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Anleitung : Rasterpunkte erzeugen

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Was ist ein Raster? Eingabegrößen Trick: Rasterweite und Kantenlänge im Gittermaßstab 1D-Raster 2D-Raster 3D-Raster Rasterpunktliste Drehen von Rasterpunkten Beispiel: 2D-Raster für den Großen Garten Dresden Beispiel: Loxodrome von Dresden (Sachsen) nach Dresden (Ontario) Auch interessant

Gleichabständige Punkte auf einer Linie (1D), einem Rechteck-Raster (2D) oder Quader-Raster (3D) werden erzeugt und können mit anderen Rechenwerkzeugen weiter verarbeitet (z.B. gedreht) werden.

1D-Raster (links)
2D-Raster (Mitte)
3D-Raster (rechts)
1D-Raster (links), 2D-Raster (Mitte) und 3D-Raster (rechts)

Was ist ein Raster?

Mit ''Raster'' bezeichnen wir eine Menge regelmäßig angeordneter Punkte. Wir vermeiden hier den Begriff ''Gitter'', weil dieser in der Geodäsie für das Gittersystem verwendet wird.

RasterEigenschaft
Linie (1D) Auf der Verbindungslinie AE werden gleichabständige Zwischenpunkte erzeugt. Die Linie kann beliebig schräg im Raum verlaufen. ⇓ Mehr erfahren.
Rechteck (2D) Im von A und E aufgespannten achsparallelen horizontalen Rechteck werden in beiden Achsrichtungen gleichabständige Zwischenpunkte erzeugt. Falls beide Punkte A und E Höhen oder Z-Koordinaten haben, müssen diese gleich sein. Falls ein Punkt A oder E nur zwei Koordinaten hat, erhalten alle Rasterpunkte die dritte Koordinate des anderen Punktes. Falls beide Punkte A und E nur zwei Koordinaten haben, erhalten alle Rasterpunkte ebenso nur zwei Koordinaten. ⇓ Mehr erfahren.
Quader (3D) Im von A und E aufgespannten achsparallelen Quader werden in allen drei Achsrichtungen gleichabständige Zwischenpunkte erzeugt. Falls ein Punkt A oder E nur zwei Koordinaten hat, wird nur ein 2D-Raster berechnet. ⇓ Mehr erfahren.

Nur bei kartesischen Koordinaten (XYZ) liegen die Rasterpunkte räumlich gesehen immer auf Geraden und sind im euklidischen Sinne gleichabständig. Sonst ist diese Eigenschaft nur nach Abbildung in die Koordinatenebene gegeben. Z.B. bei ellipsoidischen Koordinaten (Breite, Länge) liegen diese auf Meridianen oder Parallelkreisen oder auf der Loxodrome. Exakte Gleichabständigkeit wird hier nur in der Rektangularprojektion erreicht. Siehe hierzu ⇑ Koordinatensystemtyp und ⇓ Beispiel: Loxodrome von Dresden (Sachsen) nach Dresden (Ontario).

Eingabegrößen

Für jede Raumrichtung werden in beliebiger Reihenfolge drei Eingabegrößen verlangt. Folgende fünf Größen stehen zur Wahl:

Eine gegebene Kantenlänge muss immer mit genau einer Koordinate von A oder E kombiniert werden. Bei negativer Kantenlänge durchlaufen die Rasterpunkte die zugehörige Achse in entgegengesetzter Richtung, beginnen also mit der größten Koordinate.

Punktanzahlen und Rasterweiten sollten nicht Null sein, sonst wirken sie wie eine fehlende Eingabe.

Beispiel: Das Raster mit den Koordinaten X=11;21;31;41 kann auf folgende Weisen definiert werden:

XA=11; XE=41; n=4XA=11; n=4; l=30 XA=41; XE=11; n=4XA=41; n=4; l=-30
XA=11; XE=41; Δ=10XE=41; n=4; l=30 XA=41; XE=11; Δ=-10XE=11; n=4; l=-30
XA=11; n=4; Δ=10XA=11; Δ=10; l=30 XA=41; n=4; Δ=-10XA=41; Δ=-10; l=-30
XE=41; n=4; Δ=10XE=41; Δ=10; l=30 XE=11; n=4; Δ=-10XE=11; Δ=-10; l=-30
Ergebnis: X=11;21;31;41 Ergebnis: X=41;31;21;11

Wenn die Kantenlänge kein ganzzahliges Vielfaches der Rasterweite ist, wird die Rasterweite angepasst. So erhält man das Raster von oben auch mit XA=11; XE=41; Δ=9 oder XE=41; Δ=9; l=30.

