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Tutorium : Zylinder durch sieben Punkte

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Aufgabe Variante 1 über Transformation Variante 2 mit Ausgleichung bereits im Universalrechner Berechnung des Zylinders Ergebnis und Rechenprobe Auch interessant

Die Tutorien erläutern die Funktion von IN DUBIO PRO GEO anhand von Praxisbeispielen. Die Lösungen zu den Aufgaben sind mittels vorausgefüllter Formulare nachvollziehbar. In den Auswahlfeldern stehen nicht alle Optionen zur Verfügung. Die Formulare lassen sich mit der Schaltfläche absenden und so die Ergebnisse betrachten. Um das zu ersparen, sind die Ergebnisse im Tutorium auszugsweise dargestellt. Die wesentlichen Zwischen- und Endergebnisse sind durch goldfarbene Boxen hervorgehoben. Die Lösungen sind in weiteren goldfarbenen Boxen kommentiert.

Zylinder durch 7 Punkte
Zylinder durch 7 Punkte

Aufgabe

Auf einem schräg im Raum liegenden Zylinder wurden tachymetrisch 7 Punkte gemessen,

Die vier Punkte A,B,C,D wurden vom Standpunkt 1 gemessen, die vier Punkte D,E,F,G vom Standpunkt 2. Außerdem erfolgte eine gegenseitige Messung zwischen 1 und 2.

Berechnen Sie das Volumen des Zylinders.

Messwerte

Standp.  Horizontal- Zenit-    Schräg-          Standp.  Horizontal- Zenit-  Schräg-
   1     richtung    winkel    distanz            2      richtung    winkel  distanz
Zielp.   [gon]       [gon]     [m]              Zielp.   [gon]       [gon]   [m]
   2     388.800     108.413   7.740              1      181.840     91.586  7.740
   A     291.369      88.351   7.183              D      251.586     82.532  7.485
   B     299.106     100.796   6.484              E      262.696     70.066  7.335
   C     296.762     103.699   8.743              F      281.311     64.742  7.621
   D     326.947      91.774   7.824              G      300.997     67.896  9.083

Variante 1 über Transformation

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Aus Punktkoordinaten und polaren Messwerten werden alle möglichen Größen berechnet. Rechenregeln zwischen diesen Größen werden aufgestellt und nacheinander angewendet, bis keine neuen Werte mehr erhalten werden, und zwar auf jede mögliche Weise. Dadurch ergeben sich oft viele verschiedene Ergebnisse, deren Vergleich zur Aufdeckung grober Fehler genutzt werden kann. Die Mediane der berechneten Werte stellen dann das Ergebnis einer robusten Schätzung dar.

Winkeleinheit    Notiz

Bekannte Punkte Punktnamen und Koordinaten

Systemtyp:

Spaltenformat:

Wir legen ein lokales Koordinaten-system in 1 fest. Die X-Achse verläuft in Richtung von Teilkreisnull, weil unten der Orientierungswinkel gleich Null gesetzt wurde.

Format Standpunktzeile Punktnamen (1. Spalte) und Messwerte (2.-5. Spalte)
zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:

Format Zielpunktzeile

zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:

Damit Höhen (Z) berechnet werden können, müssen immer Instrumenten- und Zielhöhen angegeben werden. Diese sind im vorliegenden Fall beliebig wählbar.

Die Reihenfolge der Zielpunkte ist immer beliebig.

lightbulb

Berechne neu . Berechnungsdauer maximal s lightbulb.

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Berechnung lokaler Standpunktkoordinaten

1 benutzte bekannte Punkte: Standpktsystem 1, kartesisches Linkssystem

PNameYX
1 100.0000000000 100.0000000000 100.000000000

Eingabe-Messwerte

o steht für Orientierungswinkel,
r steht für Horizontalrichtung,
v steht für Zenitwinkel,
s steht für Schrägdistanz
und th für Zielhöhe.

