Vermittelnde AusgleichungGenauigkeit ausgeglichener, nicht gemessener Höhendifferenzen Satellitenbahn im himmelsfesten System Satellitenbahngeschwindigkeit Eigenschaften von Matrizen bestimmen Sonstiges
Statt numerischer Werte, wie z.B.
16.1063 16,1063 161063e-4 1610.63%
können Sie immer auch arithmetische Ausdrücke eingeben, wie z.B.
8.1+8.0063 (3,3009-1)*7,0 8.1+80063e-4 pi*16.1063/pi
161063/10000 log(exp(16.1063)) 2,3009*7,0 sqrt(16,1063*16.1063)
3,3009*7,0-7 asin(sin(0.161063))*100 (16.1063^(-0.5))^(-2)
Alle 11 arithmetischen Ausdrücke ergeben denselben numerischen Wert.
Das funktioniert auch in tabellarischen Datensätzen
wie Messwert- oder Koordinatenlisten sowie Matrizen.
In diesen Beispielen ist das gewählte Ausgabedezimaltrennzeichen nicht wirksam.
In arithmetischen Ausdrücken wird eine ganze Zahl mit führender Null als Oktalzahl interpretiert,
als numerischer Wert jedoch als Dezimalzahl.
Beispiel: 012 und 012.0+0
werden als Zwölf interpretiert, 012+0 jedoch als Zehn!
Die folgenden mathematischen Funktionen werden unterstützt: abs acos acosh asin asinh atan2 atan atanh cos cosh exp log10 log sin sinh sqrt tan tanh
Argumente von Winkelfunktionen werden hier immer in der Winkeleinheit
Radiant (Bogenmaß) erwartet, egal welche Einheit sonst irgendwo benutzt wurde.
Arithmetische Ausdrücke in Eingabefeldern funktionieren nicht in der Winkeleinheit GradMinSek.
Siehe Eingabefelder und Arithmetische Ausdrücke in Matrizen.
Sollten in den Koordinatenlisten der berechneten Punkte für Sie nicht genügend Dezimalziffern angezeigt werden, wird empfohlen, diese Listen in einen neuen Browser-Tab oder in eine neue Liste zu laden. Sie sehen dann mehr Dezimalziffern.
Beim Speichern einer Liste werden eventuell zuvor schon gespeicherte Listen überschrieben. Aber zum Ansehen der Liste in oder oder in einem neuem Tab ist das nicht nötig.
Falls Sie überlange Punktnamen verwenden, werden diese in Tabellen abgeschnitten, meist auf 12, manchmal auch 9 führende Zeichen. Sie erhalten eine Warnung. Um die Punktnamen in voller Länge zu sehen, kann derselbe Trick angewendet werden.
Siehe Koordinatenlisten filtern, speichern und laden.
Die Rechenwerkzeuge für das Rotationsellipsoid funktionieren auch auf der Kugel. Wählen Sie dazu in den Einstellungen als Referenzellipsoid die Kugel aus. Berechnen Sie z.B. einen Großkreisbogen mit .
und
berechnen auch einen Kreis durch drei Punkte, nämlich immer dann, wenn das geschlossene
räumliche oder ebene Polygon aus genau drei Punkten besteht. Unter
Spezielle Punkte
finden Sie den Umkreismittelpunkt
M3
und den Umkreisradius. Dasselbe geht übrigens mit dem Inkreismittelpunkt
M4
und dem Inkreisradius.
berechnet auch eine Ebene durch drei Punkte oder eine Kugel durch vier Punkte. Gewichte sind dann egal, können auch fehlen. Wenn Sie die Abstände weiterer Punkte von der Fläche und/oder ihre Projektionen auf die Fläche benötigen, geben Sie diese als zu projizierende Punkte an. Die Abstände berechnen Sie als Längen der Differenzvektoren.
Eine andere Lösung für die Kugel durch vier Punkte ist mittels und dem Kugelschnitt mit vier Pseudodistanzen möglich. Man gibt die vier Punkte als Mittelpunkte von vier Kugeln mit identischen Pseudodistanzen an, am einfachsten mit 0;0;0;0. Der Radius der gesuchten Kugel ist die sich ergebende viermal identische Distanz. Der Mittelpunkt der gesuchten Kugel ist der sich ergebende Schnittpunkt der vier Kugeln. Der praktische Vorteil dieser Methode ist, dass dieser Mittelpunkt direkt in eine Koordinatenliste geladen werden kann. (Rechnerisch ergeben sich allerdings zwei identische Schnittpunkte, einer mit ''negativem'' Radius gleichen Betrags, der verworfen werden kann.)
In muss die Einheit für metrische Größen e, s, dh, l, ih, th immer die natürliche Längeneinheit sein.
Ist beim Gittersystem in einer Messwertliste dennoch ein Gittermaßstab überall angebracht, ändern Sie den Systemtyp vorübergehend auf kartesisch (XYZ oder YXZ) linkshändig und führen Sie die Berechnung durch. Nun wird alles im Gittermaßstab berechnet. Hinterher setzen Sie den Systemtyp zurück auf Gittersystem (Nordwert Ostwert Höhe oder Ostwert Nordwert Höhe).
Dasselbe funktioniert übrigens bei Translationsparametern sowie für Kantenlängen und Rasterweiten bei Rasterpunkte erzeugen.
