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Aufgabe Quadrat-Raster erzeugen Variante 1: Rauten-Raster über identische Punkte erzeugen Variante 2: Rauten-Raster über Scherung erzeugen Dreieck-Raster zuschneiden Ergebnis und Rechenprobe

Die Tutorien erläutern die Funktion von IN DUBIO PRO GEO anhand von Praxisbeispielen. Die Lösungen zu den Aufgaben sind mittels vorausgefüllter Formulare nachvollziehbar. In den Auswahlfeldern stehen nicht alle Optionen zur Verfügung. Die Formulare lassen sich mit der Schaltfläche absenden und so die Ergebnisse betrachten. Um das zu ersparen, sind die Ergebnisse im Tutorium auszugsweise dargestellt. Die wesentlichen Zwischen- und Endergebnisse sind durch goldfarbene Boxen hervorgehoben. Die Lösungen sind in weiteren goldfarbenen Boxen kommentiert. Ihre eigene Ausgabe unterscheidet sich möglicherweise in der Darstellung etwas, abhängig von Ihren .

≡ START Anleitung English Aufgabe

Das abgebildete regelmäßige Raster aus 24 gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge 100 soll erzeugt werden. Dazu soll eine Koordinatenliste der 20 Eckpunkte in einem linkshändigen kartesischen System erstellt werden. Der Punkt links unten soll die Koordinaten 100;100 und der Punkt rechts unten die Koordinaten 100;400 erhalten.

≡ START Anleitung English Quadrat-Raster erzeugen

IN DUBIO PRO GEO Koordinatenlisten : Rasterpunkte erzeugen

Gleichabständige Punkte auf einer Linie (1D), einem Rechteck-Raster (2D) oder Quader-Raster (3D) werden erzeugt und können mit anderen Rechenwerkzeugen weiter verarbeitet (z.B. gedreht) werden.

Einheit Breite/Länge Grad [-90...90 / -180...180] GradMinSek [-90...90 / -180...180] Radiant [-π/2...π/2 / -π...π] Vollwinkel [-¼...¼ / -½...½]    Notiz

Zunächst erzeugen wir ein Quadrat-Raster mit 5*6 Punkten und Rasterweite 100. Der linke untere Eckpunkt A bekommt die Koordinaten 100;-100

Rasterpunktsystem


Systemtyp:
X Y Z linkshändig

Raster später
nicht drehen.

Größe	Wert für 1. Koord.	Wert für 2. Koord.	Wert für 3. Koord.
Koordinate von A
Rasterweite Δ
Punktanzahl n

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Koordinatenlisten : Rasterpunkte erzeugen

≡ START Anleitung English 30 Punkte: Quadrat-Raster, kartesisches Linkssystem

Raster	X	Y
Minimum	100	-100
Maximum	500	400
Rasterweite	100	100
Punktanzahl	5	6
Kantenlänge	400	500

PName	X	Y
1	100	-100
2	100	0
3	100	100
4	100	200
5	100	300
6	100	400
7	200	-100
8	200	0
⁞	⁞	⁞
23	400	300
24	400	400
25	500	-100
26	500	0
27	500	100
28	500	200
29	500	300
30	500	400

≡ START Anleitung English Variante 1: Rauten-Raster über identische Punkte erzeugen

IN DUBIO PRO GEO Koordinatentransformationen : über identische Punkte

Identische Punkte werden verwendet, um zwischen zwei Koordinatensystemen Transformationsparameter zu berechnen. Alle ebenen oder räumlichen Transformationen werden berechnet, die mit diesen Punkten berechenbar sind. In beiden Systemen können nicht identische Punkte gegeben sein, diese werden mit den berechneten Parametern transformiert.

