2·a·c·cos(β))`	373.61762	0.9340
`h_a=sqrt(c²-p_a²)`	369.69556	0.9242
`h_b=sqrt(c²-q_b²)`	204.57544	0.5114
...	...	...

≡ START Anleitung English Lösung der Ausgleichungsaufgabe

Schließlich fassen wir die gekürzten Beobachtungen in einem Vektor l und die Ableitungen in einer Matrix A und einer Matrix F zusammen:

0.00000

-0.00270

-0.00576

0.00038

0.00000

1.000	0.000	0.0000
0.000	1.000	0.0000
-1.000	-1.000	0.0000
5.932	0.477	0.5169
0.862	3.283	0.9340
0.000	0.000	1.0000

1096.6

335.79

191.32

IN DUBIO PRO GEO Ausgleichung : Vermittelnde Ausgleichung

Das allgemeine vermittelnde Ausgleichungsproblem wird nach der Methode der kleinsten Quadrate gelöst, optional mit Bedingungsgleichungen für Parameter und Funktionen ausgeglichener Größen.

Notiz

Wahrscheinlichkeit für Entscheidungsfehler erster Art

Funktionales und stochastisches Ausgleichungsmodell

Löse l+v=Ax nach der Methode der kleinsten Quadrate:v^TPv→min.

l ist der bekannte n-Vektor der (gekürzten) Beobachtungen (Absolutgliedvektor)
A ist die bekannte n×u-Designmatrix des Ausgleichungsmodells
P ist die bekannte n×n-Gewichtsmatrix der Beobachtungen (hier diagonal)
x ist der unbekannte u-Vektor der (gekürzten) Parameter
v ist der unbekannte n-Vektor der Verbesserungen (Residuen)


beinhaltet die Ableitungen der vermittelnden Funktionen	`n` oder 1 oder 0 Werte
1.000 0.000 0.0000 0.000 1.000 0.0000 -1.000 -1.000 0.0000 5.932 0.477 0.5169 0.862 3.283 0.9340 0.000 0.000 1.0000	0.0014 0.0014 0.0014 0.0025 0.001 0.001 // Einheiten Gon // und Meter

`n` (gekürzte) Beobachtungen `l`	`n` Namen der Beobach- tungen, optional	`u` Namen der Parameter, optional
0.00000 0.00000 -0.00270 -0.00576 0.00038 0.00000 // Einheiten Gon // und Meter	α β γ a b c	α β c

Mehrere oder alle Beobachtungen, Gewichte, Standardabweichungen und Namen können in einer Zeile notiert werden, nur die Reihenfolge und Anzahl muss zur Matrix A passen.

Bedingungsgleichungen für Parameter

Optional können hier m (gekürzte) Bedingungsgleichungen B^T x=b angegeben werden, die die wahren Parameter x erfüllen.

	`m`-Vektor b
// nicht benötigt	// nicht benötigt

Funktionen ausgeglichener Größen

Optional können hier k linear(isiert)e Funktionen ausgeglichener Parameter f=F x oder ausgeglichener Beobachtungen f=F l angegeben werden, deren Werte und Standardabweichungen berechnet werden sollen.

	`k` Namen der Funktionen
1096.6 335.79 191.32	Flächeninhalt

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ausgleichung : Vermittelnde Ausgleichung

6 (gekürzte) Beobachtungen `l` und Gewichte `p`

Name	`l`	`p`
α	0	5.1e+5
β	0	5.1e+5
γ	-0.0027	5.1e+5
a	-0.00576	1.6e+5
b	0.00038	1.0e+6
c	0	1.0e+6

Standardabweichungen der Gewichtseinheit, Globaltest und Informationskriterien

A priori und a posteriori Genauigkeit stimmen im Rahmen der üblichen Entscheidungs-fehlerwahr-scheinlich-keiten überein.