Trick: Rasterweite und Kantenlänge im Gittermaßstab

Auch beim Gittersystem haben Rasterweite und Kantenlänge den metrischen Maßstab, sind also nicht mit dem Gittermaßstabsfaktor behaftet. Wenn das unerwünscht ist, deklarieren Sie bitte das System vorübergehend als kartesisches System XYZ oder YXZ. Bei ellipsoidischen Systemen werden beide Größen in der gewählten Winkeleinheit von Länge/Breite erwartet.

1D-Raster
1D-Raster

1D-Raster

Die Rasterpunkte sind gleichabständige Punkte auf der Gerade AE, die schräg im Raum verlaufen kann. Hier müssen die Eingabegrößen immer A- und E-Koordinaten sowie entweder die Punktanzahl n oder die Rasterweite Δ sein. Die ersten beiden Spalten der Eingabewerte müssen vollständig ausgefüllt sein, wobei die zweite Punktanzahl n=1 oder die Rasterweite Δ=0 gesetzt wird.

Die Rasterweite ist der Abstand benachbarter Punkte. Bei ellipsoidischen Systemen wird die Höhe, soweit vorhanden, nicht in die Abstandsberechnung einbezogen. Siehe ⇓ Beispiel: Loxodrome von Dresden (Sachsen) nach Dresden (Ontario).

2D-Raster
2D-Raster

2D-Raster

Die Rasterpunkte liegen auf den Schnittpunkten gleichabständiger Koordinatenlinien, bilden also ein achsparalleles Rechteck-Raster. Die ersten beiden Spalten der Eingabewerte müssen vollständig ausgefüllt sein.

Das 2D-Raster kann nach seiner Erzeugung ⇓ gedreht werden. Für andere Transformationen können Sie die Rasterpunkte in Transf. über Parameter laden. Siehe ⇓ Beispiel: 2D-Raster für den Großen Garten Dresden.

3D-Raster
3D-Raster

3D-Raster

Die Rasterpunkte liegen auf den Schnittpunkten gleichabständiger Koordinatenebenen, bilden also ein achsparalleles Quader-Raster. Alle neun Eingabewerte müssen vollständig angegeben werden. Auf der Leinwand wird nur eine Rasterebene dargestellt (dritte Koordinate fest).

Sie können auch ein vertikales 2D-Raster erzeugen, nämlich als 3D-Raster mit der Punktanzahl n=1 für die erste und zweite Koordinate. Allerdings müssen dann diese Koordinaten von A und E gleich sein. Schließlich können Sie sogar ein vertikales 1D-Raster erzeugen, wenn die erste und zweite Punktanzahl gleich 1 ist und sich A und E nur in der dritten Koordinate unterscheiden. Dasselbe Raster erhält man als echtes 1D-Raster mit nur einer Punktanzahl oder Rasterweite aber einfacher.

Das 3D-Raster kann nach seiner Erzeugung um eine vertikale Achse ⇓ gedreht werden. Für andere Transformationen können Sie die Rasterpunkte in Transf. über Parameter laden.

Rasterpunktliste

Der erste erzeugte Rasterpunkt ist der Punkt A und der letzte ist der Punkt E. Werden Sie A und E vertauschen, erhalten Sie dieselben Rasterpunkte in umgekehrter Reihenfolge.

Die erzeugten Rasterpunkte werden zu einer Koordinatenliste zusammengestellt. Sie vergeben einen Systemnamen und legen einen Systemtyp fest. Das Spaltenformat ist immer ''Koordinaten'', so dass die erzeugten Rasterpunkte fortlaufend nummeriert werden, beginnend mit 1. Der Punkt 1 ist also identisch mit dem Eckpunkt A. Rasterpunktlisten können gespeichert und mit anderen Rechenwerkzeugen weiter verarbeitet (z.B. gedreht) werden.

Drehen von Rasterpunkten

Dieses Drehen ist für ellipsoidische Koordinaten (Breite, Länge) nicht möglich. Andernfalls können sie wählen, ob Rasterpunkte um eine vertikale Achse (parallel zur z-Achse) gedreht werden sollen, und um welchen Punkt. Folgende stehen zur Auswahl:

Räumliches Linkssystem (links)
und Rechtssystem (rechts),
Rotation um z-Achse
Räumliches Linkssystem (links) und Rechtssystem (rechts), Rotation um z-Achse

Nach Erzeugen des achsparallelen Rasters oder 1D-Rasters geben Sie den Drehwinkel zwischen -π = -180° = -200 gon und π = 180° = 200 gon. Die Winkeleinheit sollten Sie zuvor in den Einstellungen spezifiziert haben. Rotationen sind

definiert. Der Blick ist hierfür entgegen der Rotationsachse gerichtet, also von oben.

