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Tutorium : Rechteck durch fünf Punkte

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Aufgabe Variante 1 über Objektkoordinatensystem Variante 2 über Standpunktkoordinatensystem Variante 3 über Transformationen Rechenprobe Auch interessant In der Bibliothek

Die Tutorien erläutern die Funktion von IN DUBIO PRO GEO anhand von Praxisbeispielen. Die Lösungen zu den Aufgaben sind mittels vorausgefüllter Formulare nachvollziehbar. In den Auswahlfeldern stehen nicht alle Optionen zur Verfügung. Die Formulare lassen sich mit der Schaltfläche absenden und so die Ergebnisse betrachten. Um das zu ersparen, sind die Ergebnisse im Tutorium auszugsweise dargestellt. Die wesentlichen Zwischen- und Endergebnisse sind durch goldfarbene Boxen hervorgehoben. Die Lösungen sind in weiteren goldfarbenen Boxen kommentiert.

Aufgabe

Rechteck durch 5 Punkte
Rechteck durch 5 Punkte

An den Wänden eines rechteckigen Innenraumes wurden mit Tachymeter oder Laserscanner im Standpunkt S fünf Zielpunkte A,B,C,D,E wie in der Abbildung dargestellt gemessen. Dabei wurden folgende Messwerte erhalten:

Zielpunkt Horizontalrichtung [gon] Horizontaldistanz [m]
   A             0.000                6.530
   B           115.549                7.143
   C           151.534                9.509
   D           219.345                6.132
   E           360.650                7.800

Berechnen Sie die Seitenlängen des Rechtecks P1P2P3P4.

Variante 1 über Objektkoordinatensystem

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Aus Punktkoordinaten und polaren Messwerten werden alle möglichen Größen berechnet. Rechenregeln zwischen diesen Größen werden aufgestellt und nacheinander angewendet, bis keine neuen Werte mehr erhalten werden, und zwar auf jede mögliche Weise. Dadurch ergeben sich oft viele verschiedene Ergebnisse, deren Vergleich zur Aufdeckung grober Fehler genutzt werden kann. Die Mediane der berechneten Werte stellen dann das Ergebnis einer robusten Schätzung dar.

Winkeleinheit    Notiz

Bekannte Punkte Punktnamen und Koordinaten

Systemtyp:

Spaltenformat:

Wir legen ein lokales Koordinaten-system in A fest. Die X-Achse verläuft parallel zur Rechteckseite durch A, weil unten der Orientierungswinkel auf A und Horizontalrichtung von A nach B gleich gesetzt sind.

Format Standpunktzeile Punktnamen (1. Spalte) und Messwerte (2.-5. Spalte)
zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:

Format Zielpunktzeile

zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:

Wir simulieren Richtungsmessungen auf A,C,D und E. Die ''gemessenen'' Winkel zu den Eckpunkte und zu B sind jeweils gestreckte Winkel (200 gon). Hierdurch wird vorgegeben, dass die Punkte A,B,C,D,E auf den Wänden liegen. Mit den Orientierungswinkeln 0,100,200,300 wird außerdem vorgegeben, dass die Wände parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Schließlich folgen die eigentlichen Messwerte auf S.

Die Reihenfolge der Standpunkte und der Zielpunkte je Standpunkt ist immer beliebig.

Erdkrümmung korrigieren mit Erdradius lightbulb

Berechne neu . Berechnungsdauer maximal s lightbulb.

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Lösung über Objektkoordinatensystem

1 benutzte bekannte Punkte: Standpktsystem, kartesisches Linkssystem

PNameYX
A 100.00000000 100.00000000

Eingabe-Messwerte

o steht für Orientierungswinkel, r steht für Horizontalrichtung und e für Horizontaldistanz.

