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Tutorium : Quadrat durch vier Punkte

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Aufgabe Berechnung von Richtungswinkel und Strecke AC Berechnung des Quadrats Rechenprobe Auch interessant In der Bibliothek

Die Tutorien erläutern die Funktion von IN DUBIO PRO GEO anhand von Praxisbeispielen. Die Lösungen zu den Aufgaben sind mittels vorausgefüllter Formulare nachvollziehbar. In den Auswahlfeldern stehen nicht alle Optionen zur Verfügung. Die Formulare lassen sich mit der Schaltfläche absenden und so die Ergebnisse betrachten. Um das zu ersparen, sind die Ergebnisse im Tutorium auszugsweise dargestellt. Die wesentlichen Zwischen- und Endergebnisse sind durch goldfarbene Boxen hervorgehoben. Die Lösungen sind in weiteren goldfarbenen Boxen kommentiert.

Aufgabe

Quadrat durch vier Punkte
Quadrat durch vier Punkte

An den Wänden eines quadratischen Innenraumes wurden mit Tachymeter oder Laserscanner im Standpunkt S vier Zielpunkte A,B,C,D wie in der Abbildung dargestellt erfasst. Dabei wurden folgende Messwerte erhalten:

Zielpunkt Horizontalrichtung [gon] Horizontaldistanz [m]
   A          0.000                  7.142
   B        115.549                  7.236
   C        181.534                  7.509
   D        249.345                  8.732

Berechnen Sie die Seitenlänge des Quadrats P1P2P3P4.

Berechnung von Richtungswinkel und Strecke AC

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Aus Punktkoordinaten und polaren Messwerten werden alle möglichen Größen berechnet. Rechenregeln zwischen diesen Größen werden aufgestellt und nacheinander angewendet, bis keine neuen Werte mehr erhalten werden, und zwar auf jede mögliche Weise. Dadurch ergeben sich oft viele verschiedene Ergebnisse, deren Vergleich zur Aufdeckung grober Fehler genutzt werden kann. Die Mediane der berechneten Werte stellen dann das Ergebnis einer robusten Schätzung dar.

Winkeleinheit    Notiz

Bekannte Punkte Punktnamen und Koordinaten

Systemtyp:

Spaltenformat:

Wir legen ein lokales Koordinaten-system in S fest. Die X-Achse verläuft parallel zu SA, weil wir die Horizontalrichtungen als Richtungswinkel eingeben.

Format Standpunktzeile Punktnamen (1. Spalte) und Messwerte (2.-5. Spalte)
zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:

Format Zielpunktzeile

zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:

Wir berechnen in diesem System die Koordinaten der Zielpunkte A,B,C,D. Zugleich simulieren wir eine Messung auf A zu einem blinden Zielpunkt C, um Richtungswinkel und Strecke AC zu erhalten.

Die Reihenfolge der Standpunkte und der Zielpunkte je Standpunkt ist immer beliebig.

lightbulb

Berechne neu . Berechnungsdauer maximal s lightbulb.

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Richtungswinkel und Strecke AC

1 benutzte bekannte Punkte: Standpktsystem, kartesisches Linkssystem

PNameYX
S 100.00000000 100.00000000

Eingabe-Messwerte

t steht für Richtungswinkel und e für Horizontaldistanz.

StandPname
S
ZielPnamete
A 0 7.142000
B 115.5490 7.236000
C 181.5340 7.509000
D 239.3450 8.132000
StandPname
A
ZielPnamete
C
StandPname
A
ZielPnamete
C

Rechenablauf: Zunächst werden aus Richtungswinkeln und Distanzen die Koordinanten der Zielpunkte im Standpunktsystem erhalten. Letztlich werden daraus der Richtungswinkel AC 190.5341 gon und die zugehörige Seitenlänge mit 14.4973 m in diesem System erhalten.

IN DUBIO PRO GEO findet den Rechenweg allein.

Ergebnisse  

GrößevonnachWerteMinimumMedianMaximum
X A 107.1420000
Y A 1 100.0000000
X B 98.25017616
Y B 1 107.0212401
X C 92.80468256
Y C 1 102.1476704
X D 93.76234428
Y D 1 93.88939649
e A C 1 14.49728110
t A C 1 190.5340838

Winkeleinheit = Gon.