Für andere Transformationen, z.B. Rotationen um andere Achsen oder Scherungen, können Sie die Rasterpunkte in Transf. über Parameter laden und dort beliebige Transformationsschritte und Parameter konfigurieren.

Beispiel: 2D-Raster für den Großen Garten Dresden

2D-Rasterpunkte für den Großen Garten Dresden
2D-Rasterpunkte für den Großen Garten Dresden

Der Große Garten Dresden hat einen etwa rechteckigen Grundriss mit den Seitenlängen 1900 m und 950 m. Der nördliche Eckpunkt hat die UTM-Koordinaten (Zone 33U) Ostwert = 412734 m und Nordwert = 5655664 m. Der Richtungswinkel der kurzen Seite beträgt 35 gon ≈ 31°. Ein Raster mit der Rasterweite 190 m soll berechnet werden.

Zunächst erzeugt man für den Gittersystemtyp Ostwert Nordwert Höhe ein achsparalleles 2D-Raster über einem Rechteck mit den Kantenlängen 1900 m; 950 m und den Rasterweiten 190 m in beiden Achsrichtungen. Damit das Raster im nördlichen Eckpunkt E endet, kann man die erste Kantenlänge und die erste Rasterweiten negativ angeben, so dass die erste Koordinate (Ost) entgegen der Achsrichtung durchlaufen wird. Nach dem Erzeugen entstehen 11×6=66 Rasterpunkte. Schließlich muss das Raster noch um 31° um Punkt E gedreht werden.

und ''Erzeugen'' klicken und danach ''drehen'' klicken

Beispiel: Loxodrome von Dresden (Sachsen) nach Dresden (Ontario)

Wir betrachten folgende Punkte in ellipsoidischen Koordinaten bezogen auf WGS 1984:

Punktellip.Breiteellip.Länge Höhe
Dresden (Sachsen), Mittelpunkt des Zentralgebäudes der Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden 51.037512°13.735186°120 m
Dresden (Ontario), St. Andrews Presbyterian Church 42.590278° -82.181667°183 m

Zwischen diesen Punkten soll die Loxodrome über Zwischenpunkte realisiert werden. Als Abstand der Zwischenpunkte wählen wir 1°.

und ''Erzeugen'' klicken

Aufgabe: Überzeugen Sie sich davon, dass die Punkte auf dem Ellipsoid keineswegs genau gleichabständig sind, indem Sie die erzeugten 97 Punkte in Ellipsoidische Polygone laden und als offenes Polygon auf dem Ellipsoid berechnen. Die Seitenlängen variieren zwischen 70826 m und 82532 m. Außerdem erkennen Sie, dass die Loxodrome nicht die kürzeste Verbindung zwischen den Punkten auf dem Ellipsoid ist, denn alle Polygonwinkel sind kleiner als π = 180° = 200 gon. Der kleinste Polygonwinkel ist der erste mit 199.12 gon = 179.12°.

Aufgabe: Statt dessen haben wir gleichabständige Zwischenpunkte auf einer Geraden in Rektangularprojektion erzeugt. Um das zu beweisen, laden Sie die erzeugten Punkte in eine Koordinatenliste und ändern den Systemtyp in XYZ oder YXZ vor dem Speichern. Nun laden Sie die gespeicherte Liste in Ebene Polygone und berechnen diese als offenes Polygon. Die Seitenlängen sind nun alle gleich 1.0030010552°. Die Differenz zum gewünschten Wert Δ=1° kommt dadurch zustande, dass die eingestellte Rasterweite kein ganzzahliges Vielfaches des Punktabstandes ist, so dass die Rasterweite geringfügig angepasst werden musste. Alle Polygonwinkel sind nun gleich π = 180° = 200 gon.

Aufgabe: Nun laden Sie diese Liste auch in Räumliche Polygone, um zu sehen, dass die Punkte auch im 3D-Raum gleichabständig sind. Der Abstand von 1.1986138574 ist nun jedoch eine merkwürdige Mischung aus Grad und Meter. Alle Polygonwinkel sind erneut gleich π = 180° = 200 gon.

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©Rüdiger Lehmann    Impressum
27.05.2017 19:25 (Zeitzone Berlin)
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