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Einführung Transformationsschritte Translation = Verschiebung Skalierung = Maßstabsänderung Rotation = Drehung Transvektion = Scherung Ebene Transformationen (2D) Räumliche Transformationen (3D) Beispiel: Quader um Mittelachse drehen Was möchten Sie jetzt tun? In der Bibliothek

Einführung

Rechtssystem
Rechtssystem
Linkssystem
Linkssystem

IN DUBIO PRO GEO berechnet ebene und räumliche Koordinatentransformationen, das sind Umrechnungen von Punktkoordinaten eines Startsystems in Koordinaten eines Zielsystems. Es wird nicht vorausgesetzt, dass die Achsen der Systeme irgendwie näherungsweise ausgerichtet sind. Koordinaten werden über Koordinatenlisten eingegeben.

Kartesische Linkssysteme, kartesische Rechtssysteme (XYZ) und Gittersysteme (Nordwert,Ostwert,Höhe) können transformiert werden. Ellipsoidische Systeme (Länge,Breite,Höhe) müssen erst mit Koordinaten­umwandlung umgerechnet werden. Siehe Koordinatensystemtyp.

Die Koordinaten im Startsystem werden immer mit x,y,z und die im Zielsystem mit X,Y,Z bezeichnet. Bei Gitterkoordinaten entspricht Nord = x und/oder X, Ost = y und/oder Y und Höhe = z und/oder Z.

Transformationsschritte

Jede Transformation kann man sich als eine Folge von elementaren Transformationsschritten vorstellen. Durch beliebige Kombination der Schritte

mit den Parametern

Verschiebungs- und DrehungsparameterMaßstabs- und Scherparameter
txVerschiebung entlang der x-AchsemxMaßstabsfaktor der x-Achse
tyVerschiebung entlang der y-AchsemyMaßstabsfaktor der y-Achse
tzVerschiebung entlang der z-AchsemzMaßstabsfaktor der z-Achse
mxyMaßstabsfaktor für x- und y-Achse
εxEuler-Winkel für Drehung um x-AchsemMaßstabsfaktor für alle Achsen
εyEuler-Winkel für Drehung um y-AchsefxyScherfaktor für y- gegen x-Achse
εzEuler-Winkel für Drehung um z-AchsefyxScherfaktor für x- gegen y-Achse
ε2D Drehwinkel (identisch mit εz)fxzScherfaktor für z- gegen x-Achse
oder Drehwinkel um Euler-Achse fzxScherfaktor für x- gegen z-Achse
exEuler-Achse, x-VektorkomponentefyzScherfaktor für z- gegen y-Achse
eyEuler-Achse, y-VektorkomponentefzyScherfaktor für y- gegen z-Achse
ezEuler-Achse, z-VektorkomponenteτxyScherwinkel für y- gegen x-Achse
τyxScherwinkel für x- gegen y-Achse
q0Quaternion, nullte Komponente τxzScherwinkel für z- gegen x-Achse
q1Quaternion, erste Komponente τzxScherwinkel für x- gegen z-Achse
q2Quaternion, zweite Komponente τyzScherwinkel für z- gegen y-Achse
q3Quaternion, dritte Komponente τzyScherwinkel für y- gegen z-Achse

sind alle relevanten Transformationstypen darstellbar. Insgesamt können bis zu 13 elementare Schritte beliebig kombiniert werden. Diese werden in der gegebenen Reihenfolge abgearbeitet. Es ist z.B. möglich, nach einer Translation und einer Drehung eine weitere Translation folgen zu lassen. Die Spiegelung wird automatisch dann vollzogen, wenn das Startsystem ein Linkssystem und das Zielsystem ein Rechtssystem ist oder umgekehrt. In vielen Fällen hängt das Transformationsergebnis von der Reihenfolge der Transformationsschritte ab.

Die Transformationsschritte, die die z-Koordinate einbeziehen, erfordern, dass alle Punkte drei Koordinaten besitzen.

STARTSeitenanfang Translation = Verschiebung

Bei ebenen Transformationen können zwei Translationsparameter tx , ty, bei räumlichen Transformationen drei Translationsparameter tx , ty , tz gegeben werden. Diese werden in der natürlichen Längeneinheit erwartet, also bei Gittersystemen ohne Gittermaßstab. Ist das aber gewünscht, müssen Gittersysteme in kartesische Systeme umdeklariert werden, siehe Trickkiste. Fehlende Translationsparameter gelten als Null.

X
Y
=
tx
ty
+
x
y
X
Y
Z
=
tx
ty
tz
+
x
y
z

STARTSeitenanfang Skalierung = Maßstabsänderung

Maßstabsparameter sind Maßstabsfaktoren, mit denen die Koordinaten multipliziert werden. Bei ebenen Transformationen werden bis zu zwei Maßstabsparameter mx , my , bei räumlichen Transformationen werden bis zu drei Maßstabsparameter mx , my , mz akzeptiert. Alle Maßstabsparameter müssen positiv sein und schließen nicht die Gittermaßstabsfaktoren ein. Ist das aber gewünscht, müssen Gittersysteme in kartesische Systeme umdeklariert werden, siehe Trickkiste. Fehlende Maßstabsparameter gelten als Eins.

