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Anleitung : Höhennetze

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Bekannte Punkte Messwerte Größen in der Messwertzeile Mehrmals gemessene Netzlinien Stochastisches Modell der Ausgleichung Höhendifferenzen als Zwangsbedingungen Ergebnisse der Ausgleichung Beispiel: Campus-Subnetz der HTW Dresden als freies Nivellementnetz Beispiel: Trigonometrischer Höhenzug Beispiel: Unzugänglicher Punkt mit horizontalen Hilfsdreiecken Trick: Laden von Ausgleichungsmodellen in Vermittelnde Ausgleichung Was möchten Sie jetzt tun?

Alle Arten von Höhennetzen werden ausgeglichen, sowohl Nivellementnetze (Höhendifferenzen, Linienlängen), als auch trigonometrische Höhennetze (Zenitwinkel, Distanzen), sowohl freie als auch angeschlossene Netze, sogar einzelne Nivellementlinien.

Bekannte Punkte

Für ein angeschlossenes Höhennetz geben Sie die Liste der Punkte mit bekannten Höhen an. Die Eingabe der zwei bis vier Spalten folgt den allgemeinen Regeln für tabellarische Eingaben . Die Punktnamen dürfen wie in den Koordinatenlisten gewählt werden.

Sollen Höhen als veränderlich angenommen und ausgeglichen werden, geben Sie als Genauigkeitsmaß entweder je eine Standardabweichung oder ein Gewicht an. Wurde ein Ausfallwert für das Genauigkeitsmaß angegeben, füllt er alle fehlenden Werte in der Spalte auf. Andernfalls gelten Höhen ohne Genauigkeitsmaß in der Ausgleichung als fehlerfrei. Das ist gleichbedeutend mit der Standardabweichung Null. Veränderliche und unveränderliche Punkte können gleichzeitig in der Liste vorkommen.

Punkte, die im Netz nicht vorkommenn, werden ignoriert. Punkte ohne Höhe oder in der Liste fehlende Netzunkte werden als Neupunkte betrachtet. Ein freies Höhennetz besteht ausschließlich aus Neupunkten, z.B. wenn die Liste der bekannte Punkte leer ist.

Wenn Sie Koordinaten X und Y angeben, wird das Höhennetz auf der Leinwand dargestellt. Punkte ohne X und Y werden nicht dargestellt. Diese Koordinaten werden nicht in der Netzausgleichung verwendet.

Messwerte

Messwerte werden in Form von Messwertlisten eingegeben. Beachten Sie auch die Regeln für tabellarische Eingaben. Jeder Messwertsatz beginnt mit zwei Punktnamen, das sind Anfangs- und Endpunktnamen einer Netzlinie. Danach kommen bis zu fünf Messwerte bzw. Genauigkeitsmaße in benutzerdefinierter Reihenfolge.

STARTSeitenanfang Größen in der Messwertzeile

nivellierte
Netzlinie AE
Nivellierte Netzlinie AE

speziell für Nivellementnetze

Höhendifferenz dh (erforderlich)
ist die Differenz zwischen End- und Anfangspunkthöhe. Die Einheit muss mit der Einheit der Höhen übereinstimmen. Wenn es vom Anfangs- zum Endpunkt der Netzlinie bergauf geht, werden Höhendifferenzen positiv angegeben, sonst negativ.
Linienlänge l (optional)
gibt näherungsweise die Länge einer Netzlinie an und kann zur Festlegung von Gewichten verwendet werden. Die Werte dürfen nicht negativ sein. Die Einheit muss nicht mit der Einheit der Höhendifferenzen und Höhen übereinstimmen, kann also z.B. Kilometer sein, während die Höhen in Meter sind.
trigonometrische
Netzlinie AE
Trigonometrische Netzlinie AE

speziell für trigonometrische Höhennetze

Zenitwinkel v (erforderlich)
ist der Winkel zwischen dem Zenit und dem Zielpunkt, gemessen im Standpunkt. Höhenwinkel werden im Moment noch nicht unterstützt. Die Einheit ist die gewählte Winkeleinheit.
Horizontaldistanz e oder Schrägdistanz s (erforderlich)
ist der genaue Abstand zwischen dem Zielpunkt und dem Standpunkt. Die Werte müssen positiv sein. Die Einheit muss mit der Einheit der Höhen übereinstimmen.
Instrumentenhöhe ih und Zielhöhe th (fehlende ggf. durch Ausfallwert aufgefüllt)
geben die Höhe der Instrumentenkippachse über der Standpunktvermarkung A und die Höhe des Reflexionspunktes bzw. anvisierten Punktes über der Zielpunktvermarkung E an (normalerweise Null, wenn der Punkt unvermarkt ist). Ein Ausfallwert füllt alle fehlenden Werte in dieser Spalte auf oder alle Werte, wenn die Spalte fehlt. Die Einheit muss mit der Einheit der Höhen übereinstimmen.

