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Anleitung : über identische Punkte

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Einführung Identische Punkte und zu transformierende Neupunkte System der Transformationsgleichungen Ebene Transformationen (2D) Räumliche Transformationen (3D) Ebene Transformationen mit Ausgleich des vertikalen Offsets Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate Parameter der Rücktransformation Beispiel: Quader aus vier Eckpunkten Trick: Punkte mit individuellen Gewichten Was möchten Sie jetzt tun? In der Bibliothek

Einführung

Rechtssystem
Rechtssystem
Linkssystem
Linkssystem

IN DUBIO PRO GEO berechnet ebene und räumliche Koordinatentransformationen, das sind Umrechnungen von Punktkoordinaten eines Startsystems in Koordinaten eines Zielsystems. Es wird nicht vorausgesetzt, dass die Achsen der Systeme irgendwie näherungsweise ausgerichtet sind. Koordinaten werden über Koordinatenlisten eingegeben.

Kartesische Linkssysteme, kartesische Rechtssysteme (XYZ) und Gittersysteme (Nordwert,Ostwert,Höhe) können transformiert werden. Ellipsoidische Systeme (Länge,Breite,Höhe müssen erst mit Koordinaten­umwandlung umgerechnet werden. Siehe Koordinatensystemtyp.

Die Koordinaten im Startsystem werden immer mit x,y,z und die im Zielsystem mit X,Y,Z bezeichnet. Bei Gitterkoordinaten entspricht Nord = x und/oder X, Ost = y und/oder Y und Höhe = z und/oder Z.

Identische Punkte und zu transformierende Neupunkte

Transformation
über identische Punkte
Transformation über identische Punkte

Identische Punkte werden automatisch an identischen Punktnamen erkannt. Wann immer möglich, werden zunächst Transformationsparameter aus diesen Koordinaten berechnet.

Zusätzlich können Punkte vorliegen, die nur in einem der beiden Systeme gegebene Koordinaten haben (Neupunkte). Auf diese Punkte wird die berechnete Transformation angewendet. Neupunkte können zugleich in beiden Systemen vorliegen.

Alle Punkte können in den Koordinatenlisten in beliebiger Reihenfolge angegeben werden.

STARTSeitenanfang System der Transformationsgleichungen

Alle implementierten geodätischen Koordinatentransformationen werden berechnet, die die folgenden drei Bedingungen erfüllen:

Alle Transformationen gehen von folgendem Grundmuster der Transformationsgleichungen aus:

V = t + T · v v , V sind die Ortsvektoren der Punkte im Start- und Zielsystem.
t ist der Translationsvektor (= Verschiebungsvektor).
T ist die Transformationsmatrix.

Die Reihenfolge der Komponenten von v, V, t, T ist immer XYZ, selbst wenn die Koordinaten in der Koordinatenlisten eine andere Reihenfolge haben. Je nach Transformationstyp erzeugt T

Für jede berechnete Transformation werden die Transformationsgleichungen in dieser Form ausgegeben, so dass mit ihnen alle weiteren gewünschten Berechnungen erfolgen können, z.B. die Transformation weiterer Punkte. Oft ist es aber zweckmäßiger, die Transformation durch Transformationsparameter zu beschreiben. Leider gibt es dazu eine Vielzahl von Möglichkeiten, die hier nahezu vollständig unterstützt werden:

Am einfachsten stellt man T als Produkt von bis zu 3 Matrizen dar:

Die einzelnen Transformationstypen unterscheiden sich nur danach, welche Faktoren T enthält und in welcher Reihenfolge. Bei der Affintransformation kann T in alle drei Faktoren in beliebiger Reihenfolge zerlegt werden:

T = Q1M1S1 = Q2S2M2 = M3S3Q3 = S4M4Q4

Die Faktoren selbst hängen im Allgemeinen von der Reihenfolge der Zerlegung ab, z.B. hätte man S1 ≠ S2 ≠ S3 ≠ S4. Alle Möglichkeiten werden berechnet.

STARTSeitenanfang Ebene Transformationen (2D)

Z-Koordinaten oder Höhen werden durch ebene Transformationen nicht beeinflusst, können also auch fehlen. Wenn einige oder alle Punkte in Gittersystemen Höhen besitzen, werden diese nur benutzt, um den Gittermaßstabsfaktor zu bestimmen.