X
Y
=
mx·x
my·y
X
Y
= m·
x
y
X
Y
Z
=
mx·x
my·y
mz·z
X
Y
Z
=
mxy·x
mxy·y
mz·z
X
Y
Z
= m·
x
y
z

STARTSeitenanfang Rotation = Drehung

Die Transformationsgleichung der ebenen Drehung lautet:

X
Y
=
cos(ε)−sin(ε)
sin(ε) cos(ε)
·
x
y

Bei allen räumlichen Transformationen kann eine räumliche Drehung erfolgen, die auf die folgenden drei verschiedenen Arten beschrieben werden kann:

(a) mit Euler-Winkel εx oder εy oder εz:

X
Y
Z
=
1 0 0
0cosεx-sinεx
0sinεxcosεx
·
x
y
z
X
Y
Z
=
cosεy0sinεy
 01 0
-sinεy0cosεy
·
x
y
z
X
Y
Z
=
cosεz-sinεz 0
sinεzcosεz0
0 01
·
x
y
z

Die gesamte Drehung kann man in eine Folge von drei Drehungen um Koordinatenachsen zerlegen. Jede Reihenfolge kann verwendet werden. Das Vertauschen von Drehungen ändert normalerweise das Ergebnis.

(b) mit dem Quadrupel der Einheitsquaternion (q0 , q1 , q2 , q3). Eine Quaternion erlaubt in vielen Fällen eine rechnerisch elegantere Beschreibung von Drehungen in drei Dimensionen:

X
Y
Z
=
q0²+q1²- q2²−q3²   2(q1·q2−q0·q3)2(q1·q3+q0·q2)
2(q1·q2+q0·q3)q0²−q1²+q2²−q3²   2(q2·q3−q0·q1)
2(q1·q3−q0·q2)2(q2·q3+q0·q1)q0²−q1²−q2²+q3²
·
x
y
z

Sollte keine Einheitsquaternion mit q0²+q1²+q2²+q3²=1 gegeben werden, wird diese normiert.

(c) mit Euler-Achse (ex , ey , ez) als Einheitsvektor und Drehwinkel ε um diese Achse:

X
Y
Z
=
cosε+ex²(1-cosε)exey(1-cosε)-ezsinε exez(1-cosε)+eysinε
exey(1-cosε)+ezsinε   cosε+ey²(1-cosε) eyez(1-cosε)-exsinε
exez(1-cosε)-eysinεeyez(1-cosε)+exsinε    cosε+ez²(1-cosε)
·
x
y
z
Linkssystem (links)
und Rechtssystem (rechts),
ebene Drehung oder um z-Achse
Linkssystem (links) und Rechtssystem (rechts), ebene Drehung oder um z-Achse

Die Drehung wird hier um eine schräg im Raum liegende Achse durch den Koordinatenursprung beschrieben, die sogenannte Euler-Achse. Sollte die Richtung dieser Achse nicht als Einheitsvektor mit ex²+ey²+ez²=1 gegeben werden, wird dieser normiert.

Alle Winkel ε, εx, εy, εz, ε werden zwischen -π = -180° = -200 gon und π = 180° = 200 gon und in der gewählten Winkeleinheit erwartet. Sie sind

definiert. Der Blick ist hierfür entgegen der Drehachse gerichtet. Es sind auch andere Festlegungen gebräuchlich, vor allem in nicht-geodätischen Bereichen.

Sowohl die Parameter q0, q1, q2, q3, als auch die Parameter ex, ey, ez, ε bilden eine Einheit und müssen in der Liste der Transformationsparameter alle vier aufeinander folgen, wobei die Reihenfolge innerhalb der Gruppe beliebig ist.

STARTSeitenanfang Transvektion = Scherung

Die Scherung ist eine affine Abbildung der Ebene auf sich selbst, bei der der Inhalt von geometrischen Flächen erhalten bleibt, Winkel sich jedoch ändern.

X
Y
=
1tan(τxy)
0 1
·
x
y
=
1fxy
0 1
·
x
y
X
Y
=
 10
tan(τyx)1
·
x
y
=
 10
fyx1
·
x
y
X
Y
Z
=
1tan(τxy)0
0 10
0 01
·
x
y
z
=
1fxy0
0 10
0 01
·
x
y
z
X
Y
Z
=
10fxz
01 0
00 1
·
x
y
z
X
Y
Z
=
 100
fyx10
 001
·
x
y
z
X
Y
Z
=
10 0
01tan(τyz)
00 1
·
x
y
z
=
10 0
01fyz
00 1
·
x
y
z
X
Y
Z
=
 100
 010
fzx01
·
x
y
z
X
Y
Z
=
1 00
0 10
0fzy1
·
x
y
z
Linkssystem (links) und
Rechtssystem (rechts),
Scherung von y- gegen x-Achse
(oben) und umgekehrt (unten)
Linkssystem (links) und Rechtssystem (rechts), Scherung von y- gegen x-Achse (oben) und umgekehrt (unten)

Entweder die Scherparameter f oder die Scherwinkel τ können angegeben werden. Alle Winkel werden zwischen -π/2 = -90° = -100 gon und π/2 = 90° = 100 gon und in der gewählten Winkeleinheit erwartet. Fehlende Scherparameter gelten als Null.