Winkeleinheit Gon [-200...200] Grad [-180...180] Bogenminuten [-10800...10800] Bogensekunden [-648000...648000] GradMinSek [-180...180] Radiant [-π...π ] Vollwinkel [-½...½ ]   Notiz

Quellsystem	Punktnamen und Koordinaten
Systemtyp: X Y Z linkshändig Spaltenformat: Punktname Koordinaten	// aus Koordinatenlisten : Rasterpunkte erzeugen // Quadrat-Raster mit 5*6 Punkten 1 100 -100 2 100 0 3 100 100 4 100 200 5 100 300 6 100 400 7 200 -100 8 200 0 9 200 100 10 200 200 11 200 300 12 200 400 13 300 -100 14 300 0 15 300 100 16 300 200 17 300 300 18 300 400 19 400 -100 20 400 0 21 400 100 22 400 200 23 400 300 24 400 400 25 500 -100 26 500 0 27 500 100 28 500 200 29 500 300 30 500 400
Zielsystem	Punktnamen und Koordinaten
Systemtyp: X Y Z linkshändig Spaltenformat: Punktname Koordinaten	1 100 -100 // Diese drei Punkte bilden ein 2 100 0 // gleichseitiges Dreieck mit der 7 100+50*sqrt(3) -50 // Seitenlänge 100
	Die Punkte 1 und 2 lässt man z.B. unverändert und zwingt den Punkt 7, mit 1 und 2 ein gleichseitiges Dreieck zu bilden.
Gewichte Std.abweichungen	für erste, zweite (und dritte) Koordinate
Quellsystem
Zielsystem

Gewichte würden ggf. ignoriert, weil für 3 identische Punkte die Affintransformation eindeutig bestimmt ist.

Transf.typen ebene Transformationen (2D)

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Koordinatentransformationen : über identische Punkte

Quadrate zu Rauten (Rhomben) deformieren

Quadrat-Raster, kartesisches Linkssystem ⇒ Rauten-Raster, kartesisches Linkssystem

Start: 30 Punkte. Ziel: 3 Punkte. 3 identische Punkte

Pname	x	y	X	Y
1	100	-100	100.00000	-100
2	100	0	100.00000	0
3	100	100
4	100	200
5	100	300
6	100	400
7	200	-100	186.60254	-50
8	200	0
⁞	⁞	⁞
23	400	300
24	400	400
25	500	-100
26	500	0
27	500	100
28	500	200
29	500	300
30	500	400

Affintransformation

X Y

=

13.3974600 -50.0000000

+

0.86602540 0 0.50000000 1.00000000

.

x y

berechn.	Quadrat-Raster			Rauten-Raster
Punkte	x	y		X	Y
1	100	-100		100.00000	-100
2	100	0		100.00000	0
3	100	100		100.00000	100
4	100	200		100.00000	200
5	100	300		100.00000	300
6	100	400		100.00000	400
7	200	-100		186.60254	-50
8	200	0		186.60254	50
⁞	⁞	⁞		⁞	⁞
23	400	300		359.80762	450
24	400	400		359.80762	550
25	500	-100		446.41016	100
26	500	0		446.41016	200
27	500	100		446.41016	300
28	500	200		446.41016	400
29	500	300		446.41016	500
30	500	400		446.41016	600

exakte Lösung ⇒ keine Restklaffungen

beide Listen berechneter Punkte

Das gewünschte Raster ist erzeugt. Allerdings enthält es noch überflüssige Punkte. Zum Zuschneiden zunächst beide Listen speichern. Das Zielsystem wird in Liste 2 gespeichert.

≡ START Anleitung English Variante 2: Rauten-Raster über Scherung erzeugen

IN DUBIO PRO GEO Koordinatentransformationen : über Parameter

Punkte in der Ebene und im 3D-Raum werden mittels gegebener Parameter transformiert. Eine Folge von bis zu 13 Transformationsschritten kann abgearbeitet werden. Auf diese Weise können alle denkbaren Transformationen konfiguriert werden.

Die Erzeugung von Rauten aus Quadraten lässt sich auch über eine Scherung realisieren. Dazu wird zunächst durch Skalierung der x-Achse mit Maßstabsfaktor (3/4)^½=0.8660254038 ein Rechteck-Raster erzeugt und dann die x-Achse gegen die y-Achse mit dem Scherwinkel τ_yx=30° geschert, so dass Rauten entstehen. Hätte man sofort mit ein Rechteck-Raster erzeugt, wäre die Skalierung jetzt überflüssig.