StandPnameoih  
1 0 0    
ZielPnamervs th
2 388.8000 108.4130 7.740000   0
A 291.3690 88.3510 7.183000   0
B 299.1060 100.7960 6.484000   0
C 296.7620 103.6990 8.743000   0
D 326.9470 91.7740 7.824000   0

5 berechnete Punkte: Standpktsystem 1, kartesisches Linkssystem

Die berechneten Koordinaten der Zielpunkte in Liste 1 laden und speichern.

PNameYXZ
A 93.001729844 99.045350285 101.3070
B 93.517146116 99.908955822 99.91893
C 91.283041710 99.556251989 99.49228
D 92.925971047 103.18695929 101.0082
2 98.657133311 107.55408262 98.98013
Diese Liste in Glühbirne

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Winkeleinheit    Notiz

Bekannte Punkte Punktnamen und Koordinaten

Systemtyp:

Spaltenformat:

Mit dem Standpunkt 2 verfahren wir genauso. Die beiden Standpunktsysteme sind voneinander verschieden, nur die Z-Achsen sind parallel ausgerichtet.

Format Standpunktzeile Punktnamen (1. Spalte) und Messwerte (2.-5. Spalte)
zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:

Format Zielpunktzeile

zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:

Damit Höhen (Z) berechnet werden können, müssen immer Instrumenten- und Zielhöhen angegeben werden. Diese sind im vorliegenden Fall beliebig wählbar.

Die Reihenfolge der Zielpunkte ist immer beliebig.

lightbulb

Berechne neu . Berechnungsdauer maximal s lightbulb.

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Berechnung lokaler Standpunktkoordinaten

1 benutzte bekannte Punkte: Standpktsystem 2, kartesisches Linkssystem

PNameYX
1 100.0000000000 100.0000000000 100.000000000

Eingabe-Messwerte

o steht für Orientierungswinkel,
r steht für Horizontalrichtung,
v steht für Zenitwinkel,
s steht für Schrägdistanz
und th für Zielhöhe.

StandPnameoih  
2 0 0    
ZielPnamerve th
1 181.8400 91.58600 7.740000   0
D 251.5860 82.53200 7.485000   0
E 262.6960 70.06600 7.335000   0
F 281.3110 64.74200 7.621000   0
G 300.9970 67.89600 9.083000   0

5 berechnete Punkte: Standpktsystem 2, kartesisches Linkssystem

Die berechneten Koordinaten der Zielpunkte in Liste 2 laden und speichern.

PNameYXZ
D 94.779967796 95.033788465 102.0281
E 94.551876522 96.383892740 103.3232
F 93.795523366 98.124382804 104.0083
G 92.048640604 100.12453514 104.3888
1 102.15906906 92.637552708 101.0200
Diese Liste in Glühbirne

IN DUBIO PRO GEO Koordinatentransformationen : über identische Punkte

Identische Punkte werden verwendet, um zwischen zwei Koordinatensystemen Transformationsparameter zu berechnen. Alle ebenen oder räumlichen Transformationen werden berechnet, die mit diesen Punkten berechenbar sind. In beiden Systemen können nicht identische Punkte gegeben sein, diese werden mit den berechneten Parametern transformiert.

Winkeleinheit   Notiz Glühbirne

Startsystem Punktnamen und Koordinaten


Systemtyp:

Spaltenformat:
Lade hier Liste 1. Der Punkt 1 muss manuell ergänzt werden.
Zielsystem Punktnamen und Koordinaten


Systemtyp:

Spaltenformat:
Lade hier Liste 2. Der Punkt 2 muss manuell ergänzt werden.
für erste, zweite (und dritte) Koordinate Glühbirne Setze gleiche Gewichte für alle Koordinaten
Startsystem Glühbirne
Zielsystem

Eine 2D-Transformation reicht aus, weil die Z-Achsen der Stand­punktsysteme schon parallel ausgerichtet sind. Jedoch muss ein Ausgleich des verti­kalen Offsets erfolgen, weil die Z-Nullpunkte nicht gleich sind.