für beide Netzarten

Standardabweichung (a priori) σdh oder Gewicht pdh der Höhendifferenz (fehlende durch Ausfallwert aufgefüllt)
werden in der Ausgleichung für das stochastische Modell genutzt. Nur einer von beiden Werten darf vorkommen. Die Werte dürfen nicht negativ sein. Ein Ausfallwert füllt alle fehlenden Werte in dieser Spalte auf oder alle Werte, wenn die Spalte fehlt. Andernfalls wird ein fehlendes Genauigkeitsmaß als Standardabweichung Null angenommen, was bedeutet, dass die Höhendifferenz in die Ausgleichung als Zwangsbedingung wirkt. Die Einheit muss mit der Einheit der Höhen übereinstimmen.
Diese Werte beziehen sich auch für trigonometrische Höhennetze auf die auszugleichenden Höhendifferenzen dh , schließen also ggf. Messabweichungen in Instrumenten- und Zielhöhen ein.
Code (optional)
wird ignoriert.

STARTSeitenanfang Mehrmals gemessene Netzlinien

Einige oder alle Netzlinie können zweimal gemessen worden sein, nämlich

  1. durch geometrisches Nivellement im Hinweg AE und Rückweg EA
  2. durch trigonometrische Messung auf A in zwei Fernrohrlagen
  3. durch trigonometrische Messung in Sicht AE und Gegensicht EA

In diesem Fall sehen Sie auf einer Messwertzeile einfach zwei Spalten für die Höhendifferenz dh oder den Zenitwinkel v vor. Die anderen Größen der Messwertzeile dürfen aber nicht doppelt vorkommen und gelten für beiden Messungen gleichzeitig. Für den dritten Fall gilt: Die Werte von Instrumentenhöhe ih und Zielhöhe th werden nur für AE angegeben und müssen in der Gegensicht EA genau vertauscht sein. Falls das nicht zutrifft, bilden Sie Mittelwerte oder verwenden Sie die nachfolgend beschriebene Methode.

Es ist möglich, aber nicht nötig, beim Rückweg EA das Vorzeichen der Höhendifferenz umzukehren. Für die Höhendifferenz im Hinweg AE wird das Vorzeichen des ersten Wertes angenommen. Also können auch zwei Hinwege gemessen worden sein. Welcher Fall vorliegt, wird an den Vorzeichen des ersten Wertepaares erkannt. Entsprechend wird bei doppelten Zenitwinkeln verfahren. (Theoretisch könnte es passieren, dass die Höhendifferenzen beim ersten Paar so klein sind, dass die Erkennung fehlschlägt. Im Extremfall könnten diese Null sein. Dann sollte eine andere Zeile der Messwertliste an den Anfang verschoben werden.)

Die doppelt gemessenen Netzlinien können in der Messwertliste aber auch zweimal aufgeführt werden. Dieses Vorgehen gestattet höhere Flexibilität. Genauso können mehr als zweimal gemessene Netzlinien eingegeben werden: jede Messung in eine Zeile der Messwertliste.

Beispiele: Die folgenden Eingaben liefern alle dasselbe Ergebnis.

geometrisches Netz trigonometrisches Netz (Winkeleinheit: Gon)
// von nach dh1 dh2 l pdh
   A E 16.10 16.11 2306 1
// von nach v1 v2 e ih th pdh
   A E 92.1402 92.1418 88.2306 1.54 1.66 1
// von nach dh1 dh2 l pdh
   A E 16.10 -16.11 2306 1
// von nach v1 v2 e ih th pdh
   A E 92.1402 107.8582 88.2306 1.54 1.66 1
// von nach dh l pdh
   A E  16.10 2306 1
   E A -16.11 2306 1
// von nach v e ih th pdh
   A E 92.1402 88.2306 1.54 1.66 1
   E A 107.8582 88.2306 1.66 1.54 1

Mehrmals gemessene Netzlinien gehen in die Ausgleichung als getrennte Beobachtungen ein, was im Allgemeinen empfohlen wird. Wollen Sie diese als Mittelwerte eingehen lassen, bilden Sie diese Mittelwerte bitte selbst. In dem linken Beispiel oben könnte die Zeile dann lauten:

geometrisches Netz trigonometrisches Netz
// von nach dh l pdh
   A E 16.10/2+16.11/2 2306 1
// von nach v e ih th pdh
   A E 92.1402/2+92.1418/2 88.2306 1.54 1.66 2

(Beachten Sie, dass in arithmetischen Ausdrücken z.Z. noch keine Klammern erlaubt sind.)