Wann immer möglich, wird im 2D-Fall Folgendes der Reihe nach berechnet:

TransformationParameterAnzahlident.P. Transformationsmatrix T
Affin tx , ty , mx , my , φ , τ   6≥ 3 ist eine allgemeine 2×2 Matrix
5-Param. Typ 1 tx , ty , mx , my , φ   5≥ 3 hat orthogonale ZeilenvektorenT=MQ
5-Param. Typ 2 tx , ty , m , τ , φ   5≥ 3 hat gleich lange SpaltenvektorenT=mSQ
5-Param. Typ 3 tx , ty , φ , mx , my  5≥ 3 hat orthogonale SpaltenvektorenT=QM
5-Param. Typ 4 tx , ty , m , φ , τ   5≥ 3 hat gleich lange ZeilenvektorenT=mQS
Helmert tx , ty , m , φ   4≥ 2 ist das skalare Vielfache einer OrthogonalmatrixT=mQ
mit festem Maßstab tx , ty , φ   3≥ 2 ist eine OrthogonalmatrixT=Q

Der Translationsvektor t und die Matrizen Q, S, M haben folgende Darstellung:

t=
tx
ty
ohne
Reflexion:
Q =
cos(φ)-sin(φ)
sin(φ) cos(φ)
mit
Reflexion:
Q =
sin(φ) cos(φ)
cos(φ)-sin(φ)
S =
1tan(τ)
01
=
1f
01
M =
mx 0
0 my
Ebenes Linkssystem (links)
und Rechtssystem (rechts),
Rotation und Scherung
Ebenes Linkssystem (links) und Rechts­system (rechts), Scherung ⇒ Rotation

Der Drehwinkel φ ist der Drehwinkel des Startsystems ins Zielsystem um den Koordinatenursprung. Im Linkssystem bedeutet φ>0 eine Drehung im Uhrzeigersinn, im Rechtssystem umgekehrt.

Ebenes Linkssystem (links)
und Rechtssystem (rechts),
Rotation und Scherung
wie oben, aber Rotation ⇒ Scherung

Nach einer Scherung schließen die Achsen des Startsystems im Zielsystem keinen rechten Winkel mehr ein, sondern einen um den Scherwinkel τ kleineren Winkel oder um größeren Winkel. Im Berechungsprotokoll wird auch der Scherfaktor f = tan(τ) ausgewiesen.

Die Maßstabsfaktoren mx , my sind stets positiv und bei einigen Transformationstypen gleich groß. m>1 bedeutet, dass die Punkte durch die Transformation auseinandergezogen werden. Der oder die Gittermaßstabsfaktoren sind hierin noch nicht enthalten. Ändert man z.B. den Systemtyp von Gitter in kartesisch, ändern sich die berechneten Maßstabsfaktoren.

STARTSeitenanfang Räumliche Transformationen (3D)

Alle Punkte müssen hierfür drei Koordinaten besitzen. Wird für den Transformationstyp automatisch erkennen gewählt, werden räumliche Transformationen immer dann berechnet, wenn diese Bedingung erfüllt ist, andernfalls ebene.

Wann immer möglich, wird im 3D-Fall Folgendes der Reihe nach berechnet:

TransformationParameterAnzahlident.P.Transformationsmatrix T
Affin tx , ty , tz , mx , my , mz ,
φx , φy , φz , τxy , τxz , τyz
  12≥ 4 ist eine allgemeine 3×3 Matrix
9-Param. Typ 1 tx , ty , tz , mx , my , mz ,
φx , φy , φz
  9≥ 3 hat orthogonale ZeilenvektorenT=MQ
9-Param. Typ 2 tx , ty , tz , φx , φy , φz ,
mx , my , mz
  9≥ 3 hat orthogonale SpaltenvektorenT=QM
Helmert tx , ty , tz , m , φx , φy , φz   7≥ 3 ist das skalare Vielfache einer OrthogonalmatrixT=mQ
mit festem Maßstab tx , ty , tz , φx , φy , φz   6≥ 3 ist eine OrthogonalmatrixT=Q

Der Translationsvektor t und die Matrizen S, M haben folgende Darstellungen:

t=
tx
ty
tz
S =
1tan(τxy)tan(τxz)
0 1tan(τyz)
0 0 1
=
1fxyfxz
01fyz
001
M =
mx 0 0
0 my 0
0 0 mz