Gesamtredundanz	r	6 − 3 = 3
a priori Standardabweichungen der Gewichtseinheit	σ_o	1.0000
a posteriori Standardabweichungen der Gewichtseinheit	σ_o	1.3336
Wahrscheinlichkeit für Entscheidungsfehler erster Art	α	0.01
Teststatistik	r·σ_o²/σ_o²	5.3352
Kritische Werte (zweiseitiger Test )	χ^-2(0.5±(0.5-α/2),r)	0.0717 ; 12.838
Die Nullhypothese des Globaltests wird		angenommen
Akaike Informationskriterium	AIC	-56.679
Akaike Informationskriterium, korrigierte Version	AICc	-44.679
Bayessches Informationskriterium	BIC	-57.304

3 ausgeglichene (gekürzte) Parameter `x` und Standardabweichungen

Die ausgeglichenen Größen lauten
α= 34.1765 gon - 0.0007 gon
  = 34.1758 gon
β = 75.0560 gon + 0.0005 gon
  = 75.0565 gon
γ= 90.7648 gon + 0.0029 gon
  = 90.7677 gon
a= 206.740 m +0.0016 m =206.7416 m
b= 373.618 m +0.0003 m =373.6183 m
c= 400.010 m -0.0004 m =400.0096 m

Name	`x`	`σ_x`	`σ_x`
α	-7.00857e-4	4.1e-4	5.4e-4
β	5.24849e-4	4.0e-4	5.3e-4
c	-4.40398e-4	9.6e-4	0.0013

6 ausgeglichene (gekürzte) Beobachtungen `l` und Standardabweichungen

a priori Standardabweichungen σ_l, a posteriori Standardabweichungen σ_l, Verbesserungen v, normierte und studentisierte Verbesserungen NV, SV, Redundanzanteile r und Individualtest

Name	`l`	`σ_l`	`σ_l`	`v`	`NV`	`SV`	`r`
α	-7.00857e-4	4.1e-4	5.4e-4	-7.0e-4	0.5230	0.3922	0.9163
β	5.24849e-4	4.0e-4	5.3e-4	5.2e-4	0.3909	0.2931	0.9198
γ	1.76009e-4	4.9e-4	6.5e-4	0.0029	2.1927	1.6443	0.8777
a	-0.00413477	0.0023	0.0031	0.0016	1.8019	1.3512	0.1302
b	7.07607e-4	9.6e-4	0.0013	3.3e-4	1.1784	0.8836	0.0773
c	-4.40398e-4	9.6e-4	0.0013	-4.4e-4	1.5694	1.1769	0.0787

					max= 2.1927	max= 1.6443	min= 0.0773
Individualtest: Kritischer Wert					2.9352	1.9604	(`α`=0.01)
Die Nullhypothese wird					angenommen	angenommen

1 (gekürzte) Funktionen ausgeglichener Parameter und Standardabweichungen

Der ausgeglichene Flächeninhalt lautet
F=38216.50m²-0.68m²=38215.82m².
Die zugehörige Standardabweichung beträgt a priori 0.41m² und a posteriori 0.55m².

Name	`f`	`σ_f`	`σ_f`
Flächeninhalt	-0.67657811	0.4131	0.5509

≡ START Anleitung English Auswertung und Schlussprobe

Es werden keine groben Fehler ausgewiesen. Allerdings ist die Redundanz der Distanzen schlecht, der Redundanzanteil beträgt teilweise weniger als 0.1=10%. Das bedeutet, dass die Distanzen fast unkontrollierbar sind. Grobe Fehler würden hier gar nicht auffallen! Man sieht auch, dass die a priori Genauigkeiten der ausgeglichenen Distanzen kaum höher ist, als die a priori Genauigkeiten der beobachteten. Bei den Winkeln ist das besser. Diese kontrollieren sich, aber nur untereinander.

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

Aus drei (fast) beliebigen gegebenen Größen eines ebenen Dreiecks werden alle übrigen Größen berechnet, wahlweise einschließlich einer . Wenn zwei Lösungen existieren, werden beide berechnet.

