temporarily no english available START Anleitung Einstellungen Zeitleiste Ein Problem melden Seitenende

Tutorium : Hansensche Aufgabe

Seiteninhalt

Aufgabe Variante 1: Vorwärtsschnitte und Transformation Variante 2: Vierecksberechnung und Polarpunkte Rechenprobe Was möchten Sie jetzt tun? In der Bibliothek

Die Tutorien erläutern die Funktion von IN DUBIO PRO GEO anhand von Praxisbeispielen. Die Lösungen zu den Aufgaben sind mittels vorausgefüllter Formulare nachvollziehbar. In den Auswahlfeldern stehen nicht alle Optionen zur Verfügung. Die Formulare lassen sich mit der Schaltfläche absenden und so die Ergebnisse betrachten. Um das zu ersparen, sind die Ergebnisse im Tutorium auszugsweise dargestellt. Die wesentlichen Zwischen- und Endergebnisse sind durch goldfarbene Boxen hervorgehoben. Die Lösungen sind in weiteren goldfarbenen Boxen kommentiert.

Aufgabe

Hansensche Aufgabe
Hansensche Aufgabe

Die klassische Methode der Punktpaarbestimmung (Hansensche Aufgabe) geht von zwei unbekannten Standpunkten P,Q aus, auf denen die Gegensichtrichtungen rPQ und rQP sowie die Richtungen zu zwei Festpunkten A,B gemessen werden. Zu bestimmen ist das Punktpaar P,Q aus folgenden Werten:

Punkt   Y [m]     X [m]        
A      472.29    287.45
B      537.65    248.08

Standpunkt P    Horizontalrichtung            Standpunkt Q    Horizontalrichtung
 Zielpunkt A     0.000 gon                     Zielpunkt A      0.000 gon
 Zielpunkt Q    43.231 gon                     Zielpunkt B    297.850 gon
 Zielpunkt B    89.424 gon                     Zielpunkt P    371.323 gon

Dieses Problem ist nicht durch elementare Trigonometrie lösbar.

Variante 1: Vorwärtsschnitte und Transformation

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Aus Punktkoordinaten und polaren Messwerten werden alle möglichen Größen berechnet. Rechenregeln zwischen diesen Größen werden aufgestellt und nacheinander angewendet, bis keine neuen Werte mehr erhalten werden, und zwar auf jede mögliche Weise. Dadurch ergeben sich oft viele verschiedene Ergebnisse, deren Vergleich zur Aufdeckung grober Fehler genutzt werden kann. Die Mediane der berechneten Werte stellen dann das Ergebnis einer robusten Schätzung dar.

Winkeleinheit    Notiz

Bekannte Punkte Punktnamen und Koordinaten


Systemtyp:


Spaltenformat:

Ein lokales Hilfskoordinatensystem mit willkürlicher Längen-einheit wird definiert. Die x-Achse verläuft parallel zu PQ. Die Berechnung ist rein zweidimensional, also können alle Höhen weggelassen werden.

Format Standpunktzeile Punktnamen (1. Spalte) und Messwerte (2.-5. Spalte)
zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:

Format Zielpunktzeile

zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:

Im Hilfskoordinatensystem können A und B von P und Q durch Vorwärtsschnitte berechnet werden.
IN DUBIO PRO GEO findet den Rechenweg allein.

Tipp: Sie können Zahlen nicht nur mit Dezimalkomma eingeben, sondern erhalten sie auf Wunsch auch so. (Ausgabe­dezimal­trenn­zeichen in Einstellungen auf Komma setzen)

Erdkrümmung korrigieren lightbulb . Die Berechnung soll maximal s dauern. lightbulb