Hinweis: Zwei aufeinanderfolgende Scherungen mit f=fyx=-fxy ≠ 0 ergeben nicht dasselbe wie eine Drehung mit τ=arctan(f). Die Winkel bleiben nicht erhalten:

X
Y
=
 1  fxy
fyx fyx·fxy+1
·
x
y
=
1-f
f1-f²
·
x
y

STARTSeitenanfang Ebene Transformationen (2D)

Die Transformationsschritte können unter anderem zu den folgenden ebenen Transformationen zusammengesetzt werden:

TransformationParameterAnzahl
Affintx , ty , mx , my , ε , τxy   6
5-Parameter Typ 1tx , ty , mx , my , ε   5
5-Parameter Typ 2tx , ty , m , τ , ε   5
5-Parameter Typ 3tx , ty , ε , mx , my  5
5-Parameter Typ 4tx , ty , m , ε , τ   5
Helmerttx , ty , m , ε   4
mit festem Maßstabtx , ty , ε   3

STARTSeitenanfang Räumliche Transformationen (3D)

Die Transformationsschritte können unter anderem zu den folgenden räumlichen Transformationen zusammengesetzt werden:

TransformationParameterAnzahl
Affintx , ty , tz , mx , my , mz, εx , εy , εz , τxy , τxz , τyz  12
9-Parameter Typ 1 tx , ty , tz , mx , my , mz , εx , εy , εz   9
9-Parameter Typ 2 tx , ty , tz , εx , εy , εz , mx , my , mz   9
Helmert tx , ty , tz , m , εx , εy , εz   7
mit festem Maßstab tx , ty , tz , εx , εy , εz   6

Alternativ zu den Euler-Winkeln εx , εy , εz werden auch eine Quaternion (q0 , q1 , q2 , q3) oder Euler-Achse (ex , ey , ez) und Drehwinkel ε um diese Achse akzeptiert.

STARTSeitenanfang Beispiel: Quader um Mittelachse drehen

Quader um Mittelachse drehen
Quader um Mittelachse drehen

Die folgenden Punkte mit Koordinaten in einem kartesischen Linkssystem bilden die Eckpunkte eines Quaders (ABCD=Grundfläche, EFGH=Deckfläche):

       X       Y       Z
A   14.034  17.043   8.067
B   23.605  29.759   5.522
C   42.146  16.239   7.807
D   32.585   3.537  10.349
E   14.281  20.222  24.877
F   23.842  32.924  22.335
G   42.393  19.418  24.617
H   32.841   6.711  27.167

Dieser soll um 45° um seine Mittelachse parallel zu AE (⇑ Abbildung) von oben gesehen entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht werden. Der bei der Drehung festzuhaltende Punkt könnte der Mittelpunkt M des Quaders

M   28.2159 18.2316 16.3426

berechnet aus dem Mittel aller Koordinaten z.B. mit einem Tabellenkalkulationsprogramm sein, oder auch der Mittelpunkt der Grund- oder Deckfläche sein. Die Euler-Achse e wird durch den Vektor

AE=
14.281-14.034
20.222-17.043
24.877-8.067

beschrieben. Weil bei Linkssystemen und Blickrichtung entgegen der Drehachsrichtung der Drehwinkel positiv im Uhrzeigersinn definiert ist (⇑), muss der Drehwinkel ε=−45° eingegeben werden. (Alternativ könnte auch EA statt AE als Achsvektor verwendet werden.)

und Rechnen

Das Ergebnis ist

X
Y
Z
=
-2.33842866
23.6949266
-4.44667340
+
0.70716782 0.69550488 -0.12722668
-0.69393365 0.71721800 0.06367434
0.13553508 0.04325843 0.98982774
.
x
y
z
PNameXYZ
A 18.4131166747 26.6934690300 6.1776196987
B 34.3492519040 29.0099229729 5.5057885573
C 37.7669114811 6.5924075628 9.6956467711
D 21.8479666784 4.2788643123 10.3664693981
E 18.6601166747 29.8724690300 22.9876196987
F 34.5790614774 32.1860122804 22.3167970717
G 38.0139114811 9.7714075628 26.5056467711
H 22.0968358509 7.4485422141 27.1853915435

Aufgabe: Führen Sie mit diesen Koordinatenlisten eine Transf. über identische Punkte durch. Alle Restklaffungen müssen Null sein, unabhängig von der Gewichtung. Vergessen Sie trotzdem nicht, Gewichte festzulegen.

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KoordinatenlisteKoordinatenliste 1 bearbeiten
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Transf. über identische Punkte
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TutoriumGleichseitiges Dreieck-Raster
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