Die 3D-Scherung beschrieben durch S kann man sich als eine Folge von drei ebenen Scherungen vorstellen, und zwar

  1. eine Scherung von y- und z-Achse mit Scherwinkel τyz
  2. eine Scherung von x- und z-Achse mit Scherwinkel τxz
  3. eine Scherung von x- und y-Achse mit Scherwinkel τxy

Wenn man die erste und zweite oder die zweite und dritte ebene Scherung vertauscht, erhält man näherungsweise dieselben Schwerwinkel τij, wenn diese klein sind. Im Berechungsprotokoll werden auch die Scherfaktoren fij = tan(τij) ausgewiesen.

Die 3D-Skalierung hat bis zu drei Maßstabsfaktoren. Die beiden Maßstabsfaktoren bei ebenen Transformationen werden noch um einen dritten Maßstabsfaktor mz ergänzt.

Die Matrix Q ist im Fall ohne Reflexion eine Rotationsmatrix und kann auf folgende drei verschiedenen Arten durch Parameter dargestellt werden:

(a) mit drei Euler-Winkeln φx , φy , φz:

Q=
cosφy·cosφz    sinφx·sinφy·cosφz−cosφx·sinφz sinφx·sinφz+cosφx·sinφy·cosφz
cosφy·sinφz cosφx·cosφz+sinφx·sinφy·sinφz    cosφx·sinφy·sinφz−sinφx·cosφz
−sinφy sinφx·cosφy cosφx·cosφy
Räumliches Linkssystem (links)
und Rechtssystem (rechts),
Rotation um z-Achse
Räumliches Linkssystem (links) und Rechtssystem (rechts), Rotation um z Achse

Die gesamte Rotation kann man in eine Folge von drei Rotationen um Koordinatenachsen zerlegen. Wir nutzen hier die geodätische Konvention:

  1. Rotation um x-Achse, Drehwinkel φx
  2. Rotation um y-Achse, Drehwinkel φy
  3. Rotation um z-Achse, Drehwinkel φz

Es sind auch andere Festlegungen gebräuchlich, vor allem in nicht-geodätischen Bereichen.

(b) mit dem Quadrupel der Einheitsquaternion (q0 , q1 , q2 , q3):

Q=
q0²+q1²−q2²−q3²   2(q1·q2−q0·q3)2(q1·q3+q0·q2)
2(q1·q2+q0·q3)q0²−q1²+q2²−q3²   2(q2·q3−q0·q1)
2(q1·q3−q0·q2)2(q2·q3+q0·q1)q0²−q1²−q2²+q3²

Eine Quaternion erlaubt in vielen Fällen eine rechnerisch elegantere Beschreibung von Rotationen in drei Dimensionen, als Euler-Winkel. Die vier Parameter genügen der Bedingung q0²+q1²+q2²+q3²=1 (Einheitsquaternion).

(c) mit Euler-Achse (ex , ey , ez) als Einheitsvektor und Drehwinkel ε um diese Achse:

Q=
cosε+ex²(1-cosε)exey(1-cosε)−ezsinε exez(1-cosε)+eysinε
exey(1-cosε)+ezsinε   cosε+ey²(1-cosε) eyez(1-cosε)−exsinε
exez(1-cosε)−eysinεeyez(1-cosε)+exsinε    cosε+ez²(1-cosε)

Die Rotation wird hier um eine schräg im Raum liegende Achse durch den Koordinatenursprung beschrieben, die sogenannte Euler-Achse. Die Parameter genügen der Bedingung ex²+ey²+ez²=1 (Einheitsvektor).

Alle Winkel φx, φy, φz, ε werden zwischen -π = -180° = -200 gon und π = 180° = 200 gon in der gewählten Winkeleinheit berechnet. Sie sind

definiert. Der Blick ist hierfür entgegen der Rotationsachse gerichtet. Es sind auch andere Festlegungen gebräuchlich, vor allem in nicht-geodätischen Bereichen.

Ist schließlich das Startsystem ein Linkssystem und das Zielsystem ein Rechtssystem oder umgekehrt, muss T zusätzlich noch eine Reflexion erzeugen. Das Anzeichen dafür ist det(T)<0 . Wir erreichen dies durch Vertauschen der ersten und zweiten Zeile von T.

