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Tutorium : Flächenteilung

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Aufgabe Lösung zu a) Rechenprobe zu a) Lösung zu b) Rechenprobe zu b) Auch interessant In der Bibliothek

Die Tutorien erläutern die Funktion von IN DUBIO PRO GEO anhand von Praxisbeispielen. Die Lösungen zu den Aufgaben sind mittels vorausgefüllter Formulare nachvollziehbar. In den Auswahlfeldern stehen nicht alle Optionen zur Verfügung. Die Formulare lassen sich mit der Schaltfläche absenden und so die Ergebnisse betrachten. Um das zu ersparen, sind die Ergebnisse im Tutorium auszugsweise dargestellt. Die wesentlichen Zwischen- und Endergebnisse sind durch goldfarbene Boxen hervorgehoben. Die Lösungen sind in weiteren goldfarbenen Boxen kommentiert.

Aufgabe

Flächenteilung
Flächenteilung

Gegeben sind folgende lokale ebene Koordinaten in einem kartesischen Linkssystem:

	Punkt  X [m]     Y [m]
	 A     16.10     23.06
	 B     17.11    108.07
	 C    107.08    102.12
	 D    119.63     14.02

a) Bestimmen Sie die Koordinaten eines abzusteckenden Punktes E auf der Geraden AB, so dass das ebene Viereck AECD den Flächeninhalt 10000 m² besitzt.

b) Bestimmen Sie außerdem zwei Punkte F und G, so dass FG parallel zu AD ist und das ebene Viereck AFGD den Flächeninhalt 10000 m² besitzt.

Führen Sie je eine Rechenprobe durch. Die Maßstäbe von Koordinaten und Flächen sind gleich.

Lösung zu a)

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Polygone

Ebene Polygone werden aus gegebenen Eckpunktkoordinaten berechnet: ebene Polygon- und Richtungswinkel, Seitenlängen, Flächeninhalt, Umfang etc.

Winkeleinheit    Notiz

System Punktnamen und Koordinaten


Systemtyp:

Spaltenformat:


offenes Polygon

Zunächst berechnen wir das Viereck ABCD. Wenn die Punkte im Uhrzeigersinn durchlaufen werden, wird der Flächeninhalt positiv ausgewiesen und die Polygonwinkel sind Innenwinkel. Deshalb die Änderung der Punktreihenfolge.

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Polygone

Als Systemtyp wählen wir XYZ, damit alle Berechnungen mit Maßstab 1 durchgeführt werden.

Berechnung des Vierecks ABCD

lokal, kartesisches Linkssystem

4 Punkte

PNameXYPolygonwinkellightbulb
D 119.63000000 14.0200000085.44709245
C 107.08000000 102.12000000 113.21219990
B 17.11000000 108.0700000096.55228387
A 16.10000000 23.06000000104.78842378

Der Flächeninhalt beträgt 8330.95 m². Für die folgende Rechnung benötigen wir einige Polygonwinkel, Seitenlängen und Richtungswinkel des Polygons ABCD.

Wir haben mit dem Flächen-inhalt von 10000 m² - 8330.95 m² = 1669.05 m², der Seite BC von 90.167 m und dem Winkel bei B von 200 gon - 96.552 gon = 103.448 gon drei Größen für das Dreieck BEC verfügbar und berechnen dieses.

Seitenlängen und Richtungswinkel

vonnachSeitenlängeRichtungswinkellightbulb
DC 88.98939544 109.00815426
CB 90.16653148 195.79595436
BA 85.01599967299.24367049
AD 103.92392650 394.45524671

Spezielle Punkte

 XY
Flächenschwerpunkt 65.237678841 60.801968445
Eckenschwerpunkt 64.980000000 61.817500000

Flächeninhalt Glühbirne 8330.9501    Umfang 368.095853

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

Aus drei (fast) beliebigen gegebenen Größen eines ebenen Dreiecks werden alle übrigen Größen berechnet, wahlweise einschließlich einer Fehlerfortpflanzung. Wenn zwei Lösungen existieren, werden beide berechnet.