Berechnung des Quadrats

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Aus Punktkoordinaten und polaren Messwerten werden alle möglichen Größen berechnet. Rechenregeln zwischen diesen Größen werden aufgestellt und nacheinander angewendet, bis keine neuen Werte mehr erhalten werden, und zwar auf jede mögliche Weise. Dadurch ergeben sich oft viele verschiedene Ergebnisse, deren Vergleich zur Aufdeckung grober Fehler genutzt werden kann. Die Mediane der berechneten Werte stellen dann das Ergebnis einer robusten Schätzung dar.

Winkeleinheit    Notiz

Bekannte Punkte Punktnamen und Koordinaten

Systemtyp:

Spaltenformat:

Der Trick besteht darin, von B aus einen Punkt E auf der gegenüberliegenden Quadratseite zu konstruieren, indem an B die um 100 gon gedrehte Seite AC angehängt wird. ⇑ Abbildung.

Format Standpunktzeile Punktnamen (1. Spalte) und Messwerte (2.-5. Spalte)
zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:

Format Zielpunktzeile

zweite Spalte:

dritte Spalte:

vierte Spalte:

fünfte Spalte:

Hat man E erhalten, geht es weiter wie in Rechteck durch fünf Punkte.
Wir zeigen hier die Lösung über Rückwärtsschnitte, weil diese sogleich mit der Berechnung von E kombiniert werden kann. Es gibt mehrere Möglichkeiten, wie man das in ''Messwerte'' übersetzen kann. Eine ist links angegeben. Der Orientierungs­winkel 0 auf B erspart die Verwendung einer weiteren Spalte ''Richtungswinkel'' in der Zielpunktzeile.

lightbulb

Berechne neu . Berechnungsdauer maximal s lightbulb.

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Tachymetrie : Universalrechner

Berechnung des Quadrats

Rechenablauf: Nachdem E berechnet ist, erhält man der Reihe nach über Rückwärtsschnitte P2, P1, P4 und zuletzt P3. Die Längen der drei berechneten Seiten stimmen überein mit 13.73 m. Die Richtungswinkel unterscheiden sich um exakt 100 gon. Damit haben wir ein Quadrat erhalten.

Ergebnisse  

GrößevonnachWerteMinimumMedianMaximum…
XE96.10313049
YE192.68386332
XP195.93009052
YP11108.2163743
XP289.64394959
YP2196.01036625
XP3101.8499410
YP3189.72423386
XP4108.1360820
YP41101.9302419
eP1P2113.72961033
eP1P4113.72959168
eP3P4113.72961033
tP1P21269.7237322
tP1P41369.7237322
tP3P4169.72373218

Rechenprobe

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Polygone

Ebene Polygone werden aus gegebenen Eckpunktkoordinaten berechnet: ebene Polygon- und Richtungswinkel, Seitenlängen, Flächeninhalt, Umfang etc.

Winkeleinheit    Notiz

Die Berechnung der Punkte als Polygon sollte nur rechte und gestreckte Polygonwinkel ergeben.

System Punktnamen und Koordinaten


Systemtyp:

Spaltenformat:


Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Polygone

8 Punkte: Standpktsystem, kartesisches Linkssystem

Alle Ergebnisse sind korrekt.

Die Seitenlänge des Quadrats kontrolliert man am besten mit dem Umfang/4:
54.9184 m/4 = 13.7296 m
Das stimmt überein mit der Diagonale/√2:
19.4165 m/√2 = 13.7295 m
(Die Diagonale ist hier der ''Polygondurchmesser''.) Auch das bestätigt die Richtigkeit des Ergebnisses.

PNameY  X  Polygonwinkellightbulb
P1108.21637428 95.93009052100.00000000
C 102.14770000 92.80470000200.00000000
P2 96.01036625 89.64394959100.00000000
D 93.88940000 93.76230000200.00000000
P3 89.72423386101.84994104100.00000000
A 100.00000000107.14200000200.00000000
P4101.93024189108.13608197100.00000000
B 107.02120000 98.25080000200.00000000


Flächeninhalt 188.50194379    Umfang 54.918404025    
Polygondurchmesser 19.416587949 zwischen P1 und P3

Leinwand

Ergebnispolygon

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PDF: offener ZugriffLehmann RGeodätische Berechnungen2014Lehr94
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©Rüdiger Lehmann    Impressum
26.09.2017 20:14 (Zeitzone Berlin)
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