StandPnameo
A 0      
ZielPnamere
B 0        
P1 0        
P4 200.0000        

Rechenablauf: Zunächst werden aus Orientierungswinkeln und Richtungen für alle vier Wände Richtungswinkel erhalten. Dann wird eAB mit Kosinussatz im Standpunkt S berechnet und danach B mit polarem Anhängen im Standpunkt A. Nun wird S über Bogenschnitt berechnet. Die Zweideutigkeit wird mit den Richtungen aufgelöst. Daraus können die Punkte C,D,E jeweils mit polarem Anhängen im Standpunkt S berechnet werden. Schließlich ergeben sich ausgehend von diesen Punkten die vier Eckpunkte P1,P2,P3,P4 jeweils mit Vorwärtsschnitt. Letztlich werden daraus die Seitenlängen mit 9.365 m und 17.265 m erhalten.

StandPnameo
C 100.0000      
ZielPnamere
P2 0        
P1 200.0000        
StandPnameo
D 200.0000      
ZielPnamere
P3 0        
P2 200.0000        
StandPnameo
E 300.0000      
ZielPnamere
P4 0        
P3 200.0000        
StandPnameo
S        

IN DUBIO PRO GEO findet den Rechenweg allein.

ZielPnamere
A 0 6.530000      
B 115.5490 7.143000      
C 151.5340 9.509000      
D 219.3450 6.132000      
E 360.6500 7.800000      

Ergebnisse

Die '1' in Spalte 'Werte' zeigt an, dass die Berechnung eindeutig ist.

GrößevonnachWerteMinimumMedianMaximum …
X B 110.7806464
Y B 1 100.0000000
X C 114.4917222
Y C 1 103.5994565
X D 108.3035527
Y D 1 109.3652684
X E 97.22665400
Y E 1 103.5734389
X P1 114.4917222
Y P1 1 100.0000000
X P2 114.4917222
Y P2 1 109.3652684
X P3 97.22665400
Y P3 1 109.3652684
X P4 97.22665400
Y P4 1 100.0000000
X S 105.0015919
Y S 1 104.1982113
... ...
e P1 P2 1 9.365268414
e P1 P4 1 17.26506823
e P2 P3 1 17.26506823
e P3 P4 1 9.365268414
... ...

Winkeleinheit = Gon

Variante 2 über Standpunktkoordinatensystem

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Aus Punktkoordinaten und polaren Messwerten werden alle möglichen Größen berechnet. Rechenregeln zwischen diesen Größen werden aufgestellt und nacheinander angewendet, bis keine neuen Werte mehr erhalten werden, und zwar auf jede mögliche Weise. Dadurch ergeben sich oft viele verschiedene Ergebnisse, deren Vergleich zur Aufdeckung grober Fehler genutzt werden kann. Die Mediane der berechneten Werte stellen dann das Ergebnis einer robusten Schätzung dar.

Winkeleinheit    Notiz

Bekannte Punkte Punktnamen und Koordinaten

Systemtyp:

Spaltenformat:

Wir legen ein lokales Koordinaten-system in S fest. Die X-Achse verläuft in Richtung Teilkreisnull (r=0) von S, weil unten für Standpunkt S der Orientierungswinkel 0 gegeben wird.

Format Standpunktzeile Punktnamen (1. Spalte) und Messwerte (2.-5. Spalte)
zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:

Format Zielpunktzeile

zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:

Wir simulieren Richtungsmessungen auf drei Eckpunkten P1,P2,P3. Die ''gemessenen'' Winkel sind jeweils rechte Winkel, sodass diese Punkte ein Rechteck bilden. Der vierte Winkel ergibt sich automatisch über die Innenwinkelsumme. Gleichzeitig wird durch die Richtungen zu A,B,C,D,E festgelegt, dass diese Punkte auf den entsprechenden Wänden des Innenraums liegen. Schließlich folgen die eigentlichen Messwerte auf S.

Tipp: Sie können Zahlen nicht nur mit Dezimalkomma eingeben, sondern erhalten sie auf Wunsch auch so. (Ausgabe­dezimal­trenn­zeichen in Einstellungen auf Komma setzen)

Erdkrümmung korrigieren mit Erdradius lightbulb

Berechne neu . Berechnungsdauer maximal s lightbulb.