Winkeleinheit     Notiz

Größe Wert

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Dreiecke

Ebenes Dreieck
und seine Stücke

Berechnung des Dreiecks BEC

Berechnung lightbulbWert
F=START 1669.0500
α=START 103.44800
b=START 90.167000
c=2·F/b/sin(α)) 37.075671

...

Winkeleinheit = Gon

F = Dreiecksfläche
u = Dreiecksumfang
r = Inkreisradius
R = Umkreisradius

Liegt der Höhenfußpunkt außerhalb einer Seite, wird ein Seitenabschnitt p oder q negativ erhalten.

Es ergibt sich BE = 37.08 m.

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Aus Punktkoordinaten und polaren Messwerten werden alle möglichen Größen berechnet. Rechenregeln zwischen diesen Größen werden aufgestellt und nacheinander angewendet, bis keine neuen Werte mehr erhalten werden, und zwar auf jede mögliche Weise. Dadurch ergeben sich oft viele verschiedene Ergebnisse, deren Vergleich zur Aufdeckung grober Fehler genutzt werden kann. Die Mediane der berechneten Werte stellen dann das Ergebnis einer robusten Schätzung dar.

Winkeleinheit    Notiz

Bekannte Punkte Punktnamen und Koordinaten


Systemtyp:

Spaltenformat:

Die Koordinaten werden direkt aus der Polygonberechnung übernommen, sollten Sie diese vorher durchgeführt haben!

Format Standpunktzeile Punktnamen (1. Spalte) und Messwerte (2.-5. Spalte)
zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:

Format Zielpunktzeile

zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:

Nun kann der Punkt E berechnet werden. Von B nach E haben wir Richtungswinkel 99.244 gon und Horizontaldistanz 37.08 m einzugeben.

Spalten, die ohnehin leer sind, müssen nicht auf nicht benutzt gesetzt werden. Nur darf nicht dasselbe wie in einer anderen Spalte gewählt sein.

IN DUBIO PRO GEO ignoriert alles, was hinter "//" steht.

Tipp: Sie können Zahlen nicht nur mit Dezimalkomma eingeben, sondern erhalten sie auf Wunsch auch so. (Ausgabe­dezimal­trenn­zeichen in Einstellungen auf Komma setzen)

Erdkrümmung korrigieren mit Erdradius lightbulb

Berechne neu . Berechnungsdauer maximal s lightbulb.

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Punkt E polar anhängen

Bekannte Punkte: lokal, kartesisches Linkssystem

4 Punkte

PNameXY
D 119.63000000 14.02000000
C 107.08000000 102.12000000
B 17.11000000 108.07000000
A 16.10000000 23.06000000

Eingabe-Messwerte

Symbole:

o Orientierungswinkel rHorizontalrichtung eHorizontaldistanz
ihInstrumentenhöhe tRichtungswinkel sSchrägdistanz
thZielhöhe vZenitwinkel dhHöhendifferenz

IN DUBIO PRO GEO erkennt automatisch, was zu rechnen ist. Hier ist es noch vergleichsweise einfach.

StandPname    
B        
ZielPnamete   
E 99.24400 37.08000      

Ergebnisse

Das Ergebnis lautet: E(X = 17.55 m; Y = 145.15 m).

GrößevonnachWerteMinimumMedianMaximum …
XE 17.55032282
YE 1 145.1473855

Rechenprobe zu a)

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Polygone

Ebene Polygone werden aus gegebenen Eckpunktkoordinaten berechnet: ebene Polygon- und Richtungswinkel, Seitenlängen, Flächeninhalt, Umfang etc.

Winkeleinheit    Notiz

Schließlich machen wir noch die Rechenprobe.