Achten Sie darauf, dass mehrmals gemessene Netzlinien nicht als Zwangsbedingung angegeben werden, sonst entsteht ein Widerspruch zwischen den wahrscheinlich ungleichen Werten.

STARTSeitenanfang Stochastisches Modell der Ausgleichung

In der Ausgleichung benötigt man Genauigkeitsmaße für die Beobachtungen. Diese sind die gegebenen Höhendifferenzen dh oder die aus Zenitwinkel v und Distanz e oder s berechneten Höhendifferenzen sowie die Höhen bekannter, veränderlicher Punkte.
Diese Werte beziehen sich auch für trigonometrische Höhennetze auf die auszugleichenden Höhendifferenzen dh, schließen also ggf. Messabweichungen in Instrumenten- und Zielhöhen ein.

Korrelierte Beobachtungen werden im Moment noch nicht unterstützt.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, wie Sie über die Wahl des Spaltenformats das stochastische Modell festlegen können:

Gewichte der Höhendifferenzen wie oben gegeben oder aus gegebenen Standardabw. oder alle Eins

keine Spalte für Standardabweichung oder Gewicht gewählt
Der Ausfallwert für Standardabweichung oder Gewicht wird jeweils als Standardabweichung σ für alle Beobachtungen angesehen. Fehlt der Ausfallwert, werden alle Höhen bekannter Punkte als unveränderlich gesetzt und allen Höhendifferenzen wird das Gewicht Eins zugeordnet. IN DUBIO PRO GEO berechnet die Gewichte für die Ausgleichung aus 1/σ².
Spalte für Standardabweichung gewählt
Für alle Beobachtungen geben Sie bitte je einen Wert für die a priori Standardabweichung σdh und/oder σH an. Ist ein Ausfallwert angegeben, füllt er alle fehlenden Werte in dieser Spalte auf. Andernfalls werden Punkte und Höhendifferenzen ohne Standardabweichung als unveränderlich angenommen, so als hätten diese die Standardabweichung Null. Standardabweichungen haben dieselbe Einheit wie die Höhen und Höhendifferenzen und dürfen nicht negativ sein. IN DUBIO PRO GEO berechnet die Gewichte für die Ausgleichung aus 1/σ².
Spalte für Gewicht gewählt
Für alle Beobachtungen geben Sie bitte je ein Gewicht pdh und/oder pH an. Ist ein Ausfallwert angegeben, füllt er alle fehlenden Werte in dieser Spalte auf. Andernfalls werden Punkte und Höhendifferenzen ohne Gewicht als unveränderlich angenommen, so als hätten diese unendliches Gewicht. Gewichte dürfen nicht negativ sein.
Kombination aus Spalten für Standardabweichung und Gewicht gewählt
Hier ist eine Varianzkomponentenschätzung erforderlich. Leider ist dieser Fall noch nicht implementiert. Deshalb wird diese Wahl im Moment noch nicht empfohlen.

Gewichte der Höhendifferenzen aus Linienlänge oder Distanz ableiten

Zur Festlegung von Gewichten für Höhendifferenzen können indirekt

benutzt werden. Geben Sie dann bitte für jede Netzlinie einen solchen Wert an. Dazu wählen Sie das entsprechende Spaltenformat. Sie können festlegen, wie die Gewichte von den Distanzen oder Linienlängen abgeleitet werden sollen. Jede Höhendifferenz ohne Linienlänge wird als unveränderlich angenommen, so als hätten diese die Standardabweichung Null bzw. unendliches Gewicht. Linienlängen müssen nicht in derselben Einheit wie die Höhendifferenzen angegeben sein. Distanzen müssen die Einheit der Höhen und Höhendifferenzen besitzen. Alle Werte müssen positiv sein.

Sollten Sie eine solche Option gewählt haben und zusätzlich noch explizit Standardabweichungen oder Gewichte gegeben haben, erhalten Sie eine Fehlermeldung.