Oft berechnet der nur polare Werte zwischen Punkten, zwischen denen gemessen wurde (Stand- und Zielpunkte in einer Aufstellung). Mehr Ergebnisse erhält man manchmal, wenn man bei einzelnen Standpunkten noch blinde Zielpunkte ohne Messwerte hinzufügt. Möchte man z.B. die Horizontaldistanz zwischen zwei bekannten oder berechneten Punkten erhalten, gibt man diese irgendwo als Stand- und Zielpunkte ohne Messwerte an. Von diesem Wert würde auch in weiteren Rechnungen Gebrauch gemacht, wenn er irgendwo nützlich ist. Finden Sie einen solchen Fall im Beispiel Polarwerte aus kartesischen Koordinaten berechnen.
Obwohl der keine direkte Funktion zur Fehlerfortpflanzung anbietet, ist es möglich, auch hier auf geschickte Weise eine Fehlerfortpflanzung zu berechnen: Nehmen wir an, wir haben n ungenaue Startgrößen (Koordinaten und/oder Messwerte). Man lässt die Rechnung n+1-mal ausführen, einmal mit unveränderten Startwerten und n-mal mit je einem um seine Standardabweichung oder maximale absolute Abweichung veränderten Startwert, einem nach dem anderen. Dann zieht man die Differenzen Δi der interessierenden Ergebnisse in Bezug zur ersten Rechnung nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz zusammen:
| für Standardabweichungen: | σ²= Δ1² +…+ Δn² |
| für maximale absolute Abweichungen: | Δ=|Δ1|+…+|Δn| |
Wenn man die Punkte mit veränderten Koordinaten anders benennt und an die Koordinatenliste anhängt und wenn man auch den n+1 Ergebnissen für die Neupunkte jeweils andere Punktnamen zuweist, kann man die n+1 Rechnungen im in einem einzigen Rechengang ausführen lassen.
Dasselbe funktioniert genauso auch mit dem Rechenwerkzeug .
Siehe Bogenschnitt.
Vermittelnde Ausgleichung
und können mit neu ausgeglichen werden. Das bietet folgende Vorteile:
Demnächst werden noch mehr Werkzeuge diese Option bieten.
In einem Höhennetz soll die Genauigkeit ausgeglichener, nicht gemessener Höhendifferenzen bestimmt werden. Sie könnten das Höhennetz in laden wie im vorigen Trick und dort die Höhendifferenzen als Funktionen ausgeglichener Parameter (Höhen) angeben. Einfacher ist es, wenn Sie die Höhendifferenzen direkt im Höhennetz als Messwerte mit Gewicht Null oder Standardabweichung ''INF'' angeben. Dann nehmen diese Werte an der Ausgleichung nicht teil, aber Sie erhalten die ausgeglichenen Werte und auch deren Genauigkeiten.
berechnet diskrete Bahnpunkte normalerweise im erdfesten (rotierenden) rechtshändigen kartesischen Koordinatensystem ECEF. Möchten Sie hingegen die Bahnpunkte im himmelsfesten (quasi-inertialen) System ECSF erhalten, geben Sie einfach bei der Bahnberechnung für die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation ωE = 0 an. Sie erhalten dann ein System, dessen Achsen zu Wochenbeginn mit dem erdfesten System übereingestimmt haben und himmelsfest gehalten wurden.
werden in der Form von von diskreten Bahnpunkten auf einem Zeitraster berechnet. Wenn Sie die Bahngeschwindigkeit erhalten wollen, laden Sie die Koordinatenliste in und berechnen diese als Polylinie. Dann erhalten Sie die räumlichen Abstände aufeinanderfolgender Bahnpunkte als Seitenlängen des Polygons. Haben Sie als Zeitinkrement der Bahnberechnung Δt z.B. 1 Sekunde gewählt, sind die Seitenlängen sofort Geschwindigkeiten in Meter/Sekunde.
Normalerweise erhalten Sie die Geschwindigkeiten im erdfesten (rotierenden) Koordinatensystem ECEF. Möchten Sie diese hingegen im himmelsfesten (quasi-inertialen) System ECSF erhalten, wenden Sie bitte den vorherigen Trick an. Wenn Sie das für das Bahnberechnung mit einem GPS Almanach (Zeitinkrement 1h) machen, erhalten Sie Bahngeschwindigkeiten zwischen 13600 km/h und 14000 km/h.
Nur für symmetrische positiv definite und positiv semi-definite Matrizen wird mit eine Cholesky-Zerlegung berechnet. Ist das der Fall, dann hat die zerlegte Matrix diese Eigenschaft. Ist der Cholesky-Faktor sogar quadratisch, dann ist die Matrix sogar positiv definit.
0.0 -0.80 -0.60 0.8 -0.36 0.48 0.6 0.48 -0.64
Eine quadratische orthogonale Matrix kann man daran erkennen, dass ihre Inverse gleich der Transponierten ist. Das Beispiel rechts zeigt eine orthogonale Matrix mit drei Zeilen und drei Spalten. Die Inverse ist gleich der transponierten Matrix. Die Singulärwerte sind alle gleich 1. Es handelt sich nicht um eine Rotationsmatrix, weil die Determinante -1 beträgt, nicht +1. Zusätzlich zur Rotation liegt hier noch eine Reflexion (Spiegelung) vor.
Um herauszufinden, ob eine Matrix orthogonal ist, kann man sich die QR- oder RQ-Zerlegung anschauen. Ist R eine Einheitsmatrix, dann ist die zerlegte Matrix orthogonal. Das funktioniert auch für nicht-quadratische Matrizen.
; ;. Am Ende der Zeile können Messwerte einfach weggelassen werden.
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