Winkeleinheit Grad [-180...180]   Notiz

Quellsystem	Punktnamen und Koordinaten
Systemtyp: X Y Z linkshändig Spaltenformat: Punktname Koordinaten	// aus Koordinatenlisten : Rasterpunkte erzeugen // Quadrat-Raster mit 5*6 Punkten 1 100 -100 2 100 0 3 100 100 4 100 200 5 100 300 6 100 400 7 200 -100 8 200 0 9 200 100 10 200 200 11 200 300 12 200 400 13 300 -100 14 300 0 15 300 100 16 300 200 17 300 300 18 300 400 19 400 -100 20 400 0 21 400 100 22 400 200 23 400 300 24 400 400 25 500 -100 26 500 0 27 500 100 28 500 200 29 500 300 30 500 400
Zielsystem	Transformationsschritt, Art des Parameters, Wert
Systemtyp: X Y Z linkshändig Falls verlangt, skaliere, drehe und schere bzgl. erstem Punkt der Liste	01 Maßstabsfaktor der x-Achse 02 Scherwinkel für x- gegen y-Achse 03 keine Aktion 04 keine Aktion 05 keine Aktion 06 keine Aktion ⁞ 13 keine Aktion

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

IN DUBIO PRO GEO Koordinatentransformationen : über Parameter

Quadrate zu Rauten (Rhomben) deformieren

≡ START Anleitung English Start: 30 Punkte, Quadrat-Raster, kartesisches Linkssystem

PName	x	y
1	100	-100
2	100	0
3	100	100
4	100	200
5	100	300
6	100	400
7	200	-100
8	200	0
⁞	⁞	⁞
23	400	300
24	400	400
25	500	-100
26	500	0
27	500	100
28	500	200
29	500	300
30	500	400

2 Transformationsschritte und Parameterwerte

1	Maßstabsfaktor der x-Achse	mx =	0.8660254038
2	Scherwinkel für x- gegen y-Achse	τyx =	30.0000000000	Grad

Zusammengesetzte Transformationsgleichung

Die Transformationsgleichung ist dieselbe wie bei Variante 1.

X Y

=

13.3974596 -50.0000000

+

0.86602540 0 0.50000000 1.00000000

.

x y

Der Punkt 1 blieb bei Rotationen, Maßstabsänderungen und Scherungen fest.

Ziel: 30 Punkte: Rauten-Raster, kartesisches Linkssystem

PName	X	Y
1	100.00000000	-100.0000000000
2	100.00000000	0
3	100.00000000	100.0000000000
4	100.00000000	200.0000000000
5	100.00000000	300.0000000000
6	100.00000000	400.0000000000
7	186.60254038	-49.9999999991
8	186.60254038	50.0000000009
⁞	⁞	⁞
23	359.80762114	450.0000000027
24	359.80762114	550.0000000027
25	446.41016152	100.0000000036
26	446.41016152	200.0000000036
27	446.41016152	300.0000000036
28	446.41016152	400.0000000036
29	446.41016152	500.0000000036
30	446.41016152	600.0000000036

Diese Liste in Liste 2 bearbeiten/ansehen

≡ START Anleitung English Dreieck-Raster zuschneiden

Durch Einzeichnen der kurzen Diagonalen gewinnt man das gleichseitige Dreieck-Raster. Nun müssen noch 10 überflüssige Punkte aus der Koordinatenliste entfernt werden. Dazu filtern wir die Liste bzgl. der zweiten Koordinate Y. Punkte mit Y<100 und Y>450 werden entfernt. Um die Rechenprobe zu erleichtern, ändern wir noch die Reihenfolge der Punkte innerhalb der Liste. Dazu spezifizieren wir eine Liste von Punktnamen, so dass geometrisch benachbarte Punkte in der Liste aufeinander folgen.
Hinweis: Die Liste von Punktnamen hätte zum Filtern allein schon ausgereicht, denn nicht in der Liste vorhandene Punkte werden ohnehin entfernt.

IN DUBIO PRO GEO Koordinatenlisten : Liste 2

Koordinatenlisten sind Listen von Koordinatensätzen, eine spezielle Form von tabellarischen Datensätzen. Bearbeiten, filtern, sortieren und speichern Sie Koordinatenlisten für die spätere Verwendung in den Berechnungen.