Gewichte der Höhen

Für Höhen bekannter, veränderlicher Punkte legen Sie ebenfalls eine Standardabweichung in derselben Einheit wie die Höhen oder ein Gewicht wie oben beschrieben fest. Höhen ohne Genauigkeitsmaß oder mit Standardabweichung Null gelten in der Ausgleichung als fehlerfrei und unveränderlich. Die Gewichte der Höhen und Höhendifferenzen müssen zueinander passen. Eine Varianzkomponentenschätzung wird im Moment noch nicht unterstützt.

STARTSeitenanfang Höhendifferenzen als Zwangsbedingungen

Wird den Höhendifferenzen die Standardabweichung Null, also unendliches zugeordnet, wirken diese als Zwangsbedingungen. Es kann passieren, dass sich solche Zwangsbedingungen widersprechen. Das ist z.B. der Fall, wenn solche Höhendifferenzen

Diese Fälle verursachen einen Fehler. Führen Sie Höhendifferenzen als Zwangsbedingungen mit Bedacht ein.

Die Berechnung erfolgt so, dass entweder der Anfangs- oder der Endpunkt jeder solchen Linien aus der Liste der auszugleichenden Punkte eliminiert und nach der Ausgleichung über die Zwangsbedingung wieder hinzugefügt wird.

STARTSeitenanfang Ergebnisse der Ausgleichung

Die Ausgleichung erfolgt nach der Methode der kleinsten Quadrate. Freie Höhennetze werden mit der Datumsbedingung ausgeglichen, dass die Summe aller ausgeglichenen Höhen gleich Null ist.

Die dokumentierten Ergebnisse umfassen die Verbesserungen, die ausgeglichenen Werte, die a posteriori Standardabweichungen und die Redundanzanteile.

STARTSeitenanfang Beispiel: Campus-Subnetz der HTW Dresden als freies Nivellementnetz

HTW-Campus-Subnetz - Topologie
HTW-Campus-Subnetz - Topologie

Im dritten Semester werden im Studiengang Vermessung/ Geoinformatik der Hochschule für Technik
und Wirtschaft Dresden Teile des Campus-Höhennetzes durch geometrisches Nivellement gemessen. Dabei ergaben sich in einem Jahr die unten angegebenen Höhendifferenzen dh in Meter und Linienlängen l in Kilometer. Jede Netzlinie wurde mehrfach gemessen, hier zwischen zwei und sechs mal. Diese Beobachtungen gleichen wir als freies Höhennetz aus.

Im Ergebnis erhalten wir für eine einfach gemessene Linie der Länge 1 km (Gewichtseinheit) eine a posteriori Standardabweichungen von 0.47 mm . Alle Redundanzanteile liegen über 0.7 , so dass das Netz gut kontrollierbar ist.
Alle Verbesserungen betragen weniger als 0.5 mm . Für die Punkthöhen ergeben sich a posteriori Standardabweichungen bis maximal 0.15 mm.

vonnachΔh [m]l [km] vonnachΔh [m]l [km] vonnachΔh [m]l [km]
25802644-0.056380.3710112575 9.701550.298222644-2.911350.28
25802644-0.055920.2810001011 8.808030.298222644-2.911160.30
25802644-0.056590.3710001011 8.808390.30184 822 3.114450.25
25802644-0.056090.2710001011 8.808380.33184 822 3.114620.27
14902575 9.792880.2510001011 8.808520.29184 822 3.115400.25
14902575 9.793110.2610001490 8.716920.28184 822 3.114740.26
10122580 0.607570.3210001490 8.717120.29125 184 0.616250.11
10122580 0.607670.3110001490 8.717000.28125 184 0.616520.10
10122580 0.607850.3210001490 8.717240.33125 184 0.616560.10
10122580 0.608000.3110002580-0.602270.32125 184 0.616320.11
10122644 0.551620.1610002580-0.602200.38125 184 0.616560.10
10122644 0.551670.1610002580-0.602570.29125 184 0.616690.10
10122644 0.551630.1610002580-0.602840.36125 822 3.731640.46
10122644 0.551770.1610002644-0.658110.47125 822 3.731820.46
10111490-0.091630.1010002644-0.658100.511252644 0.820110.21
10111490-0.091180.1210002644-0.658600.491252644 0.820420.22
10111490-0.091690.10 8222644-2.911180.281252644 0.820390.28
10111490-0.091400.12 8222644-2.911110.301252644 0.820620.22
10112575 9.701530.31
und Rechnen