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Lösung über Standpunktkoordinatensystem

1 benutzte bekannte Punkte: Standpktsystem, kartesisches Linkssystem

PNameYX
S 100.00000000 100.00000000

Eingabe-Messwerte

o steht für Orientierungswinkel, r steht für Horizontalrichtung und e für Horizontaldistanz.

StandPnameo
P1        
ZielPnamere
P4 0        
A 0        
B 0        
P2 300.0000        
C 300.0000        

Zunächst werden die Koordinaten von A,B,C,D,E im Standpunktsystem von S jeweils mit polarem Anhängen berechnet. Ein Richtungswinkel zwischen A und B wird nicht berechnet, weil zwischen den Punkten keine Zielung stattfand. Notfalls kann hilfsweise ein blinder Zielpunkt eingefügt werden. Das ist hier aber nicht nötig, denn P1 ergibt sich mit Rückwärtsschnitt über A,B,C. Nun ergeben sich die Richtungswinkel der Wände und die Punkte P2,P3,P4 erhält man jeweils mit Vorwärtsschnitt. Letztlich können daraus die Seitenlängen mit 9.365 m und 17.265 m erhalten werden.

StandPnameo
P2        
ZielPnamere
P1 0        
P3 300.0000        
StandPnameo
P3        
ZielPnamere
P2 0        
D 0        
P4 300.0000        
E 300.0000        
StandPnameo
S 0      
ZielPnamere
A 0 6.530000      
B 115.5490 7.143000      
C 151.5340 9.509000      
D 219.3450 6.132000      
E 360.6500 7.800000      

Ergebnisse

GrößevonnachWerteMinimumMedianMaximumSpannweite
X A 106.5300000
Y A 1 100.0000000
X B 98.27266561
Y B 1 106.9310003
X C 93.11607052
Y C 1 106.5599235
X D 94.14893445
Y D 1 98.16520957
X E 106.3568137
Y E 1 95.47994249
X P1 95.43020206
Y P1 1 109.3168932
X P2 89.40916438
Y P2 1 102.1436542
X P3 102.6331805
Y P3 1 91.04374529
X P4 108.6542182
Y P4 1 98.21698429
... ...
e P1 P2 1 9.365268414
e P1 P3 1 19.64155883
e P1 P4 1 17.26506823
e P2 P3 1 17.26506823
e P2 P4 1 19.64155883
e P3 P4 1 9.365268414
... ...

Winkeleinheit = Gon

Variante 3 über Transformationen

IN DUBIO PRO GEO : Transformationen über identische Punkte

Identische Punkte werden verwendet, um zwischen zwei Koordinatensystemen Transformationsparameter zu berechnen. Alle ebenen oder räumlichen Transformationen werden berechnet, die mit diesen Punkten berechenbar sind. In beiden Systemen können nicht identische Punkte gegeben sein, diese werden mit den berechneten Parametern transformiert.

Winkeleinheit   Notiz

Startsystem Punktnamen und Koordinaten Rechteck durch 5 Punkte

Diese Lösung führt zwischen Standpunkt- und Objektsystem eine Transformation durch und benutzt dazu schon die kartesischen Koordinaten von A,B,C,D,E aus der vorangegangenen Lösung. Im Objektsystem setzen wir zur Vereinfachung die Koordinaten in der Längeneinheit eAB fest.



Systemtyp:

Spaltenformat:

Zielsystem Punktnamen und Koordinaten


Systemtyp:

Spaltenformat:


für erste, zweite (und dritte) Koordinate Glühbirne
Startsystem
Zielsystem

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO : Transformationen über identische Punkte

Lösung über Transformationen

Standpktsystem, kartesisches Linkssystem ⇒ Objektsystem, kartesisches Linkssystem

Standpktsystem: 5 Punkte, Objektsystem: 2 Punkte, 2 identische Punkte

Die einzige sinnvoll berechenbare Transformation ist eine Helmert-Transformation, und so wird nur diese berechnet. Weil für nur zwei identische Punkte A,B keine Ausgleichung erfolgen kann, können Gewichte fehlen.