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

zwei Vorwärtsschnitte

2 benutzten bekannte Punkte: lokal, kartesisches Linkssystem

PNameYX
P 100.00000000 100.00000000
Q 100.00000000 200.00000000

Eingabe-Messwerte

Symbole:

o Orientierungswinkel rHorizontalrichtung eHorizontaldistanz
ihInstrumentenhöhe tRichtungswinkel sSchrägdistanz
thZielhöhe vZenitwinkel dhHöhendifferenz
StandPname    
P        
ZielPnamer    
A 0        
Q 43.23100        
B 89.42400        
StandPname    
Q        
ZielPnamer    
A 0        
B 297.8500        
P 371.3230        

Ergebnisse

Die '1' in Spalte 'Werte' zeigt an, dass die Berechnung eindeutig ist. Es wird empfohlen, die berechneten Punkte als Koordinatenliste zu speichern, um sie in der nachfolgenden Rechnung schnell wieder laden zu können.

GrößevonnachWerteMinimumMedianMaximum …
X A 137.4682149
Y A 1 69.75843115
X B 171.8082470
Y B 1 163.6954251
e A B 1 100.0169818
e A P 1 48.14997004
e A Q 1 69.46061211
e B P 1 95.98714248
e B Q 1 69.65545292
e P Q 1 100.0000000
o P 1 356.7690000
o Q 1 228.6770000
t A P 1 156.7690000
t A Q 1 28.67700000
t B P 1 246.1930000
t B Q 1 326.5270000
t P Q 1 0

Winkeleinheit = Gonlightbulb.

IN DUBIO PRO GEO : Transformationen über identische Punkte

Identische Punkte werden verwendet, um zwischen zwei Koordinatensystemen Transformationsparameter zu berechnen. Alle ebenen oder räumlichen Transformationen werden berechnet, die mit diesen Punkten berechenbar sind. In beiden Systemen können nicht identische Punkte gegeben sein, diese werden mit den berechneten Parametern transformiert.

Winkeleinheit   Notiz

Startsystem Punktnamen und Koordinaten Mit den nun in beiden Systemen bekannten Punkten A und B kann eine Transformation erfolgen, bei der P und Q ins Ausgangssystem transformiert werden. Die einzige sinnvoll berechenbare Transformation ist eine Helmert-Transformation, und so wird nur diese berechnet. Weil für nur zwei identische Punkte A,B keine Ausgleichung erfolgen kann, können Gewichte fehlen.


Systemtyp:

Spaltenformat:

Zielsystem Punktnamen und Koordinaten


Systemtyp:

Spaltenformat:


für erste, zweite (und dritte) Koordinate Glühbirne
Startsystem
Zielsystem

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO : Transformationen über identische Punkte

Transformation ins Ausgangssystem

lokal, kartesisches Linkssystem ⇒ Ausgangssystem, kartesisches Linkssystem

lokal: 5 Punkte, Ausgangssystem: 2 Punkte, 2 identische Punkte

Pnameyx YX
A 69.75843 137.46821 472.29000 287.45000
B 163.69543 171.80825 537.65000 248.08000
P 100.00000 100.00000
Q 100.00000 200.00000

Helmert Transformation

Der Maßstabsfaktor ist nicht nähe­rungsweise 1 wegen der willkürlich gewählten Längeneinheit.

X
Y
=
263.097649
357.236338
+
0.47861292 -0.59407461
0.59407461 0.47861292
.
x
y
berechn.lokalAusgangssystem
PunkteYX YX
A 69.7584312 137.4682149 472.2900000 287.4500000
B 163.6954251 171.8082470 537.6500000 248.0800000
P 100.0000000 100.0000000 464.5050904 251.5514801
Q 100.0000000 200.0000000 523.9125513 299.4127720

Für die Rechenprobe ist es nützlich, diese Koordinatenlisten zu speichern.

exakte Lösung ⇒ keine Restklaffungen

beide Listen berechneter Punkte
Transform. Translationsparameter tx, ty Maßstabsfaktor(en) mx, my Rot.winkel φ
Helmert 263.097649 357.236338 0.76288595 56.8261517