STARTSeitenanfang Beispiel: Trigonometrischer Höhenzug

Trigonometrischer Höhenzug mit einem
Sprungstand
Trigonometrischer Höhenzug mit einem Sprungstand in Punkt 2
vonnachHöhen-
differenz
Schräg-
distanz
Ziel-
höhe
1A105.54555.4541.400
12 95.11271.6891.400
32103.23049.5281.400
34 92.75165.6660.005
43107.23965.6660.005
45 96.34578.3000.005
54103.64578.3000.005
5E 99.30045.6501.400

Betrachten wir den abgebildeten Höhenzug mit einem Sprungstand in Punkt 2, d.h. dort befand sich kein Instrumentenstandpunkt und auf Punkt 1 demnach kein Reflektorzielpunkt. Auf den Punkten 3,4,5 befand sich nacheinander der Stand- und der Zielpunkt. Höhen sind für den Anschlusspunkt A mit H=116.10 und für den Abschlusspunkt E mit H=123.06 gegeben. Der Reflektor auf A, 2 und E hat jeweils die Zielhöhe th=1.40 . Die Punkte 1,3,4,5 sind unvermarkt, so dass wir die Höhen jeweils auf die Kippachse des Instruments beziehen: ih=0.00 . Allerdings ist der Reflektorpunkt jeweils 0.005 höher als die Kippachse, so dass auf den Punkten 3,4,5 noch eine Zielhöhe von th=0.005 vorzusehen ist. Die erhaltenen Messwerte finden Sie rechts.

An die Höhendifferenzen werden Verbesserungen mit Beträgen bis maximal 0.0017 angebracht. Die erhaltenen Neupunkthöhen 1,2,3,4,5 erhalten a posteriori Standardabweichungen von höchstens 0.0012.

und Rechnen

Dasselbe Beispiel wird auch für den Universalrechner benutzt und kann damit bearbeitet werden. Die Ergebisse sind allerdings nicht völlig identisch, weil der Universalrechner einen robusten Ausgleichungsalgorithmus verwendet. Die Abweichungen in den endgültigen Höhen betragen bis zu 0.0004.

Punkt-HöhennetzeUniversalrechner
nameausgegl. HöheStd.abw.Höhe (Median)Spannweite
1122.32389.1e-4122.32380.0046
2126.42330.0012126.42300.0046
3130.33500.0012130.33470.0046
4137.79100.0011137.79060.0033
5142.27787.7e-4142.27790.0046

STARTSeitenanfang Beispiel: Unzugänglicher Punkt mit horizontalen Hilfsdreiecken

Unzugänglicher Punkt mit
horizontalen  Hilfsdreiecken
Unzugänglicher Punkt mit horizontalen Hilfsdreiecken

Dieses Beispiel wurde zuvor mit dem Universalrechner bearbeitet. Wir gleichen die Messwerte jetzt als trigonometisches Höhennetz aus. Dazu benutzen wir die im Universalrechner erhalten Schrägstrecken. Die bekannten Punkthöhen von 515 und 632 werden unveränderlich gehalten. Außerdem benutzen wir die Lagekoordinaten, jedoch nur für die Darstellung des Netzes auf der Leinwand.

Bei der Berechnung erhält man die Warnung, dass Beobachtungen zwischen unveränderlichen Festpunkten gefunden und ignoriert wurden. Das sind die beiden Beoachtungen zwischen den Festpunkten 515 und 632. Alle Beobachtungen sind gut kontrollierbar (Redundanzanteile≥0.45). Die Höhe des unzugänglichen Punktes 1121 erhalten wir mit 201.1118 und einer Standardabweichung von 0.0014.

und Rechnen

Zum Vergleich: Mit dem Universalrechner erhielten wir 201.1106 mit einer Spannweite von 0.0084. Dieser Unterschied erklärt sich aus den unterschiedlichen mathematischen Modellen, die diesen Rechenwerkzeugen zugrunde liegen.

STARTSeitenanfang Trick: Laden von Ausgleichungsmodellen in Vermittelnde Ausgleichung

Höhennetze und Satzmessungen können mit Vermittelnde Ausgleichung neu ausgeglichen werden. Das bietet folgende Vorteile:

Die Namen der Beobachtungen sind A°E und die Namen der Parameter sind die Namen der ausgeglichenen Punkte. Wenn ⇑ Höhendifferenzen als Zwangsbedingungen verwendet wurden, erscheinen diese nicht als Beobachtungen, sondern als Bedingungsgleichungen für Parameter.

STARTSeitenanfang Was möchten Sie jetzt tun?

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©Rüdiger Lehmann    Impressum
24.03.2017 01:03 (Zeitzone Berlin)
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