Winkeleinheit: Notiz:

Größe	Wert

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

Die Schlussprobe besteht darin, die ausgeglichenen Beobachtungen aus ausgeglichenen Parametern zu berechnen. Dazu benutzen wir wieder die Berechnung . Die Ergebnisse stimmen mit den aus Verbesserungen berechneten ausgeglichenen Beobachtungen überein. Auch der ausgeglichene Flächeninhalt ist korrekt.

Tipp: Sie können Zahlen nicht nur mit Dezimalkomma eingeben, sondern erhalten sie auf Wunsch auch so. (Ausgabedezimaltrennzeichen in auf Komma setzen)

ausgeglichenes Dreieck

Berechnung	Wert
`α=START`	34.175800
`β=START`	75.056500
`c=START`	400.00960
`F=c²/(cot(α)+cot(β))/2`	38215.820
`γ=π-α-β`	90.767700
`h_c=2·F/c`	191.07451
`p_a=c·cos(β)`	152.74900
`q_b=c·cos(α)`	343.74147
`R=c/sin(γ)/2`	202.12654
`a=sqrt(2·F·(cot(β)+cot(γ)))`	206.74164
`b=sqrt(a²+c²-2·a·c·cos(β))`	373.61829
...	...

≡ START Anleitung English

Ausgleichungslehrbücher

Schon gewusst? In Tutorien stehen nicht alle Optionen der eingesetzten Rechenwerkzeuge zur Verfügung.

≡ START Anleitung English Tutorium : Dreiecksausgleichung

Seiteninhalt

≡ START Anleitung English Aufgabe

≡ START Anleitung English Aufstellung des Ausgleichungsmodells

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

≡ START Anleitung English Lösung der Ausgleichungsaufgabe

IN DUBIO PRO GEO Ausgleichung : Vermittelnde Ausgleichung

Funktionales und stochastisches Ausgleichungsmodell

Bedingungsgleichungen für Parameter

Funktionen ausgeglichener Größen

IN DUBIO PRO GEO Ausgleichung : Vermittelnde Ausgleichung

6 (gekürzte) Beobachtungen `l` und Gewichte `p`

Standardabweichungen der Gewichtseinheit, Globaltest und Informationskriterien

3 ausgeglichene (gekürzte) Parameter `x` und Standardabweichungen

6 ausgeglichene (gekürzte) Beobachtungen `l` und Standardabweichungen

1 (gekürzte) Funktionen ausgeglichener Parameter und Standardabweichungen

≡ START Anleitung English Auswertung und Schlussprobe

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

≡ START Anleitung English

≡ START Anleitung English Tutorium : Dreiecksausgleichung

Seiteninhalt

≡ START Anleitung English Aufgabe

≡ START Anleitung English Aufstellung des Ausgleichungsmodells

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

≡ START Anleitung English Lösung der Ausgleichungsaufgabe

IN DUBIO PRO GEO Ausgleichung : Vermittelnde Ausgleichung

Funktionales und stochastisches Ausgleichungsmodell

Bedingungsgleichungen für Parameter

Funktionen ausgeglichener Größen

IN DUBIO PRO GEO Ausgleichung : Vermittelnde Ausgleichung

6 (gekürzte) Beobachtungen l und Gewichte p

Standardabweichungen der Gewichtseinheit, Globaltest und Informationskriterien

3 ausgeglichene (gekürzte) Parameter x und Standardabweichungen

6 ausgeglichene (gekürzte) Beobachtungen l und Standardabweichungen

1 (gekürzte) Funktionen ausgeglichener Parameter und Standardabweichungen

≡ START Anleitung English Auswertung und Schlussprobe

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

≡ START Anleitung English

6 (gekürzte) Beobachtungen `l` und Gewichte `p`

3 ausgeglichene (gekürzte) Parameter `x` und Standardabweichungen

6 ausgeglichene (gekürzte) Beobachtungen `l` und Standardabweichungen