Pnameyx YX
A 100.0000 106.5300 100.00000 100.00000
B 106.9310 98.2730 100.00000 101.00000
C 106.5600 93.1160
D 98.1650 94.1490
E 95.4800 106.3570

Helmert Transformation

Aus den Objektkoordinaten von A...E können direkt die Objektkoordinaten der Eckpunkte abgelesen werden. Beispiel: Der Punkt P2 hat dieselbe Y-Koordinate wie D, also 100.86876, und dieselbe X-Koordinate wie C, also 101.34427. Die Eckpunkte müssen schließlich noch ins Standpunktsystem transformiert werden. Hierzu ist die Schaltfläche ''Objektsystem ⇒ Standpktsystem'' nützlich. Es werden die Parameter der Rücktransformation berechnet und in die Eingabemaske geladen.

X
Y
=
101.604916
113.458117
+
-0.07104824 0.05963853
-0.05963853 -0.07104824
.
x
y

exakte Lösung ⇒ keine Restklaffungen

berechn.StandpktsystemObjektsystem
Punkteyx YX
A 100.0000 106.5300 100.00000 100.00000
B 106.9310 98.2730 100.00000 101.00000
C 106.5600 93.1160 100.33391 101.34427
D 98.1650 94.1490 100.86876 100.77021
E 95.4800 106.3570 100.33146 99.74273
beide Listen berechneter Punkte
Transformiere weitere Punkte auf diese Weise

Berechnete Transformationsparameter

Transform. Translationsparameter tx, ty Maßstabsfaktor(en) mx, my Rot.winkel ε
Helmert 101.604916 113.458117 0.09276102 -155.544000

IN DUBIO PRO GEO : Transformationen über Parameter

Punkte in der Ebene und im 3D-Raum werden mittels gegebener Parameter transformiert. Eine Folge von bis zu 13 Transformationsschritten kann abgearbeitet werden. Auf diese Weise können alle denkbaren Transformationen konfiguriert werden.

Winkeleinheit   Notiz

Startsystem Punktnamen und Koordinaten


Systemtyp:

Spaltenformat:

Die Eckpunkte P1...P4 werden in der Objekt-koordinatenliste manuell ergänzt.

ZielsystemTransformationsschritt, Art des Parameters, Wert


Systemtyp:
01
02
03
04
05

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO : Transformationen über Parameter

Ziel: Standpktsystem, kartesisches Linkssystem

6 Punkte

Tatsächlich gelangen die Punkte A, B an ihre alten Positionen zurück. Alle Neupunkte wurden erfolgreich berechnet. Nun geht es noch darum, die Seitenlängen des Rechtecks zu berechnen. Als Probe sollte man zunächst alle transformierten Punkte als Koordinatenliste speichern und als ebenes Polygon berechnen.

PNameYX
A 100.00000000 106.53000000
B 106.93100000 98.27300000
P1 109.31713461 95.43036352
P2 102.14379823 89.40900050
P3 91.04349185 102.63295517
P4 98.21682822 108.65431819

Rechenprobe

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Polygone

Ebene Polygone werden aus gegebenen Eckpunktkoordinaten berechnet: ebene Polygon- und Richtungswinkel, Seitenlängen, Flächeninhalt, Umfang etc.

Winkeleinheit    Notiz

Die Berechnung der Punkte als Polygon sollte nur rechte und gestreckte Polygonwinkel ergeben.

System Punktnamen und Koordinaten


Systemtyp:

Spaltenformat:


offenes Polygon

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Polygone

Standpktsystem, kartesisches Linkssystem

9 Punkte

Alle Ergebnisse sind korrekt.

Die Seitenlängen des Rechtecks erhält man durch Löschen der Punkte A, B aus dem Polygon als Seitenlängen des nun verbleibenden Vierecks. Sie lauten 9.365 m und 17.265 m.

PNameY  X  Polygonwinkellightbulb
A 100.00000000 106.53000000 199.99999997
B 106.93100000 98.27300000 200.00000005
P1 109.31713461 95.43036352 99.99999995
P2 102.14379823 89.40900050 99.99999998
P3 91.04349185 102.63295517 100.00000006
P4 98.21682822 108.65431819 99.99999998

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