Transformationstypen

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Koordinatentransformationen : über identische Punkte

Vereinigung der Standpunktsysteme

Standpktsystem 1, kartesisches Linkssystem ⇒ Standpktsystem 2, kartesisches Linkssystem

Standpktsystem 1: 6 Punkte, Standpktsystem 2: 6 Punkte, 3 identische Punkte

Pnameyxz YXZ
1 100.0000000 100.0000000 100.00000 102.1590691 92.6375527 101.02000
2 98.6571333 107.5540826 98.98013 100.0000000 100.0000000 100.00000
A 93.0017298 99.0453503 101.30700
B 93.5171461 99.9089558 99.91893
C 91.2830417 99.5562520 99.49228
D 92.9259710 103.1869593 101.00820 94.7799678 95.0337885 102.02810
E 94.5518765 96.3838927 103.32320
F 93.7955234 98.1243828 104.00830
G 92.0486406 100.1245351 104.38880
Gewichte 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000

vertikaler Offset: Standpktsystem 2 - Standpktsystem 1 = 1.0199233333333

Eine Rotation und Translation reicht aus. Der Maßstab sollte in beiden Systeme übereinstimmen (m=1).

Transformation mit festem Maßstab (m=1)

Die Methode der Kleinsten Quadrate konvergierte nach 8 Iterationen.

X
Y
=
-17.6758945
13.6666266
+
0.99403021 0.10910454
-0.10910454 0.99403021
.
x
y
berechn.Standpktsystem 1Standpktsystem 2
Punkteyxz YXZ
1 99.9999364 99.9999928 100.0000383 102.159132 92.637567 101.019962
2 98.6570512 107.5540643 98.9801033 100.000080 100.000027 100.000027
A 93.0017298 99.0453503 101.3070000 95.306859 90.925087 102.326923
B 93.5171461 99.9089558 99.9189300 95.724975 91.839771 100.938853
C 91.2830417 99.5562520 99.4922800 93.542689 91.245422 100.512203
D 92.9261167 103.1869848 101.0081883 94.779826 95.033747 102.028112
E 92.8468353 104.5539407 102.3032767 94.551877 96.383893 103.323200
F 92.2848927 106.3665622 102.9883767 93.795523 98.124383 104.008300
G 90.7666640 108.5453672 103.3688767 92.048641 100.124535 104.388800

Alle Restklaffungen sind klein.
Nun die Koordinaten­listen speichern, so dass alle Punkte nun in beiden Standpunkt­systemen koordiniert sind.

Restkl.yxz YXZ
1 6.4e-5 7.2e-6 -3.8e-5 -6.2e-5 -1.4e-5 3.8e-5
2 8.2e-5 1.8e-5 2.7e-5 -8.0e-5 -2.7e-5 -2.7e-5
D -1.5e-4 -2.5e-5 1.2e-5 1.4e-4 4.1e-5 -1.2e-5
beide Listen berechneter Punkte

Variante 2 mit Ausgleichung bereits im Universalrechner

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Aus Punktkoordinaten und polaren Messwerten werden alle möglichen Größen berechnet. Rechenregeln zwischen diesen Größen werden aufgestellt und nacheinander angewendet, bis keine neuen Werte mehr erhalten werden, und zwar auf jede mögliche Weise. Dadurch ergeben sich oft viele verschiedene Ergebnisse, deren Vergleich zur Aufdeckung grober Fehler genutzt werden kann. Die Mediane der berechneten Werte stellen dann das Ergebnis einer robusten Schätzung dar.

Winkeleinheit    Notiz

Bekannte Punkte Punktnamen und Koordinaten

Systemtyp:

Spaltenformat:

Wir lassen jetzt beide Standpunkte gemeinsam als geodätisches Netz auswerten. Das Koordinatensystem wird auf dieselbe Weise wie bisher, aber nur im Standpunkt 1 verankert.