Seitenanfang Variante 2: Vierecksberechnung und Polarpunkte

Zunächst ist es nötig, die Horizontaldistanz eAB zu berechnen. Das geht am schnellsten mit Ebene Polygone. Alternativ kann eAB=100.0169818 aus der Universalrechner-Ergebnisliste der Lösungsvariante entnommen und mit dem Maßstabsfaktor m=0.76288594716549 aus der Transformation multipliziert werden. Diesen Schritt überspringen wir hier und nennen nur das Ergebnis: eAB=76.3015

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Vierecke

Aus fünf (fast) beliebigen gegebenen Größen eines ebenen Vierecks werden alle übrigen Größen berechnet, wahlweise einschließlich einer Fehlerfortpflanzung. Wenn zwei Lösungen existieren, werden beide berechnet.

Winkeleinheit    Notiz

P wird im konvexen Viereck mit A, Q mit C und A mit D identifiziert. B bleibt bestehen. Die Winkel werden aus den gemessenen Richtungen abgeleitet.

Größe Wert
konvexes Viereck konkaves Viereck
Wenn das Viereck konkav ist, muss A der innere Punkt sein.

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Vierecke

Hansensche Vierecksberechnung PBQA

PBQA wird als ebenes Viereck vollständig berechnet.

Berechnung lightbulbWert
α1=START 43.231000
α=START 89.424000
γ=START 102.15000
γ2=START 28.677000
f=START 76.301500
δ=π-α12 128.09200
α2=α-α1 46.193000
γ1=γ-γ2 73.473000
RA=f/abs(sin(α))/2 38.683321
RC=f/sin(γ)/2 38.172517
β=2π-α-γ-δ 80.334000
δ1=Hansen(α1212) 49.011201
β1212 31.495201
β2=β-β1 48.838799
δ2=δ-δ1 79.080799
a=2·RA·sin(δ2) 73.227194
d=2·RA·sin(β1) 36.732911
c=2·RC·sin(β2) 52.990490

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Aus Punktkoordinaten und polaren Messwerten werden alle möglichen Größen berechnet. Rechenregeln zwischen diesen Größen werden aufgestellt und nacheinander angewendet, bis keine neuen Werte mehr erhalten werden, und zwar auf jede mögliche Weise. Dadurch ergeben sich oft viele verschiedene Ergebnisse, deren Vergleich zur Aufdeckung grober Fehler genutzt werden kann. Die Mediane der berechneten Werte stellen dann das Ergebnis einer robusten Schätzung dar.

Winkeleinheit    Notiz

Bekannte Punkte Punktnamen und Koordinaten


Systemtyp:


Spaltenformat:
Format Standpunktzeile Punktnamen (1. Spalte) und Messwerte (2.-5. Spalte)
zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:

Format Zielpunktzeile

zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:

Mit den Seiten c und d und den Winkel δ und δ1 des ebenen Vierecks PBQA können die Punkte P und Q an A polar angehängt werden. B dient als Anschlusspunkt für die Richtungsorientierung.

Erdkrümmung korrigieren lightbulb . Die Berechnung soll maximal s dauern. lightbulb

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

P und Q polar an A anhängen

Bekannte Punkte: lokal, kartesisches Linkssystem

2 Punkte

PNameYX
A 472.29000000 287.45000000
B 537.65000000 248.08000000

Eingabe-Messwerte

r steht für Horizontalrichtung und e für Horizontaldistanz.

StandPname    
A        
ZielPnamere   
Q 0 52.99049      
B 49.0112        
P 128.0920 36.73291      

Ergebnisse

Die '1' in Spalte 'Werte' zeigt an, dass die Berechnung eindeutig ist.
Für die Rechenprobe ist es nützlich, die berechneten Koordinaten von P und Q in einer Koordinatenliste zu speichern.