System Punktnamen und Koordinaten

Systemtyp:
Spaltenformat:
offenes Polygon

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Polygone

Berechnung des Vierecks AECD

lokal, kartesisches Linkssystem

4 Punkte

PNameXYPolygonwinkellightbulb
D 119.63000000 14.02000000 85.44709245
C 107.08000000 102.12000000 137.53028511
E 17.55000000 145.15000000 72.23391409
A 16.10000000 23.06000000 104.78870835

Seitenlängen und Richtungswinkel

Die Fläche stimmt auf 0.3 m². Mit cm-genauen Koordinaten ist es genauer nicht sinnvoll. Außerdem stimmt der Richtungswinkel von E nach A mit dem von B nach A überein, was beweist, dass der Punkt E auf der Gerade AB liegt.

vonnachSeitenlängeRichtungswinkellightbulb
DC 88.98939544 109.00815426
CE 99.33378982 171.47786915
EA 122.09861015 299.24395506
AD 103.92392650 394.45524671

Spezielle Punkte

 XY
Flächenschwerpunkt 62.234330028 70.424661083
Eckenschwerpunkt 65.090000000 71.087500000

Flächeninhalt Glühbirne 10000.3261    Umfang 414.34572190727

Lösung zu b)

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Vierecke

Aus fünf (fast) beliebigen gegebenen Größen eines ebenen Vierecks werden alle übrigen Größen berechnet, wahlweise einschließlich einer Fehlerfortpflanzung. Wenn zwei Lösungen existieren, werden beide berechnet.

Winkeleinheit    Notiz

Größe Wert
konvexes Viereck konkaves Viereck
Wenn das Viereck konkav ist, muss A der innere Punkt sein.

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Vierecke

Berechnung des Vierecks AFGD

Zur Berechnung des Vierecks AFGD liegen vor:
- 3 übereinstimmende Größen
  der Vierecke ABCD und AFGD:
  Seite d=AD, Winkel α, δ
- Winkel β=200 gon -α,
  damit AD und FG parallel sind
- und der gewünschte
  Flächeninhalt von 10000 m².
Damit berechnen wir dieses Viereck.

Berechnung lightbulbWert
d=START 103.92400
α=START 104.78800
β=START 95.212000
δ=START 85.447000
F=START 10000.000
γ=2π-α-β-δ 114.55300
c=TZ(d,δ,α,γ,F) 107.27816
e=sqrt(c²+d²-2·c·d·cos(δ)) 131.36173
RB=e/sin(β)/2 65.867066
RD=e/sin(δ)/2 67.435187
FD=c·d·sin(δ)/2 5429.3705
FB=F-FD 4570.6295
α1=arccos((e²+d²-c²)/e/d/2) 58.549601
α2=α-α1 46.238399
γ1=π-β-α2 58.549601
γ2=γ-γ1 56.003399
a=2·FB/e/sin(α2) 104.78354
b=2·FB/a/sin(β) 87.486773
...

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Aus Punktkoordinaten und polaren Messwerten werden alle möglichen Größen berechnet. Rechenregeln zwischen diesen Größen werden aufgestellt und nacheinander angewendet, bis keine neuen Werte mehr erhalten werden, und zwar auf jede mögliche Weise. Dadurch ergeben sich oft viele verschiedene Ergebnisse, deren Vergleich zur Aufdeckung grober Fehler genutzt werden kann. Die Mediane der berechneten Werte stellen dann das Ergebnis einer robusten Schätzung dar.

Winkeleinheit    Notiz

Bekannte Punkte Punktnamen und Koordinaten


Systemtyp:

Spaltenformat:

Nun können die Punkte F und G polar an A und D angehängt werden.