Koordinatenliste 2	Punktnamen und Koordinaten
Systemtyp: X Y Z linkshändig Spaltenformat: Punktname Koordinaten	1 100.00000 -100 2 100.00000 0 3 100.00000 100 4 100.00000 200 5 100.00000 300 6 100.00000 400 7 186.60254 -50 8 186.60254 50 9 186.60254 150 10 186.60254 250 11 186.60254 350 12 186.60254 450 13 273.20508 0 14 273.20508 100 15 273.20508 200 16 273.20508 300 17 273.20508 400 18 273.20508 500 19 359.80762 50 20 359.80762 150 21 359.80762 250 22 359.80762 350 23 359.80762 450 24 359.80762 550 25 446.41016 100 26 446.41016 200 27 446.41016 300 28 446.41016 400 29 446.41016 500 30 446.41016 600
Filtern	für Punktname, erste und zweite Koordinate
größer gleich
kleiner gleich
Liste von Punktnamen nur diese Punkte speichern	25 20 14 15 21 26 27 22 28 23// erleichtert 17 12 6 11 16 10 5 4 9 3 // die Rechenprobe
Sortieren	nicht sortieren oder Reihenfolge wie Liste von Punktnamen nach Punktnamen aufsteigend (lexikographisch) nach Punktnamen absteigend (lexikographisch) nach erster Koordinate aufsteigend (numerisch) nach erster Koordinate absteigend (numerisch) nach zweiter Koordinate aufsteigend (numerisch) nach zweiter Koordinate absteigend (numerisch) nach dritter Koordinate aufsteigend (numerisch) nach dritter Koordinate absteigend (numerisch)

Probieren Sie es aus: liefert in Auszügen Folgendes:

≡ START Anleitung English Ergebnis und Rechenprobe

IN DUBIO PRO GEO Koordinatenlisten : Liste 2

20 Punkte: Dreieck-Raster, kartesisches Linkssystem

PName	X	Y
25	446.41016	100
20	359.80762	150
14	273.20508	100
15	273.20508	200
21	359.80762	250
26	446.41016	200
27	446.41016	300
22	359.80762	350
28	446.41016	400
23	359.80762	450
17	273.20508	400
12	186.60254	450
6	100.00000	400
11	186.60254	350
16	273.20508	300
10	186.60254	250
5	100.00000	300
4	100.00000	200
9	186.60254	150
3	100.00000	100

Probieren Sie es aus: Diese Liste in Ebene Polygone

IN DUBIO PRO GEO Ebene und Kugel : Ebene Polygone

Dreieck-Raster, kartesisches Linkssystem

PName	X	Y	Polygonwinkel
25	446.41016	100
20	359.80762	150	119.99999978
14	273.20508	100	300.00000011
15	273.20508	200	239.99999989
21	359.80762	250	240.00000022
26	446.41016	200	59.99999989
27	446.41016	300	120.00000011
22	359.80762	350	299.99999978
28	446.41016	400	60.00000022
23	359.80762	450	119.99999978
17	273.20508	400	240.00000022
12	186.60254	450	119.99999978
6	100.00000	400	60.00000022
11	186.60254	350	180.00000000
16	273.20508	300	299.99999978
10	186.60254	250	240.00000022
5	100.00000	300	59.99999989
4	100.00000	200	120.00000011
9	186.60254	150	299.99999978
3	100.00000	100

Seitenlängen und Richtungswinkel

Die Seitenlängen betragen alle genau 100 und die Richtungswinkel genau 30°; 90°; 150°; 210°; 270° und 330°. Wir haben ein gleichseitiges Dreieckraster erhalten.

von	nach	Seitenlänge	Richtungswinkel
25	20	99.99999967	149.99999989
20	14	99.99999967	210.00000011
14	15	100.00000000	90.00000000
15	21	99.99999967	30.00000011
21	26	99.99999967	329.99999989
26	27	100.00000000	90.00000000
27	22	99.99999967	149.99999989
22	28	99.99999967	30.00000011
28	23	99.99999967	149.99999989
23	17	99.99999967	210.00000011
17	12	99.99999967	149.99999989
12	6	99.99999967	210.00000011
6	11	99.99999967	329.99999989
11	16	99.99999967	329.99999989
16	10	99.99999967	210.00000011
10	5	99.99999967	149.99999989
5	4	100.00000000	270.00000000
4	9	99.99999967	329.99999989
9	3	99.99999967	210.00000011

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