STARTSeitenanfang Ebene Transformationen mit Ausgleich des vertikalen Offsets

Ausgleich des vertikalen Offsets
Ausgleich des vertikalen Offsets

Es wird in diesem Fall vorausgesetzt, dass die vertikalen Achsen (Z oder Höhe) beider Systeme parallel sind und denselben Maßstab haben. Aus allen identischen Punkten, die in beiden Systemen drei Koordinaten besitzen, wird der vertikale Offset berechnet. Mindestens einen solchen Punkt muss es geben. Mit diesem Offset werden nicht-identische Punkte ins jeweils andere System transformiert. Auf die anderen beiden Koordinaten werden möglichst alle oben genannten ebenen Transformationen angewendet.

STARTSeitenanfang Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate

Sind mehr Koordinaten identischer Punkte vorhanden, als die Transformation Parameter besitzt (Redundanz), erfolgt die Ausgleichung durch die Methode der gewichteten kleinsten Quadrate. In diesem Fall werden Genauigkeitsmaße für die Koordinaten identischer Punkte benötigt, entweder als Standardabweichung σ oder als Gewicht p . Im ersten Fall wird ein Gewicht berechnet entsprechend p=1/σ².

Nach der Ausgleichung verbleiben häufig sogenannte Restklaffungen. Diese entsprechen betragsmäßig den Verbesserungen der Ausgleichung, allerdings mit umgekehrtem Vorzeichen:

  Restklaffung = gegebene Koordinate − aus Transformationsparametern berechnete Koordinate

Jedes Genauigkeitsmaß gilt jeweils für alle Punkte. Eine individuelle Gewichtung von Punkten wird im Moment noch nicht unterstützt. ⇓ Trick . Genauigkeitsmaße dürfen nicht negativ sein und Gewichte außerdem auch nicht gleich Null. Fehlt ein Genauigkeitsmaß oder ist die Standardabweichung gleich Null, gelten die zugehörigen Koordinaten als fehlerfrei und werden bei der Ausgleichung festgehalten.

Information für Interessenten: IN DUBIO PRO GEO arbeitet immer mit den Elementen von t und T als Ausgleichungsparameter. Das sind bei ebenen Transformationen immer 6 und bei räumlichen Transformationen immer 12 Parameter. Bei allen Nicht-Affintransformationen wird die Einschränkung auf spezielle Transformationsmatrizen T durch Bedingungsgleichungen für die Elemente von T vorgenommen. Erst nach der Ausgleichung werden daraus durch QR oder RQ-Faktorisierung von T die Maßstabs-, Scher- und Rotationsparameter berechnet. Insofern sind die Ausgleichungsparameter von den Transformationsparametern zu unterscheiden, außer bei der Affintransformation.

STARTSeitenanfang Parameter der Rücktransformation

Falls auch die Transformationsparameter der Rücktransformation vom Ziel- ins Startsystem gebraucht werden, kann die Transformationsrichtung durch Tauschen der Systeme geändert werden. Beachten Sie, dass die Parameter der umgekehrten Transformationen nicht immer durch Ändern der Vorzeichen der Winkel und durch Invertierung der Maßstabsfaktoren erhalten werden.

STARTSeitenanfang Beispiel: Quader aus vier Eckpunkten

Quader aus vier Eckpunkten
Quader aus vier Eckpunkten

Vier Eckpunkte A,B,E,H eines schräg im Raum liegenden Quaders ABCDEFGH wurden mit Tachymeter gemessen (⇒ Abbildung). Mit einer Standardabweichung von 0.02 wurden die folgenden Koordinaten im Standpunktsystem (kartesisches Linkssystem) X,Y,Z erhalten:

    X        Y        Z
A   14.029   17.058    8.073   
B   23.616   29.751    5.516   
E   14.272   20.210   24.880
H   32.863   6.7372   27.163

Für die nicht anzielbaren Punkte C,D,F,G des Quaders sollen die Koordinaten im selben System bestimmt werden.