Format Standpunktzeile Punktnamen (1. Spalte) und Messwerte (2.-5. Spalte)
zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:

Format Zielpunktzeile

zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:

Im Standpunkt 2 darf jetzt kein Orientierungs­winkel festgelegt werden, weil die Orientierung der Koordinatenachsen schon durch Teilkreisnull auf Standpunkt 1 definiert wurde. Man könnte die Reihenfolge der Standpunkt­zeilen­elemente ändern, oder man markiert ein leeres Feld durch '';;''. Siehe hierzu Tabellarische Datensätze

lightbulb

Berechne neu . Berechnungsdauer maximal s lightbulb.

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Ausgleichung bereits im Universalrechner

1 benutzte bekannte Punkte: Standpktsystem 1, kartesisches Linkssystem

PNameYX
1 100.0000000000 100.0000000000 100.000000000

Eingabe-Messwerte

o steht für Orientierungswinkel,
r steht für Horizontalrichtung,
v steht für Zenitwinkel,
s steht für Schrägdistanz
und th für Zielhöhe.

Diese Messwerte werden als geodätisches Netz nach dem für den Universalrechner typischen Algorithmus berechnet, also robust ausgeglichen. Die Spannweiten sind klein, z.B. bei den Neupunktkoordinaten bis 0.002. Das zeigt die Stimmigkeit der Messwerte.

StandPnameoih  
1 0 0    
ZielPnamervs th
2 388.8000 108.4130 7.740000   0
A 291.3690 88.3510 7.183000   0
B 299.1060 100.7960 6.484000   0
C 296.7620 103.6990 8.743000   0
D 326.9470 91.7740 7.824000   0
StandPnameoih  
2   0    
ZielPnamervs th
1 181.8400 91.58600 7.740000   0
D 251.5860 82.53200 7.485000   0
E 262.6960 70.06600 7.335000   0
F 281.3110 64.74200 7.621000   0
G 300.9970 67.89600 9.083000   0

8 berechnete Punkte: Standpktsystem 1, kartesisches Linkssystem

Nun die Koordinaten der Zielpunkte in Liste 1 laden und speichern.

PNameYXZ
A 93.0017298435 99.0453502851 101.3070377725
B 93.5171461163 99.9089558222 99.9189291671
C 91.2830417101 99.5562519888 99.4922846512
D 92.9261616605 103.1871522876 101.0082299145
E 92.8467453449 104.5538908313 102.3032318870
F 92.2848111808 106.3665124772 102.9882517339
G 90.7665281289 108.5453180233 103.3687545440
2 98.6566971757 107.5540016892 98.9799889138
Diese Liste in Glühbirne

Berechnung des Zylinders

Die berechneten Koordinaten der beiden Varianten unterscheiden sich kaum: nur um maximal 0.0004. Zum Beweis kann man beide in verschiedene Listen speichern und Beide Listen vergleichen. Weiter arbeiten wir nur mit den Koordinaten von Variante 1.

IN DUBIO PRO GEO Ausgleichung : Ausgleichende Flächen

Nun wird durch die Punkte A,B,C eine Ebene berechnet, die Grundebene des Zylinders. D,E,F, werden senkrecht auf diese Ebene projiziert.

Durch gegebene Stützpunkte im 3D-Raum wird eine ausgleichende (d.h. bestanpassende) Fläche (Ebene, Kugel, Ellipsoid oder allgemeine Quadrik) berechnet. Auch eine Ebene durch 3 Punkte, eine Kugel durch 4 Punkte usw. kann berechnet werden. Weitere Punkte können auf die Flächen projiziert werden.

Notiz Glühbirne

Stützpunkte Punktnamen und je drei Koordinaten


Systemtyp:

Spaltenformat:


Glühbirne
Zu projizierende Punkte Punktnamen und Koordinaten
Typ & Format wie oben

2D-Punkt: Finde dritte Koordinate, so dass Punkt auf der Fläche liegt.

3D-Punkt: Finde nächst­gelegenen Punkt auf der Fläche und berechne Abstand.

Liste 1 laden, die Punkte 1 und 2 löschen und Punkte D,E,F,G in ''Zu projizierende Punkte'' verschieben. Gewichte werden nicht benötigt.