GrößevonnachWerteMinimumMedianMaximum …
X P 1 251.5515040
Y P 1 464.5050956
X Q 1 299.4127641
Y Q 1 523.9125174
e A B 1 76.30154979
e B P 1 73.22723801
e B Q 1 53.13916722
e P Q 1 76.28854427
o A 1 85.50315178
t A B 1 134.5143528
t A P 1 213.5951518
t A Q 1 85.50315178

Winkeleinheit = Gonlightbulb

Seitenanfang Rechenprobe

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Aus Punktkoordinaten und polaren Messwerten werden alle möglichen Größen berechnet. Rechenregeln zwischen diesen Größen werden aufgestellt und nacheinander angewendet, bis keine neuen Werte mehr erhalten werden, und zwar auf jede mögliche Weise. Dadurch ergeben sich oft viele verschiedene Ergebnisse, deren Vergleich zur Aufdeckung grober Fehler genutzt werden kann. Die Mediane der berechneten Werte stellen dann das Ergebnis einer robusten Schätzung dar.

Winkeleinheit    Notiz

Bekannte Punkte Punktnamen und Koordinaten

Systemtyp:

Spaltenformat:

Als Rechenprobe wird empfohlen, die Messwerte aus endgültigen Koordinaten zurückzurechnen.

Format Standpunktzeile Punktnamen (1. Spalte) und Messwerte (2.-5. Spalte)
zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:

Format Zielpunktzeile

zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:

Hierfür wird auf den Standpunkten P und Q jeweils die Nullrichtung nach A vorgegeben, so wie gemessen. Die anderen Zielpunkte werden als blinde Zielpunkte notiert, so dass der Universalrechner versucht, die Messwerte aus Koordinaten zu berechnen.

Erdkrümmung korrigieren lightbulb . Die Berechnung soll maximal s dauern. lightbulb

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Messwerte aus Koordinaten zurückrechnen

Bekannte Punkte: lokal, kartesisches Linkssystem

4 Punkte

PNameYX
A 472.29000000 287.45000000
B 537.65000000 248.08000000
P 464.51000000 251.55000000
Q 523.91000000 299.41000000

Eingabe-Messwerte

Symbole:

o Orientierungswinkel rHorizontalrichtung eHorizontaldistanz
ihInstrumentenhöhe tRichtungswinkel sSchrägdistanz
thZielhöhe vZenitwinkel dhHöhendifferenz
StandPname    
P        
ZielPnamer    
A 0        
Q          
B          
StandPname    
Q        
ZielPnamer    
A 0        
B          
P          

Ergebnisse

Ein Vergleich mit den gemessenen Richtungen zeigt eine Übereinstimmung bis zur Anzahl der bei den Neupunkt- koordinaten mitgeführten Ziffern.

GrößevonnachWerteMinimumMedianMaximum …
e A B 2 76.30154979 76.30154979 76.30154979
e A P 1 36.73334180
e A Q 1 52.98741360
e B P 1 73.22226779
e B Q 1 53.13714802
e P Q 1 76.28197428
o P 1 13.58629261
o Q 1 285.5057041
r P B 1 89.43177603
r P Q 1 43.23679228
r Q B 1 297.8436363
r Q P 1 371.3173808
t A P 1 213.5862926
t A Q 1 85.50570413
t B P 1 303.0180686
t B Q 1 383.3493404
t P Q 1 56.82308489

Winkeleinheit = Gonlightbulb

Seitenanfang Was möchten Sie jetzt tun?

Transf. über identische Punkte
Universalrechner
Rechteck durch fünf Punkte
Unvollständig angeschlossener Polygonzug
Erste Schritte
Koordinatenlisten
Messwertlisten
Universalrechner
Ebene Vierecke
Flächenteilung
Suche

Seitenanfang In der Bibliothek

 
Link Autor(en)TitelJahr Typ Seiten
MByte
PDF: offener ZugriffLehmann RGeodätische Berechnungen2014Lehr94
1.6
PDF: offener ZugriffHebisch UEbene und Sphärische Trigonometrie2005Lehr68
0.6
©Rüdiger Lehmann    Impressum
25.04.2017 20:23 (Zeitzone Berlin)
START Anleitung r.lehmann@htw-dresden.de Seitenanfang HTW Dresden, Fakultät Geoinformation