Objekt-
koordinaten
   x  y  z
A  0  0  0
B  0  1  0
C  1  1  0
D  1  0  0
E  0  0  1
F  0  1  1
G  1  1  1
H  1  0  1

Wir führen zusätzlich zum Standpunktsystem ein Objektkoordinatensystem x,y,z wie oben abgebildet als kartesisches Linkssystem mit Achsen entlang der Kanten des Quaders ein. Allerdings sind die Kantenlängen nicht bekannt. So nehmen wir diese Längen als Einheiten der Koordinatenachsen. Damit wird für jede Koordinatenachse eine andere Längeneinheit festgelegt. Nun weisen wir den Punkten A…H die rechts gegebenen Objektkoordinaten zu. Diese nehmen wir als fehlerfrei an.

Die räumliche Transformation vom Objektsystem ins Standpunktsystem muss

  1. drei Maßstabsänderungen der Achsen x,y,z und danach
  2. eine Rotation um die Euler-Achse oder
    drei Rotationen um Koordinatenachsen x,y,z

bewirken. Die passende Transformation ist also eine 9-Parameter-Transformation Typ 2.

und Rechnen

Aus diesen Koordinaten kann nur die Affintransformation und die 9 Parameter Transformation Typ 2 berechnet werden. Für die anderen Transformationen passen die identischen Punkte nicht näherungsweise zusammen (große Restklaffungen).

Ergebnis für die 9 Parameter Transformation Typ 2 (3 Maßstäbe ⇒ Rotation)

Die Methode der Kleinsten Quadrate konvergierte nach 4 Iterationen.

X
Y
Z
=
14.0401824
17.0409621
8.06932903
+
18.5716594 9.56082510 0.24339293
-13.4982723 12.7222350 3.18419440
2.28831472 -2.54868580 16.8075275
.
x
y
z
berechn.ObjektsystemStandpunktsystem
Punktexyz XYZ
A 0 0 0 14.0401824 17.0409621 8.0693290
B 0 1.00000000 0 23.6010075 29.7631971 5.5206432
C 1.00000000 1.00000000 0 42.1726669 16.2649248 7.8089579
D 1.00000000 0 0 32.6118418 3.5426898 10.3576437
E 0 0 1.00000000 14.2835753 20.2251565 24.8768565
F 0 1.00000000 1.00000000 23.8444004 32.9473915 22.3281707
G 1.00000000 1.00000000 1.00000000 42.4160598 19.4491192 24.6164854
H 1.00000000 0 1.00000000 32.8552347 6.7268842 27.1651712
resid.xyz XYZ
A 0 0 0 -0.0112 0.0170 0.0037
B 0 0 0 0.0150 -0.0122 -0.0046
E 0 0 0 -0.0116 -0.0152 0.0031
H 0 0 0 0.0078 0.0103 -0.0022

Die Restklaffungen der Objektsystemkoordinaten x,y,z sind Null, weil diese als fehlerfrei gelten. Die Restklaffungen der Standpunktsystemkoordinaten X,Y,Z betragen maximal 0.017 und sind somit plausibel.

Aufgabe: Weisen Sie nach, dass die neuen Standpunktsystemkoordinaten X,Y,Z der 9-Parameter-Transformation Typ 2 genau einen Quader bilden. Hinweis: Koordinaten speichern und in Räumliche Polygone berechnen. Überzeugen Sie sich, dass das mit der Affintransformation nur näherungsweise der Fall wäre.

Aufgabe: Nutzen Sie die Schaltfläche , um die entgegengesetzte Transformation zu berechnen. (Javascript darf nicht deaktiviert sein.) Beachten Sie, dass die 9-Parameter-Transformation Typ 1 nun die gesuchte Transformation ist. Die Neupunktkoordinaten sind identisch.

STARTSeitenanfang Trick: Punkte mit individuellen Gewichten

In Ausgleichende Flächen und Transf. über identische Punkte werden im Fall der Redundanz Gewichte für die Koordinaten der Stützpunkte oder der identischen Punkte benötigt. Individuelle Gewichte für jeden Punkt können im Moment noch nicht vergeben werden, sondern nur für jede Koordinatenachse. Jedoch gibt es eine Hilfslösung: Geben Sie einfach die Punkte mit höherem Gewicht in beiden Koordinatenlisten mehrfach mit unterschiedlichen Namen oder im Spaltenformat Koordinaten ohne Namen und identischen Koordinaten ein. Z.B. wirkt ein doppelt eingegebener Punkt wie der einfach eingegebene mit doppeltem Gewicht.

STARTSeitenanfang Was möchten Sie jetzt tun?

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