Format Standpunktzeile Punktnamen (1. Spalte) und Messwerte (2.-5. Spalte)
zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:

Format Zielpunktzeile

zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:

Statt mit dem Richtungswinkel wie bei a) arbeiten wir diesmal alternativ mit je einem Festpunkt zur Orientierung. Das könnte als einfacher empfunden werden.
Es ist unwesentlich, welche Richtungen eingegeben werden (hier jeweils 0). Es müssen nur auf A zweimal dieselben sein und auf D ebenfalls. So ist sichergestellt, dass F auf AB und G auf DC liegt. Die Horizontaldistanzen AF und DG ergaben sich aus der Vierecksberechnung AFGD.

Erdkrümmung korrigieren mit Erdradius lightbulb

Berechne neu . Berechnungsdauer maximal s lightbulb.

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Punkte F und G polar anhängen

Bekannte Punkte: lokal, kartesisches Linkssystem

4 Punkte

PNameXY
D 119.63000000 14.02000000
C 107.08000000 102.12000000
B 17.11000000 108.07000000
A 16.10000000 23.06000000

Eingabe-Messwerte

o Orientierungswinkel rHorizontalrichtung eHorizontaldistanz
ihInstrumentenhöhe tRichtungswinkel sSchrägdistanz
thZielhöhe vZenitwinkel dhHöhendifferenz

IN DUBIO PRO GEO erkennt automatisch, was zu rechnen ist.

Symbole:

StandPname    
A        
ZielPnamere   
B 0        
F 0 104.7840      
StandPname    
D        
ZielPnamere   
C 0        
G 0 107.2780      

Ergebnisse

Die '1' in Spalte 'Werte' zeigt an, dass die Berechnung eindeutig ist.

Das Ergebnis lautet:
F (X=17.34; Y=127.84),
G (X=104.50; Y=120.23).

GrößevonnachWerteMinimumMedianMaximum …
X F 17.34484615
Y F 1 127.8366053
X G 104.5007939
Y G 1 120.2258210
e A B 1 85.01599967
e B F 1 19.76800033
e C D 1 88.98939544
e C G 1 18.28860456
o A 1 99.24367049
o D 1 109.0081543
t A B 1 99.24367049
t A F 1 99.24367049
t C D 1 309.0081543
t D G 1 109.0081543

Winkeleinheit = Gonlightbulb

Rechenprobe zu b)

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Polygone

Ebene Polygone werden aus gegebenen Eckpunktkoordinaten berechnet: ebene Polygon- und Richtungswinkel, Seitenlängen, Flächeninhalt, Umfang etc.

Winkeleinheit    Notiz

Als Probe berechnen wir das neue Polygon AFGD, indem wir die Neupunkte F und G in die Koordinatenliste aufnehmen. Von Vorteil ist, B und C mit drin zu behalten.

System Punktnamen und Koordinaten

Systemtyp:
Spaltenformat:
offenes Polygon

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Polygone

Berechnung des Vierecks AFGD

lokal, kartesisches Linkssystem

6 Punkte

PNameXYPolygonwinkellightbulb
D 119.63000000 14.02000000 85.44709245
C 107.08000000 102.12000000 199.99931562
G 104.50000000 120.23000000 114.55315013
F 17.34000000 127.84000000 95.19628508
B 17.11000000 108.07000000 200.01573294
A 16.10000000 23.06000000 104.78842378

Seitenlängen und Richtungswinkel

Die Fläche weicht um 0.4 m² von der Sollfläche ab. Wie wir an den Polygonwinkeln bei B und C sehen, liegen A,B,F und auch G,C,D auf je einer Geraden. Wie wir an den Richtungswinkeln von GF und AD sehen, sind beide Seiten wie gewünscht parallel.
Das Endergebnis ist also korrekt!

vonnachSeitenlängeRichtungswinkellightbulb
D C 88.98939544 109.00815426
C G 18.29285380 109.00883864
G F 87.49158645 194.45568851
F B 19.77133784 299.25940343
B A 85.01599967 299.24367049
A D 103.92392650 394.45524671

Flächeninhalt 10000.4047 Glühbirne     Umfang 403.4851

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28.07.2017 02:39 (Zeitzone Berlin)
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