Die Berechnung soll maximal s dauern.Glühbirne
Überspringe ausgl. Ebene Kugel Ellipsoid/elliptisches Hyperboloid Quadrik.Glühbirne

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ausgleichung : Ausgleichende Flächen

Ausgleichende Ebene

0.86268862705885 · X -0.22289007105199 · Y + 0.45396954630213 · Z = 110.70642790396

projizierte PunkteDifferenzvektoren
PnameYXZ YXZ
D 93.696010917 100.20713491 99.440112599 -0.7699 2.9798 1.5681
E 94.014556840 100.03431323 99.924929296 -1.1677 4.5196 2.3783
F 93.898393030 100.12156273 99.702092962 -1.6135 6.2450 3.2863
G 92.913041798 100.23788297 98.997258999 -2.1464 8.3075 4.3716
Diese Liste in Glühbirne
Zylinder durch 7 Punkte
Projektion auf die Grundebene

Aus der Länge des Differenzvektors zwischen dem Punkt G und seiner Projektion entnimmt man direkt die Höhe des Zylinders: (2.1464²+8.3075²+4.3716²)½=9.63. Der Radius des Zylinders stimmt mit dem Radius des Kreises durch die projizierten Punkte D,E,F überein, den man wie folgt berechnet: Laden Sie die projizierten Punkte in Räumliche Polygone und löschen Sie vor dem Berechnen den Punkt G.

IN DUBIO PRO GEO 3D-Raum : Räumliche Polygone

Räumliche Polygone werden aus gegebenen Eckpunktkoordinaten berechnet: schräge Polygon- und Zenitwinkel, Seitenlängen, Umfang etc.

Winkeleinheit    Notiz Glühbirne

System Punktnamen und je drei Koordinaten

Systemtyp:
Spaltenformat:

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO 3D-Raum : Räumliche Polygone

Standpktsystem 1, kartesisches Linkssystem

PNameYXZPolygonwinkel Glühbirne
D 93.696010917 100.20713491 99.440112599 394.76511997
E 94.014556840 100.03431323 99.924929296 393.26619667
F 93.898393030 100.12156273 99.702092962 211.96868336
Winkel und Seitenlänge
beim räumlichen Polygon
α= Polygonwinkel, s= Seitenlänge, v= Zenitwinkel, β= Höhenwinkel

Seitenlängen und Vertikalwinkel

vonnachSeitenlängeZenitwinkelHöhenwinkel
D E 0.6052983296 40.86512117 59.134878829
E F 0.2660122887 163.21909375 -63.219093745
F D 0.3419281039 155.56952996 -55.569529961

Flächeninhalt -0.0084998517816189 Glühbirne
Umfang 1.2132387222572    
Umkreisradius 1.6193272686965
Inkreisradius 0.014011837284265

Ergebnis und Rechenprobe

Aus dem Radius 1.62 m und der Höhe 9.63 m berechnet man schnell das Volumen des Zylinders: π·1.62² m²· 9.63 m = 79.4 m³.
Rechenprobe für Variante 1: Wiederholen Sie die Berechnung mit Standpunktsystem 2, welches noch immer in Liste 2 zur Verfügung steht.
Rechenprobe für Variante 2: Wiederholen Sie die Berechnung, indem Sie das Koordinatensystem im Standpunkt 2 verankern.
Radius und Höhe stimmen überein.

Auch interessant

Koordinatenliste 1 bearbeiten
Koordinatenliste 1 ansehen
Koordinatenliste 2 bearbeiten
Koordinatenliste 2 ansehen
Beide Listen vergleichen
Räumliche Polygone
Transf. über identische Punkte
Ausgleichende Flächen
Universalrechner
Erste Schritte
Koordinatenlisten
Messwertlisten
Universalrechner
Ausgleichende Flächen
Transf. über identische Punkte
Rechteck durch fünf Punkte
©Rüdiger Lehmann    Impressum
26.09.2017 20:14 (Zeitzone Berlin)
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